Funcția Möbius

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 20 mai 2020; verificările necesită 8 modificări .

Funcția Möbius este o funcție aritmetică multiplicativă folosită în teoria numerelor și combinatorie , numită după matematicianul german Möbius , care a considerat-o pentru prima dată în 1831 . $\mu(n)$

Definiție

$\mu(n)$ este definit pentru toate numerele naturale și ia valori în funcție de natura descompunerii numărului în factori primi: $n$ ${-1,\;0,\;1}$ $n$

$\mu(n)=1$ , dacă este liber de pătrate (adică niciun număr prim nu este divizibil cu pătrat) și descompunerea în factori primi constă dintr- un număr par de factori; $n$ $n$
$\mu(n)=-1$ , dacă este lipsită de pătrate și descompunerea în factori primi constă dintr-un număr impar de factori; $n$ $n$
$\mu(n)=0$ , dacă nu lipsit de pătrate. $n$

De asemenea, prin definiție, . $\mu(1)=1$

Ivan Matveevich Vinogradov în cartea „Elemente de matematică superioară” conține următoarea definiție a funcției Möbius:

Funcția Möbius este o funcție multiplicativă definită de egalitățile: $\mu \,(p)=-1,\;\mu \,(p^{\alpha })=0,\;{\text{if}}\;\alpha >1.$

Din aceste două egalități și multiplicativitatea funcției în sine, sunt derivate valorile sale pentru toate argumentele naturale.

Caracteristici și aplicații

Funcția Möbius este multiplicativă: pentru orice numere coprime și egalitatea este valabilă . $A$ $b$ $\mu (ab)=\mu (a)\mu (b)$

Suma valorilor funcției Möbius peste toți divizorii unui număr întreg care nu este egal cu unu este egală cu zero $n$

\sum _{{d|n}}\mu (d)={\begin{cases}1,&n=1,\\0,&n>1.\end{cases}}

Acest lucru, în special, rezultă din faptul că pentru orice mulțime finită nevidă, numărul de submulțimi diferite constând dintr-un număr impar de elemente este egal cu numărul de submulțimi diferite constând dintr-un număr par de elemente, fapt care este folosit şi în demonstrarea formulei de inversare a lui Möbius .

$\sum \limits _{{k=1}}^{n}\mu (k)\left[{\frac {n}{k}}\right]=1.$

$\sum \limits _{{k=1}}^{{\infty }}{\frac {\mu (kn)}{k}}=0,$ unde n este un număr întreg pozitiv .

$\sum \limits _{{k=1}}^{{\infty }}{\frac {\mu (k)\ln k}{k}}=-1.$

$\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {\mu (2k+1)\ln(2k+1)}{2k+1}}=-2.$

$\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)\ln ^{2}k}{k))=-2\gamma ,$ unde este constanta lui Euler . $\gamma$

$\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {\mu (2k+1)\ln ^{2}(2k+1)}{2k+1))=-4 (\gamma +ln2).$

Funcția Möbius este strâns legată de funcția zeta Riemann . Astfel, coeficienții seriei Dirichlet ai unei funcții care este inversă multiplicativ pentru funcția zeta Riemann sunt exprimați în termenii funcției Möbius:

\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {\mu (n)}{n^{{s))))={\frac {1}{\zeta ( s)}}

Seria converge absolut la , converge condiționat pe linia , în regiune afirmația despre convergența condiționată a seriei este echivalentă cu ipoteza Riemann , iar la , seria cu siguranță nu converge, nici măcar condiționat. ${{\rm {Re}}}\,s>1$ ${{\rm {Re}}}\,s=1$ $1/2<{{\rm {Re}}}\,s<1$ ${{\rm {Re}}}\,s<1/2$

Când formula este și ea valabilă: ${{\rm {Re}}}\,s>1$

\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {|\mu (n)|}{n^{{s))))={\frac {\zeta (s )}{\zeta (2s)))

$\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {\mu (pn)}{n^{{s))))={\frac {p^{{s} }}{(1-p^{{s}})\zeta (s)}},$ unde p este un număr prim.

Funcția Möbius este legată de funcția Mertens , de asemenea strâns legată de problema zerourilor funcției zeta Riemann

M(n)=\sum _{{k=1}}^{n}\mu (k).

