Atom (teoria măsurării)

În teoria măsurării , un atom este un set măsurabil de măsură pozitivă care nu conține un subset al unei măsuri pozitive mai mici. O măsură care nu are atomi se numește fără atom .

Definiție

Dacă există un spațiu măsurabil și o măsură pe acest spațiu, atunci mulțimea de se numește un atom , dacă $(X,\Sigma)$ $\mu$ $A$ $\Sigma$

\mu (A)>0

iar pentru orice subset măsurabil al setului de la $B$ $A$

\mu (A)>\mu (B)

urmează că

\mu (B)=0.

Exemple

Se consideră o mulțime X = {1, 2, ..., 9, 10} și să fie sigma-algebra mulțimea tuturor submulților lui X . Să definim măsura unei mulțimi ca cardinalitate , adică numărul de elemente din ea. Atunci fiecare submulțime de un punct { i } pentru i = 1, 2, ..., 9, 10 este un atom. $\Sigma$ $\mu$
Măsura Lebesgue pe linia reală este fără atom.

Măsuri fără atom

O măsură care nu conține atomi se numește fără atom . Cu alte cuvinte, o măsură este fără atom dacă, pentru orice mulțime măsurabilă c, există o submulțime măsurabilă B a mulțimii A astfel încât $A$ $\mu (A)>0$

\mu (A)>\mu (B)>0.

O măsură fără atom cu cel puțin o valoare pozitivă are un număr infinit de valori diferite, deoarece plecând de la o mulțime A cu o măsură , se poate construi o succesiune infinită de mulțimi măsurabile $\mu (A)>0$

A=A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots

astfel încât

\mu (A)=\mu (A_{1})>\mu (A_{2})>\mu (A_{3})>\cdots >0.

Acest lucru poate să nu fie adevărat pentru măsurile cu atomi (vezi exemplul de mai sus).

De fapt, se dovedește că măsurile non-atomice au un continuum de valori. Se poate demonstra că dacă μ este o măsură fără atom și A este o mulțime măsurabilă cu atunci pentru orice număr real b care îndeplinește condiția $\mu (A)>0,$

\mu (A)\geq b\geq 0

există o submulţime B măsurabilă a mulţimii A astfel încât

\mu (B)=b.

Această teoremă a fost demonstrată de Vaclav Sierpinski . [1] [2] Seamănă cu teorema valorii intermediare pentru funcțiile continue.

Schiță a demonstrației teoremei lui Sierpinski pentru măsuri non-atomice. Să folosim o afirmație puțin mai puternică: dacă există un spațiu măsurabil fără atomi și , atunci există o funcție care definește o familie cu un parametru de mulțimi măsurabile S(t) astfel încât pentru toate $(X,\Sigma,\mu)$ $\mu (X)=c$ $S:[0,c]\la \Sigma$ $0\leq t\leq t'\leq c$

S(t)\subset S(t'),

\mu \left(S(t)\right)=t.

Dovada rezultă ușor din lema lui Zorn aplicată la mulțime

\Gamma :=\{S:D\la \Sigma \;:\;D\subset [0,\,c],\,S\;\mathrm {monoton} ,\forall t\in D\ ;(\mu \left(S(t)\right)=t)\},

ordonate prin includerea de grafice. Mai mult, se arată într-un mod standard că orice lanț în are un element maxim, iar orice element maxim are un domeniu de definiție , ceea ce dovedește afirmația. $\Gamma$ $\Gamma$ $[0,c]$

Vezi și

Funcția Dirac delta
Evenimente elementare , cunoscute și sub denumirea de evenimente atomice

Link -uri

↑ W. Sierpinski. Sur les fonctions d'ensemble additives et continue Arhivat 15 mai 2011 la Wayback Machine . Fundamenta Mathematicae, 3:240-246, 1922.
↑ Fryszkowski, Andrzej. Teoria punctului fix pentru mulțimi descompuse (Teoria punctului fix topologic și aplicațiile sale ) . — Springer. - P. 39. - ISBN 1-4020-2498-3 .

Bruckner, Andrew M.; Bruckner, Judith B.; Thomson, Brian S. Analiză reală . - Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall , 1997. - P. 108. - ISBN 0-13-458886-X .

Butnariu, Dan; Klement, EP Măsuri triunghiulare bazate pe norme și jocuri cu coaliții neclare . - Dordrecht: Kluwer Academic , 1993. - P. 87 . - ISBN 0-7923-2369-6 .