Bijectie

O bijecție este o mapare care este atât surjectivă , cât și injectivă . Într-o mapare bijectivă, fiecare element dintr-o mulțime corespunde exact unui element al altei mulțimi și este definită o mapare inversă care are aceeași proprietate. Prin urmare, o mapare bijectivă se mai numește și o mapare unu-la-unu (corespondență).

O mapare bijectivă care este un homomorfism se numește corespondență izomorfă .

Dacă o corespondență unu-la-unu (bijecție) poate fi stabilită între două mulțimi, atunci astfel de mulțimi sunt numite echivalente . În ceea ce privește teoria mulțimilor, seturile de putere egală nu se pot distinge.

O mapare unu-la-unu a unei multimi finite pe sine se numeste permutare (sau substituire) a elementelor acestei multimi.

În mod formal, o funcție se numește bijecție (și se notează cu ) dacă: $f\coloan X\la Y$ $f\colon X\leftrightarrow Y$

mapează diferite elemente ale unei mulțimi la diferite elemente ale unei mulțimi ( injectivitate ): $X$ $Y$ $\forall x_1\in X,\;\forall x_2\in X\; x_1 \ne x_2\Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)$ .
orice element al are preimaginea sa ( surjectivitate ): $Y$ $\forall y\in Y,\;\existe x\in X\;f(x)=y$ .

Exemple:

Maparea identității pe un set este bijectivă. $\mathrm {id} \colon X\to X$ $X$
$f(x)=x,\;f(x)=x^{3}$ sunt funcții bijective de la la sine; în general, orice monom al unei variabile de grad impar este o bijecție dinspre sine. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$
$f(x)=e^{x}$ este o funcție bijectivă de la la . $\mathbb {R}$ $\mathbb{R} _{+}=(0,\;+\infty )$
$f(x)=\sin x$ nu este o funcție bijectivă dacă presupunem că este definită pe orice . $\mathbb {R}$
O funcție strict monotonă și continuă este o bijecție de la segment la segment . $f(x)$ $[a,b]$ $[f(a),f(b)]$

O funcție este bijectivă dacă și numai dacă există o funcție inversă astfel încât: $f\coloan X\la Y$ $f^{{-1}}\colon Y\la X$

\forall x\in X\;f^{{-1}}(f(x))=x

și

\forall y\in Y\;f(f^{{-1}}(y))=y.

Dacă funcțiile și sunt bijective, atunci compoziția funcțiilor este de asemenea bijectivă, în acest caz , adică compoziția bijecțiilor este o bijecție. Inversul nu este adevărat în cazul general: dacă este bijectiv, atunci putem spune doar că este injectiv, dar surjectiv. $f$ $g$ $g\circf$ $(g\circ f)^{{-1}}=f^{{-1}}\circ g^{{-1}}$ $g\circf$ $f$ $g$

Literatură

Vereshchagin N. K., Shen A. Partea 1. Începuturile teoriei mulțimilor // Curs on Mathematical Logic and Theory of Algorithms. — Ed. a II-a, corectată. - M. : MTSNMO , 2002. - 128 p.
Ershov Yu. L., Paliutin E. A. Logica matematică: manual. - Ed. a III-a, stereotip .. - Sankt Petersburg. : Lan, 2004. - 336 p.

Dicționare și enciclopedii	Mare catalană Rusă mare Rusă mare Britannica (online)