Structura matematică

Structura matematică  este un nume care unește concepte a căror caracteristică comună este aplicabilitatea lor la mulțimi , a căror natură nu este definită. Pentru a determina structura în sine , sunt specificate relații în care sunt situate elementele acestor mulțimi. Apoi se postulează că aceste relații îndeplinesc anumite condiții, care sunt axiome ale structurii considerate [1] .

Construirea unei teorii axiomatice a unei structuri este derivarea unor consecințe logice din axiomele structurii, fără alte presupuneri despre elementele luate în considerare și, în special, din orice ipoteze despre „natura” acestora.

Conceptul de structură a fost inițial informal. În lucrările lui Bourbaki, a fost construită o teorie formală a structurilor, care trebuia să fie fundamentul matematicii, dar această teorie nu a fost fixată într-un asemenea rol.

Tipuri de bază de structuri

Relațiile care constituie punctul de plecare în definirea structurii pot fi foarte diverse.

Cel mai important tip de structuri sunt structurile algebrice . De exemplu, o relație numită „legea compoziției”, adică o relație între trei elemente care determină în mod unic al treilea element în funcție de primele două. Când relațiile din definiția unei structuri sunt „legi ale compoziției”, structura matematică corespunzătoare se numește structură algebrică. De exemplu, structurile unei bucle , unui grup , unui câmp sunt definite de două legi de compoziție cu axiome alese corespunzător. Deci, adunarea și înmulțirea pe mulțimea numerelor reale determină câmpul pe mulțimea acestor numere.

Al doilea tip important este reprezentat de structurile definite de relaţia de ordine , adică structurile de ordine . Aceasta este relația dintre două elemente , pe care le exprimăm cel mai adesea cu cuvintele „ mai puțin sau egal cu ” și care este, în general, notat ca . În acest caz, nu se presupune că această relație identifică în mod unic unul dintre elemente în funcție de celălalt.

Al treilea tip de structuri sunt structurile topologice , în care conceptele intuitive de vecinătate , limită şi continuitate sunt realizate printr - o formulare matematică abstractă prin intermediul topologiei generale .

Ierarhia structurilor în matematică

Un grup de matematicieni, uniți sub numele de Nicolas Bourbaki , în articolul „ Arhitectura matematicii ” (1948) au prezentat matematica ca o ierarhie de structuri pe trei niveluri, mergând de la simplu la complex, de la general la particular.

La primul nivel sunt introduse principalele structuri matematice (generatoare), printre care se disting cele mai importante, generatoare ( fr.  les structures-mères ):

În fiecare dintre aceste tipuri de structuri există o diversitate suficientă. În același timp, ar trebui să se facă distincția între cea mai generală structură a tipului luat în considerare cu cel mai mic număr de axiome și structurile care se obțin din aceasta ca urmare a îmbogățirii sale cu axiome suplimentare, fiecare dintre acestea implicând noi consecințe.

Structurile matematice complexe ( fr.  multiples ) sunt plasate pe al doilea nivel - structuri care includ simultan una sau mai multe structuri generatoare, dar nu doar combinate între ele, ci combinate organic cu ajutorul axiomelor care le conectează. De exemplu, algebra topologică studiază structurile definite de legile de compoziție și structura topologică, care sunt conectate prin condiția ca operațiile algebrice să fie funcții continue (în topologia considerată) ale elementelor. Un alt exemplu este topologia algebrică , care consideră unele seturi de puncte din spațiu, definite de proprietăți topologice, ca elemente asupra cărora se efectuează operații algebrice. Multe dintre structurile utilizate în aplicații pot fi atribuite celui de-al doilea nivel, de exemplu, structura evenimentului asociază o ordine parțială cu un tip special de relație binară.

La al treilea nivel - structuri matematice particulare, în care elementele mulțimilor luate în considerare, care erau complet nedefinite în structurile generale, primesc o individualitate mai definită. În acest fel se obțin teorii ale matematicii clasice precum analiza matematică a funcțiilor unei variabile reale și complexe, geometria diferențială , geometria algebrică .

Istorie

Conceptul de structură a fost folosit inițial informal în algebra generală . Cea mai faimoasă încercare de a oficializa acest concept a fost făcută de Bourbaki (acest articol se bazează și pe lucrarea lui Bourbaki); înainte a fost, de exemplu, teoria structurilor algebrice de Oystin Ore [2] . Bourbaki și-a folosit teoria structurilor ca fundament al matematicii împreună cu teoria mulțimilor . Cu toate acestea, de fapt, teoria structurilor este puțin folosită chiar și în propriile lor lucrări ulterioare și, în general, nu a fost fixată în matematică [3] . În anii 1940 - 1950, ideile acumulate despre asemănarea unei clase largi de structuri algebrice și structuri de ordine au condus la crearea unei algebre universale și a conceptului de sistem algebric  - o mulțime înzestrată cu un set de operații și relații (totuși , nu toate structurile algebrice în sensul lui Bourbaki sunt efectiv exprimate în limbajul algebră universală). Începând cu anii 1960 și 1970, ideile structurilor matematice au fost mai des exprimate în limbajul teoriei categoriilor .

Note

  1. ↑ Structura // Enciclopedia Matematică (în 5 volume) . - M . : Enciclopedia Sovietică , 1985. - T. 5.
  2. ↑ Corry, 2004 , Capitolul 6. Oystein Ore: Structuri algebrice.
  3. ↑ Corry, 2004 , capitolul 7. Nicolas Bourbaki: Teoria structurilor .

Literatură