Relațiile asimptotice sunt valabile:

{\frac {1}{x}}\sum \limits _{{n\leq x}}\mu (n)=o(1)

x\rightarrow \infty

{\frac {1}{x}}\sum \limits _{{n\leq x}}|\mu (n)|={\frac {1}{\zeta (2)))+O({\ frac {1}{{\sqrt x}}}})

din care rezultă că există o densitate de distribuție asimptotică pentru valorile funcției Möbius. Densitatea liniară a mulțimii de zerouri este , iar densitatea mulțimii de unități (sau minus uni) este . Abordările probabilistice ale studiului funcției Möbius se bazează pe acest fapt. $1-1/\zeta(2)=0,3920729$ $1/2\zeta(2)=0,30396355$

inversiunea Möbius

Prima formulă de inversare a lui Möbius

Pentru funcțiile aritmetice și , $f$ $g$

g(n)=\sum _{{d\,\mid \,n}}f(d)

dacă și numai dacă

f(n)=\sum _{d\,\mid \,n}\mu (d)g\left({\frac {n}{d))\right)

A doua formulă de inversare a lui Möbius

Pentru funcții cu valoare reală și definite pentru , $f(x)$ $g(x)$ $x\geqslant 1$

g(x)=\sum _{{n\leqslant x}}f\left({\frac {x}{n}}\right)

dacă și numai dacă

f(x)=\sum _{{n\leqslant x}}\mu (n)g\left({\frac {x}{n}}\right)

Aici suma este interpretată ca . $\sum _{{n\leqslant x}}$ $\sum _{{n=1}}^{{\lfloor x\rfloor }}$

Funcția Möbius generalizată

În ciuda aparentului nefiresc al definiției funcției Möbius, natura acesteia poate deveni clară atunci când se consideră o clasă de funcții cu proprietăți de reversibilitate similare introduse pe mulțimi arbitrare parțial ordonate .

Să fie dat o mulțime parțial ordonată cu relație de comparație . Vom presupune că . $\prec$ $a \preccurlyeq b \iff a \prec b \lor a = b$

Definiție

Funcția Möbius generalizată este definită recursiv prin relație.

{\mu _{A}^{*}}(a,b)={\begin{cases}1,&a=b\\-\sum \limits _{a\preccurlyeq z\prec b}{ {\mu _{A}^{*}}(a,z)},&a\prec b\\0,&a\nu \preccurlyeq b\end{cases}}

Formula de conversie

Lăsați funcțiile și luați valori reale pe set și condiția este îndeplinită . $g$ $f$ $A$ $g(x) = \sum \limits_{y \preccurlyeq x} {f(y)}$

Apoi $f(x) = \sum \limits_{y \preccurlyeq x} {{\mu_A^*}(y,x) g(y)}$

Conexiune cu funcția clasică Möbius

Dacă luăm ca mulțime de numere naturale, luând raportul ca raport , atunci obținem , unde este funcția clasică Möbius. $A$ $a \prec b$ $a \mid b \land a \not = b$ ${\mu_{\mathbb N}^*}(a,b) = \mu\left({\frac{b}{a))\dreapta)$ $\mu$

În special, aceasta înseamnă că , și mai departe, definiția funcției clasice Möbius urmează prin inducție din definiția unei funcții generalizate și a identității , deoarece însumarea tuturor divizorilor unui număr care nu este divizibil cu un pătrat complet poate fi considerată . ca însumarea peste boolean a factorilor săi primi înmulțită cu în fiecare element al booleanului. $\mu(n)={\mu_{\mathbb N}^*}(1,n)$ $\sum \limits_{k=1}^{n} {(-1)^k C_n^k} = 0$

Vezi și

Vintage Dirichlet

Literatură

Vinogradov I.M. Fundamentele teoriei numerelor. - Ed. a 9-a. - M. , 1981.
Hall M. Teoria combinatorie . - M . : Mir, 1970. - 424 p.

Link -uri

Sala de curs MIPT . Raygorodsky A.M. - Fundamentele combinatorii și teoria numerelor. Prelegerea nr. 5 , 2013.
Sala de curs MIPT . Raygorodsky A.M. - Fundamentele combinatorii și teoria numerelor. Prelegerea nr. 6 , 2013.
Formula generalizată de inversare a lui Möbius