SL(2,R)

SL(2,R) sau SL 2 (R) este grupul de matrici reale 2 × 2 cu determinant de identitate :

{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )=\left\{\left({\begin{matrice}a&b\\c&d\end{matrice}}\right): a,b ,c,d\in \mathbf {R} {\mbox{ și }}ad-bc=1\right\}.

Grupul este un simplu grup Lie real cu aplicații în geometrie , topologie , teoria reprezentării și fizică .

SL(2, R ) acţionează asupra semiplanului superior complex prin transformări liniar-fracţionale. Acțiunea de grup factorizează pe grupul de factori PSL(2,R) ( grup liniar proiectiv special peste R ). Mai precis, $2\times 2$

\mathrm {PSL} (2,\mathbf {R} )=\mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )/\{{\pm }E\)

unde E denotă matricea de identitate . SL(2, R ) conține grupul modular PSL(2, Z ). $2\times 2$

De asemenea, grupul SL(2, R ) este strâns legat de grupul de acoperire dublu Mp(2, R ), grupul metaplectic (dacă considerăm SL(2, R ) ca un grup simplectic ).

Un alt grup înrudit este grupul de matrici reale cu determinant . Cu toate acestea, acest grup este cel mai frecvent utilizat în contextul grupului modular . $\mathrm {SL} ^{\pm }(2,\mathbf {R} )$ $2\times 2$ $\pm 1$

Descriere

SL(2, R ) este grupul tuturor transformărilor liniare ale spațiului R 2 care păstrează aria orientată . Gruparea este izomorfă cu grupul simplectic Sp(2, R ) și cu grupul unitar special generalizat SU(1,1). Grupul este, de asemenea, izomorf cu grupul de coquaternioni de lungime unitară. Grupul păstrează o zonă neorientată - poate păstra orientarea. $\mathrm {SL} ^{\pm }(2,\mathbf {R} )$

Factorul PSL(2, R ) are mai multe descrieri interesante:

Acesta este grupul de transformări proiective care păstrează orientarea ale liniei proiective reale . $\mathbf {R} \cup \{\infty \)$
Este grupul de automorfisme conforme ale cercului unitar .
Acesta este grupul de mișcări de păstrare a orientării ale planului hiperbolic .
Acesta este grupul Lorentz restrâns al spațiului tridimensional Minkowski . În mod echivalent, este izomorfă cu grupul ortogonal nedefinit SO + (1,2). Aceasta implică faptul că SL(2, R ) este izomorf cu grupul spinor Spin(2,1) + .

Elementele grupului modular PSL(2, Z ) au interpretări suplimentare ca elemente ale grupului SL(2, Z ) (ca transformări liniare ale torului), iar aceste reprezentări pot fi considerate și în lumina teoriei generale a grupul SL(2, R ).

Transformare liniară fracțională

Elementele grupului PSL(2, R ) acționează asupra dreptei proiective reale ca transformări liniar-fracționale : $\mathbf {R} \cup \{\infty \)$

x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d)).

Această acțiune este similară cu acțiunea PSL(2, C ) asupra sferei Riemann prin transformările Möbius . Acțiunea este restricția acțiunii grupului PSL(2, R ) pe planul hiperbolic la limita infinitului.

Transformarea Möbius

Elementele grupului PSL(2, R ) acţionează pe plan complex prin transformarea Möbius:

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}\;\;\;\;(a,b,c,d\in \mathbf {R} )

Acesta este exact setul de transformări Möbius care păstrează jumătatea superioară a planului . Aceasta implică faptul că PSL(2, R ) este grupul de automorfisme conforme din jumătatea superioară a planului. După teorema de cartografiere Riemann, acest grup este grupul de automorfisme conforme ale cercului unitar.

Aceste transformări Möbius acționează ca izometrii ale modelului jumătății superioare a planului spațiului hiperbolic, iar transformările Möbius corespunzătoare ale discului sunt izometrii hiperbolice ale modelului discului Poincaré .

Formula de mai sus poate fi folosită și pentru a determina transformarea Möbius a dualelor și dublelor . Geometriile corespunzătoare sunt într-o legătură netrivială [1] cu geometria lui Lobaciovski .

