Coeficientul binom central

În matematică , al n-lea coeficient binomial central este definit de următoarea expresie în termeni de coeficienți binomi

{2n \alege n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}

pentru toată lumea .

n\geq 0

Și-au primit numele datorită faptului că se află exact în mijlocul rândurilor pare din triunghiul lui Pascal . Primii câțiva coeficienți binomi centrali sunt scrieți mai jos, pornind de la n = 0:

1 , 2 , 6 , 20 , 70 , 252, 924, 3432, 12870, 48620, ... secvența OEIS A000984

Proprietăți

Funcție generatoare :

{\frac {1}{{\sqrt {1-4x))))=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+\cdots .

Conform formulei Stirling, obținem:

{2n \alegeți n}\sim {\frac {4^{n}}({\sqrt {\pi n))))

la .

n\rightarrow\infty

Restrictii utile:

{\frac {4^{n}}{{\sqrt {4n}}}}\leq {2n \choose n}\leq {\frac {4^{n}}{{\sqrt {3n+1}} }}

pentru toată lumea

n\geq 1

Dacă este nevoie de mai multă precizie:

{2n \choose n}={\frac {4^{n}}({\sqrt {\pi n}}}}\left(1-{\frac {c_{n}}{n}}\right)

unde pentru toată lumea .

{\frac {1}{9}}<c_{n}<{\frac {1}{8}}

n\geq 1

Strâns legate de acest concept sunt așa-numitele. Numerele catalane , C n . Formula lor:

C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \alege n}={2n \alege n}-{2n \alege n+1}

pentru toată lumea .

n\geq 0

Generalizarea coeficienților binomi centrali pot fi considerate numerele , pentru toate n reale, pentru care este definită expresia, unde este funcția Gamma , iar aceasta este funcția Beta . ${\frac {\Gamma (2n+1)}{\Gamma (n+1)^{2))}={\frac {1}{n\mathrm{B} (n+1,n)))$ $\gamma (x)$ $\mathrm{B} (x,y)$

Vezi și

Ipoteza lui Erdős de pătrat

Coeficientul binom central

Proprietăți

Vezi și

Link -uri