Autorregresie vectorială

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 25 martie 2013; verificările necesită 11 modificări .

Autoregresia vectorială ( VAR, Vector AutoRegression ) este un model de dinamică cu mai multe serii de timp în care valorile curente ale acestor serii depind de valorile trecute ale aceleiași serii de timp. Modelul a fost propus de Christopher Sims ca o alternativă la sistemele de ecuații simultane , care implică limitări teoretice semnificative. Modelele VAR sunt libere de constrângerile modelelor structurale. Problema modelelor VAR este însă creșterea bruscă a numărului de parametri cu creșterea numărului de serii temporale analizate și a numărului de decalaje.

Prezentare formală

De fapt, VAR este un sistem de ecuații econometrice, fiecare dintre acestea fiind un model autoregresiv și distribuit (ADL). Să fie a --a serie de timp. Va arăta ca modelul ADL(p,p) pentru a -a serie de timp $y^{i},i=1,\ldots ,k$ $i$ $i$

$y_{t}^{i}=a_{0}^{i}+\sum _{{j=1}}^{{k}}a_{{1j}}^{i}y_{{t-1 }}^{j}+\sum _{{j=1}}^{{k}}a_{{2j}}^{i}y_{{t-2}}^{j}+\ldots +\ suma _{{j=1}}^{{k}}a_{{pj}}^{i}y_{{tp}}^{j}+\varepsilon _{{t}}^{i}.$

Totuși, mai convenabilă și mai compactă este notația vector-matrice a modelului. Pentru a face acest lucru, este introdus un vector de serie de timp . Apoi, ecuațiile de mai sus pentru fiecare serie de timp pot fi scrise ca o singură ecuație în formă vectorială: $y_{t}=(y_{t}^{1},y_{t}^{2},\ldots, y_{t}^{k})$

$y_{t}=a_{0}+A_{1}y_{{t-1}}+A_{2}y_{{t-2}}+\ldots +A_{p}y_{{tp}}+ \varepsilon _{t}=a_{0}+\sum _{{m=1}}^{p}A_{m}y_{{tm}}+\varepsilon _{t},$

unde sunt matrice de elemente . $A.m}$ $a_{{mj}}^{i}$

Acesta este modelul de autoregresie vectorială de ordin p - VAR(p) .

Modelul prezentat este închis , în sensul că doar decalajele variabilelor endogene (explicate) acţionează ca variabile explicative. Cu toate acestea, nimic nu împiedică suplimentarea modelului cu unele variabile exogene și întârzierile acestora, de exemplu, până la ordinul lui q. Un astfel de model se numește deschis . Sub formă de matrice, acesta poate fi reprezentat după cum urmează:

$y_{t}=a_{0}+\sum _{{m=1}}^{p}A_{m}y_{{tm}}+\sum _{{n=0}}^{q}B_ {n}x_{{tn}}+\varepsilon _{t}.$

Reprezentarea operatorului

Modelele de autoregresie vectorială sub formă de operator care utilizează operatorul de întârziere au o formă și mai simplă : $L\colon x_{t}\mapsto x_{{t-1}}$

$A(L)y_{t}=a_{0}+B(L)x_{t}+\varepsilon _{t},~A(L)=I-\sum _{{m=1}}^{ p}A_{m}L^{m},~B(L)=\sum _{{n=0}}^{q}B_{n}L^{n}.$

Dacă rădăcinile polinomului caracteristic se află în afara cercului unitar (în planul complex ), atunci un astfel de proces de autoregresie vectorială este stabil (un analog al conceptului de staționaritate al modelelor autoregresive unice). Dacă condiția de stabilitate este îndeplinită, atunci următoarea reprezentare a modelelor VAR este acceptabilă: ${\rm {det)}(A(z))$

$y_{t}=A^{{-1}}(L)a_{0}+A^{{-1}}(L)B(L)x_{t}+A^{{-1}}( L)\varepsilon _{t}=y_{t}=A^{{-1}}(1)a_{0}+C(L)x_{t}+u_{t}.$

Polinomul matriceal C(L) din această reprezentare se numește funcție de transfer . O relație pe termen lung între variabilele endogene și exogene poate fi obținută prin înlocuirea unei unități în loc de operatorul de întârziere în această reprezentare:

$y_{t}^{*}=A^{{-1}}(1)a_{0}+A^{{-1}}(1)B(1)x_{t}^{*}=A ^{{-1}}(1)a_{0}+C(1)x_{t}^{*}.$

Matricea C(1) se numește matricea multiplicatorilor pe termen lung . Modelele VAR permit, de asemenea, o reprezentare ECM, uneori denumită model de corectare a erorilor vectoriale (VEC).

VAR, VEC și cointegrare

Să luăm în considerare această relație pe exemplul celui mai simplu model VAR(1).

$y_{t}=Ay_{{t-1}}+\varepsilon _{t}.$

Fie C matricea vectorului propriu a matricei A. Fie . Apoi modelul original are forma $x_{t}=C^{{-1}}y_{t}~\Rightarrow y_{t}=Cx_{t}$

$Cx_{t}=ACx_{{t-1}}+\varepsilon _{t}~\Rightarrow x_{t}=C^{{-1}}ACx_{{t-1}}+C^{{- 1}}\varepsilon _{t}.$

Având în vedere că C este matricea vectorilor proprii ai matricei A, obținem că este o matrice diagonală a valorilor proprii ale matricei A. Adică, o astfel de transformare a făcut posibilă obținerea unui set de modele AR (1): $C^{{-1}}AC=\Lambda$

$x_{t}^{i}=\lambda _{i}x_{{t-1}}^{i}+u_{{t}}^{i}.$

Condiția de staționaritate pentru procesele AR(1) este cunoscută și foarte simplă: coeficientul de autoregresie modulo trebuie să fie mai mic decât 1. Dacă condițiile de staționaritate sunt îndeplinite pentru cel puțin una dintre aceste ecuații (adică matricea A are cel puțin o a valorilor proprii ale modulului mai mic decât 1), atunci obținem că există o combinație liniară staționară a seriei temporale originale. Dacă seriile inițiale sunt serie I(1) nestaționare, adică integrate de ordinul întâi, atunci aceasta înseamnă că seria temporală originală va fi cointegrată . Numărul de astfel de valori proprii este egal cu rangul de cointegrare. Dacă rangul de cointegrare este egal cu numărul de variabile, atunci seriile de timp inițiale sunt staționare (nu conțin rădăcini de unitate) și puteți construi un model VAR convențional.

Dacă seria temporală este staționară, atunci puteți construi VAR obișnuit. Dacă sunt integrate, dar nu există cointegrare, atunci se construiește un VAR pentru diferențele de ordine corespunzătoare. Dacă există cointegrare, atunci se construiește un model de corectare a erorilor (VECM).

Metode de evaluare

Vezi și

Literatură

Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Econometrie. Curs inițial. - M . : Delo, 2007. - 504 p. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .
Nosko V.P. Econometrie. Introducere în analiza de regresie a seriilor temporale . - M. , 2002. - 273 p.