Vizualizare atașată

Grupul SL(2, R ) acţionează asupra algebrelor sale Lie sl(2, R ) prin conjugare (reţineţi că elementele algebrei Lie sunt, de asemenea, matrice 2 x 2), dând o reprezentare liniară tridimensională strictă a grupului PSL (2, R ). Aceasta poate fi descrisă alternativ ca acțiunea grupului PSL(2, R ) asupra suprafețelor formelor pătratice pe R 2 . Rezultatul este următoarea vedere:

{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a^{2}&2ab&b^{2}\\ac&ad+bc&bd\\c^{2}&2cd&d ^{2}\end{bmatrix}}.

Forma Killing pe sl(2, R ) are semnătura (2,1) și generează un izomorfism între PSL(2, R ) și grupul Lorentz SO + (2,1). Această acțiune a grupului PSL(2, R ) în spațiul Minkowski este limitată la o acțiune izometrică a grupului PSL(2, R ) pe modelul hiperboloid al planului hiperbolic.

Clasificarea elementelor

Valorile proprii ale elementului satisfac ecuația pentru polinomul caracteristic $A\in \mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )$

\lambda ^{2}\,-\,\mathrm {tr} (A)\,\lambda \,+\,1\,=\,0

Prin urmare

\lambda ={\frac {\mathrm {tr} (A)\pm {\sqrt {\mathrm {tr} (A)^{2}-4))}{2)).

Aceasta conduce la următoarea clasificare a elementelor cu acțiunea corespunzătoare pe planul euclidian:

Dacă |tr( A )|< 2, atunci elementul (matricea) A se numește eliptică și este o rotație .
Dacă |tr( A )|= 2, atunci elementul A se numește parabolic și este o extensie a spațiului.
Dacă |tr( A )|> 2, atunci elementul A se numește hiperbolic și este o hartă de contracție .

Numele corespund clasificării secțiunilor conice după excentricitate - dacă definiți excentricitatea ca jumătate din valoarea urmei ( . Împărțirea cu 2 corectează efectul dimensionalității, în timp ce valoarea absolută corespunde ignorării semnului (multiplicatorului ) atunci când lucrați cu PSL (2, R )), ceea ce presupune : pentru element eliptic, pentru element parabolic , pentru element hiperbolic. $\epsilon ={\tfrac {1}{2}}tr$ $\pm 1$ $\epsilon <1$ $\epsilon=1$ $\epsilon >1$

Elementul de identitate 1 și elementul negativ −1 (sunt aceleași în PSL(2, R )), au urme și, prin urmare, sunt elemente parabolice conform acestei clasificări, deși sunt adesea tratate separat. $\pm2$

Aceeași clasificare este folosită pentru SL(2, C ) și PSL(2, C ) ( transformări Möbius ) și PSL(2, R ) (transformări Möbius reale), cu adăugarea de transformări „loxodromice” corespunzătoare urmelor complexe. Clasificări similare sunt folosite în multe alte locuri.

Un subgrup care conține elemente eliptice (respectiv, parabolice și hiperbolice), plus elementul de identitate și negativ pentru acesta, se numește subgrup eliptic (respectiv, subgrup parabolic , subgrup hiperbolic ).

Această clasificare se face pe submulțimi , nu pe subgrupe - aceste mulțimi nu sunt închise prin înmulțire (produsul a două elemente parabolice nu va fi neapărat parabolic, de exemplu). Cu toate acestea, toate elementele sunt combinate în 3 subgrupuri standard cu un parametru , așa cum este descris mai jos.

Din punct de vedere topologic, deoarece urma este o hartă continuă, elementele eliptice (fără ) sunt deschise , la fel și elementele hiperbolice (fără ), în timp ce elementele parabolice (inclusiv ) sunt închise . $\pm 1$ $\pm 1$ $\pm 1$

Elemente eliptice

Valorile proprii pentru un element eliptic sunt ambele complexe și sunt valori conjugate pe cercul unitar . Un astfel de element este conjugat la o rotație a planului euclidian - ele pot fi interpretate ca rotații într-o bază (posibil) neortogonală, iar elementul corespunzător al grupului PSL(2, R ) acționează ca o rotație (conjugată) a planul hiperbolic şi spaţiul Minkowski .

Elementele eliptice ale grupului modular trebuie să aibă valori proprii , unde este rădăcina primitivă a 3-a, a 4-a sau a 6- a a unității . Toate sunt elemente ale unui grup modular cu ordin finit și acţionează asupra torusului ca difeomorfisme periodice. $\{\omega,\omega ^{-1}\)$ $\omega$

Elementele cu urmă 0 pot fi numite „elemente circulare” (asemănătoare cu excentricitatea), dar aceasta este rar folosită. Aceste urme corespund elementelor cu valori proprii și corespund rotațiilor pe , iar pătratul corespunde cu - E - sunt involuții neidentice în PSL(2). $\pm i$ $90^{\circ }$

Elementele eliptice sunt conjugate într-un subgrup de rotații ale planului euclidian ortogonal cu grupul SO(2). Unghiul de rotație este arccos - jumătate din urmă cu semnul de rotație (rotația și inversul ei sunt conjugate în GL(2), dar nu și în SL(2).)

Elemente parabolice

Un element parabolic are o singură valoare proprie, care este fie 1, fie -1. Un astfel de element acționează ca o extensie a spațiului pe planul euclidian, iar elementul corespunzător al lui PSL(2, R ) acționează ca o constrângere de rotație pe planul hiperbolic și ca o rotație zero a spațiului Minkowski .

Elementele parabolice ale grupului modular acționează ca răsuciri de torus Denat .

Elementele parabolice sunt conjugate în grupul de 2 componente a deplasărilor standard : . De fapt, toate sunt conjugate (în SL(2)) la una dintre cele patru matrice , (în GL(2) sau , pot fi omise, dar nu și în SL(2). $\times {\pm }E$ $\left({\begin{smallmatrix}1&\lambda \\&1\end{smallmatrix}}\right)\times \{\pm E\}$ $\left({\begin{smallmatrix}1&\pm 1\\&1\end{smallmatrix}}\right)$ $\left({\begin{smallmatrix}-1&\pm 1\\&-1\end{smallmatrix}}\right)$ $\mathrm {SL} ^{\pm }(2)$ $\p.m$

Elemente hiperbolice

Valorile proprii pentru un element hiperbolic sunt reale și opuse. Un astfel de element acționează ca o hartă de contracție planului euclidian, iar elementul corespunzător al PSL(2, R ) acționează ca o translație paralelă a planului hiperbolic și ca un impuls Lorentz în spațiul Minkowski .

Elementele hiperbolice ale grupului modular acționează ca difeomorfisme ale torusului Anosov .

Elementele hiperbolice se încadrează într-un grup de contracții standard cu 2 componente : ; unghiul hiperbolic al rotației hiperbolice este dat ca arcosh a jumătate din urmă, dar semnul poate fi fie pozitiv, fie negativ, spre deosebire de cazul eliptic. Compresia și transformarea ei inversă sunt conjugate în SL₂ (prin rotație în axe, pentru axele standard, rotația se realizează pe ). $\times {\pm }E$ $\left({\begin{smallmatrix}\lambda \\&\lambda ^{-1}\end {smallmatrix}}\right)\times \{\pm E\}$ $90^{\circ }$

Clase de conjugație

Conform formei normale Jordan, matricele sunt clasificate până la conjugație (în GL( n , C )) după valori proprii și nilpotency (în special, nilpotence înseamnă unde 1-urile sunt în celulele Jordan). Astfel de elemente ale SL(2) sunt clasificate până la conjugație în GL(2) ( ) după urme (deoarece determinantul este fix, iar urma și determinantul sunt determinate de valori proprii), cu excepția cazului în care valorile proprii sunt egale, deci elementele sunt egale și parabolice, elementele urmei +2 și ale urmei -2 nu sunt conjugate (primul nu are elemente în afara diagonalei în forma Jordan, în timp ce cel de-al doilea are). $\mathrm {SL} ^{\pm }(2)$ $\pm E$

Până la conjugarea în SL(2) (în loc de GL(2)), există informații suplimentare corespunzătoare orientării - rotațiile în sensul acelor de ceasornic și în sens invers acelor de ceasornic (eliptice) nu sunt conjugate, nu sunt forfecare pozitivă sau negativă, așa cum este descris mai sus. Apoi, pentru o valoare absolută a urmei mai mică de 2, există două clase conjugate pentru fiecare urmă (rotații în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers acelor de ceasornic). Pentru o valoare absolută a urmei de 2, există trei clase conjugate pentru fiecare urmă (deplasare pozitivă, deplasare de zero, deplasare negativă). Pentru o valoare absolută a urmei mai mare de 2, există o clasă de conjugație pentru o urmă dată.

Acoperire topologică și universală

Ca spațiu topologic , PSL(2, R ) poate fi descris ca un pachet tangent unitar planului hiperbolic. Este un mănunchi pe cercuri și are o structură de contact naturală generată de structura simplectică din planul hiperbolic. Grupul SL(2, R ) este o acoperire de două ori a grupului PSL(2, R ) și poate fi considerat ca un mănunchi de spinori pe planul hiperbolic.

Grupul fundamental al grupului SL(2, R ) este un grup ciclic finit Z . Grupul de acoperire universal , notat , este un exemplu de grup Lie cu dimensiuni finite care nu este un grup matriceal . Adică nu permite o reprezentare exactă finită -dimensională a . ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$

Ca spațiu topologic este un fascicul de linii peste planul hiperbolic. Dacă spațiul este înzestrat cu o metrică stânga invariantă , 3-varietatea devine una dintre cele opt geometrii Thurston . De exemplu, este o acoperire universală a mănunchiului tangent unitar pentru orice suprafață hiperbolică . Orice varietate modelată este orientabilă și este un fascicul de cerc peste un orbifold hiperbolic bidimensional ( bundle Seifert ). ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$

Cu o astfel de acoperire, imaginea inversă a grupului modular PSL(2, Z ) este grupul de împletituri pe 3 generatoare, B 3 , care este extensia centrală universală a grupului modular. Ele sunt rețele în interiorul grupurilor algebrice corespunzătoare și aceasta corespunde grupului de acoperire algebric universal din topologie.

O grupare de acoperire de două ori poate fi numită Mp(2, R ), gruparea metaplectică , dacă SL(2, R ) se înțelege ca fiind gruparea simplectică a lui Sp(2, R ).

Grupurile de mai sus formează secvența:

{\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )}}\la \cdots \to \mathrm {Mp} (2,\mathbf {R} )\la \mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )\la \mathrm {PSL} (2,\mathbf {R} ).

Cu toate acestea, există și alte grupuri care acoperă grupul PSL(2, R ) corespunzătoare tuturor n astfel încât , astfel încât să formeze o rețea de grupuri de acoperire prin divizibilitate. Ele sunt o acoperire a SL(2, R ) dacă și numai dacă n este par. $n\mathbf {Z} <\mathbf {Z} \cong \pi _{1}(\mathrm {PSL} (2,\mathbf {R} ))$

Structura algebrică

Centrul grupului SL(2, R ) este un grup cu două elemente, iar factorul PSL(2, R ) este un grup simplu . $\{\pm 1\}$

Subgrupurile discrete ale grupului PSL(2, R ) sunt numite grupuri fuchsiane . Ele sunt omologul hiperbolic al grupurilor de tapet euclidiene și al grupurilor de graniță . Cel mai cunoscut dintre acestea este grupul modular PSL(2, Z ), care acționează asupra plăcirii planului hiperbolic prin triunghiuri ideale .

Grupul U(1) , care poate fi considerat ca SO(2) , este un subgrup compact maxim al SL(2, R ) iar cercul este un subgrup compact maxim al PSL(2, R ). $\mathrm {SO} (2)/\{\pm 1\)$

Multiplicatorul Schur al grupului discret PSL(2, R ) este mult mai mare decât grupul Z și extensia centrală universală este mult mai mare decât grupul de acoperire universal. Cu toate acestea, aceste extensii centrale mari nu iau în considerare topologia și sunt oarecum patologice.

Teoria reprezentării

SL(2, R ) este un grup de Lie simplu necompact real și este o formă reală împărțită a grupului de Lie complex SL(2, C ). Algebra Lie a grupului SL(2, R ), notată cu sl(2, R ), este algebra tuturor matricelor [2] reale, fără urme . Aceasta este o algebră Bianchi de tip VIII. $2\times 2$

Teoria reprezentării finite-dimensionale a grupului SL(2, R ) este echivalentă cu teoria reprezentării SU(2) , care este forma reală compactă a grupului SL(2, C ). În special, SL(2, R ) nu are reprezentări unitare netriviale cu dimensiuni finite. Aceasta este o proprietate a oricărui grup Lie simplu non-compact conectat. Pentru o schiță a dovezii, vezi articolul „Neunitaritatea reprezentării” .

Teoria reprezentării infinit-dimensionale a grupului SL(2, R ) este foarte interesantă. Grupul are mai multe familii de reprezentări unitare, care au fost dezvoltate în detaliu de Gelfand și Naimark (1946), V. Bargman (1947) și Harish-Chandra (1952).

Vezi și

Note

↑ Kisil, 2012 , p. xiv+192.
↑ O matrice fără urme este o matrice a cărei urmă este 0.

Literatură

Valentine Bargmann. Reprezentări unitare ireductibile ale grupului Lorentz // Analele matematicii . - 1947. - T. 48 , nr. 3 . — S. 568–640 . - doi : 10.2307/1969129 . — .
Gelfand I.M., Naimark M.A. Reprezentări unitare ale grupului Lorentz // Izv. Academia de Științe a URSS. Ser. Matem .. - 1947. - T. 11 , nr. 5 . — S. 411–504 .
Harish Chandra. Formula Plancherel pentru grupul unimodular real // Proc. Natl. Acad. sci. STATELE UNITE ALE AMERICII. - 1952. - T. 38 . — S. 337–342 . - doi : 10.1073/pnas.38.4.337 . — PMID 16589101 . $2\times 2$
Serge Lang. . - New York: Springer-Verlag, 1985. - V. 105. - ISBN 0-387-96198-4 . - doi : 10.1007/978-1-4612-5142-2 . $\mathrm {SL} _{2}(\mathbf {R} )$
- Leng S. / Tradus din engleză de V.I. Vasyunin și M.A. Semionov-Tian-Shansky; Editat de A.A. Kirillov. - Moscova: Mir, 1977. $SL_{2}(R)$
William Thurston. Geometrie și topologie tridimensională. Vol. 1. - Princeton, NJ: Princeton University Press, 1997. - V. 35. - ISBN 0-691-08304-5 .
Vladimir V. Kisil. Geometria transformărilor Möbius. Acțiuni eliptice, parabolice și hiperbolice ale SL(2,R). - Londra: Imperial College Press, 2012. - ISBN 978-1-84816-858-9 . - doi : 10.1142/p835 .

Teoria grupurilor
Noțiuni de bază	Subgrup Subgrup normal Grup de factori Muncă direct semidirectă gratuit
Proprietăți algebrice	grup comutativ Grup ciclic grup ordonat Transformați grupul Grup solubil Lema lui Schreier teorema lui Lagrange teoremele lui Sylow Clasificarea grupurilor finite simple
grupuri finite	Grupa ciclică finită C n Grupul simetric S n Grupul diedric D n Grupa alternativă A n Grupul Cvadruplu Klein grupurile Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ grupuri Conway Co 1 Co2 _ Co3 _ grupuri Janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupuri de pescari F22 _ F 23 F24 _ Monstru (M)
Grupuri topologice	Grupuri de minciuni Grupul ortogonal O(n) Grup ortogonal special SO(n) Grupa unitară U(n) Grup unitar special SU(n) Grupa simplectică Sp(n) Simplu excepțional grupul Lorentz grupul Poincaré
Algoritmi pe grupuri	Schreier - Sims Todd - Coxeter transformata Fourier