Măsura externă

O măsură externă este una dintre generalizările conceptelor de lungime, suprafață și volum; este o funcție cu valoare reală definită pe toate submulțimile spațiului care satisface mai multe specificații suplimentare.

Istorie

Teoria generală a măsurii exterioare a fost dezvoltată de Constantine Carathéodory pentru a oferi o bază pentru teoria mulțimilor măsurabile și a măsurilor aditive numărabile. Lucrările lui Carathéodory privind măsura exterioară a găsit multe aplicații în teoria mulțimilor măsurabile (de exemplu, măsura exterioară este folosită în demonstrarea teoremei fundamentale de extensie a lui Carathéodory) și a fost folosită de Hausdorff pentru a defini un invariant metric care generalizează dimensiunea, acum numită dimensiunea Hausdorff .

Cazul dreptei numerice

Pentru o submulțime arbitrară a dreptei reale, se pot găsi în mod arbitrar multe sisteme diferite constând dintr-un număr finit sau numărabil de intervale, a căror unire conține mulțimea . Numim astfel de sisteme acoperiri. Deoarece suma lungimilor intervalelor care alcătuiesc orice acoperire este nenegativă, este mărginită mai jos și, prin urmare, setul lungimilor tuturor învelișurilor are o limită inferioară exactă. Această față, în funcție doar de set , se numește măsura exterioară : $E$ $E$ $E$

m^{*}E=\inf \left\{\sum _{i}\Delta _{i}\right\)

Opțiuni pentru desemnarea unei măsuri externe:

m^{*}E=\varphi (E)=|E|^{*}

Definiție formală

Să fie un set fix . O măsură exterioară este o funcție astfel încât $X$ $\mu ^{*}\colon 2^{X}\longrightarrow [0,\,+\infty ]$

$\mu ^{*}(\varnothing )=0$ ;
$\forall A\subseteq X,\,\forall A_{n}\subset X,n\geqslant 1,\,A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\ colon \mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }\mu ^{*}(A_{n})$ .

Fie o măsură definită pe inel . O măsură exterioară generată de o măsură este o funcție astfel încât $\mu$ $K$ $\mu$ $\mu ^{*}\colon 2^{X}\longrightarrow [0,\,+\infty ]$

${\displaystyle \mu ^{*}(A)=\inf {\bigl \{}\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}){\bigr \)),\ ;A_{n}\subset K,n\geqslant 1,\,A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n))$ dacă există cel puțin o astfel de acoperire a setului ; $A$
$\mu ^{*}(A)=+\infty$ in caz contrar.

Teorema . Măsura exterioară generată de măsură este măsura exterioară. $\mu ^{*}$ $\mu$

$\vartriangleright$ Să verificăm primul punct din definiția măsurii exterioare. . definit pe . $\mu \geqslant 0\Rightarrow \mu ^{*}\geqslant 0$ $\mu ^{*}$ $2^{{X}}$

\varnothing \in K\colon \mu ^{*}(\varnothing)\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }\mu (\varnothing)=0\Rightarrow \mu ^{* }(\varnothing )=0

Să verificăm al doilea punct al definiției. Lasă . Dacă există un astfel de set de pe copertă care , atunci inegalitatea este valabilă. Mai departe toate seturile din acoperire să fie astfel încât . Luați un arbitrar , prin definiția limitei inferioare exacte $A\subset \bigcup _{n=1}^{\infty}A_{n)$ $Un}}$ $\mu ^{*}(A_{n})=+\infty$ $\mu ^{*}(A_{n})<+\infty ,\,\forall n\geqslant 1$ $\varepsilon >0$

{\displaystyle \forall n\geqslant 1\,\exists B_{n_{k}}\in K,k\geqslant 1,\,A_{n}\subseteq \bigcup _{k=1}^{\infty} B_{n_{k}}\colon \mu ^{*}(A_{n})>\sum _{k=1}^{\infty }\mu (B_{n_{k)))-{\frac {\varepsilon }{2^{n))))

Apoi

\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=1}^{\infty }B_{n_{k)}\supseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\supseteq A

Deoarece este o uniune numărabilă de elemente ale inelului , atunci $\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=1}^{\infty }B_{n_{k))$ $K$

\mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }\mu (B_{n_{k)} )<\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\mu ^{*}(A_{n})+{\frac {\varepsilon }{2^{n))}{\ bigr )}=\sum _{n=1}^{\infty }\mu ^{*}(A_{n})+\varepsilon ,\varepsilon \longrightarrow 0+

\vartriangleleft

Proprietăți de măsură exterioară

Proprietățile măsurătorii externe : $\mu ^{*}$

$\forall n\geqslant 1,\,A\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\colon \mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{k= 1}^{n}\mu ^{*}(A_{k})$ .

$\vartriangleright$ Într-adevăr,

A\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\cup \varnothing \cup \varnothing \cup \cdots \Rightarrow \mu ^{*}(A)\leqslant \sum _ {k=1}^{n}\mu ^{*}(A_{k})+\mu ^{*}(\varnothing )+\mu ^{*}(\varnothing )+\cdots =\sum _ {k=1}^{n}\mu ^{*}(A_{k})

\vartriangleleft

$A\subseteq B\Rightarrow \mu ^{*}(A)\leqslant \mu ^{*}(B)$ ( monotonitate ).

$\vartriangleright$ Urmează din proprietatea anterioară la . $n=1$ $\vartriangleleft$

𝜇*-seturi măsurabile

Să fie o măsură externă definită pe submulțimi ale mulțimii . Apoi se stabilește astfel încât egalitatea să fie valabilă pentru toți $\mu ^{*}$ $X$ $E\subset X$ $A\subset X$

\mu ^{*}(A)=\mu ^{*}(A\cap E)+\mu ^{*}(A\cap {\overline {E))}

sunt numite măsurabile. -mulțimile măsurabile formează un σ-ring, iar o funcție definită pe elementele acestui σ-ring este o măsură generată de . Dacă măsura exterioară este generată de o măsură definită pe inel , atunci va fi o extensie a măsurii (unde este măsura definită mai sus, generată de ). $\mu ^{*}$ $\mu ^{*}$ $\mu ^{*}$ $\mu ^{*}$ $\mu ^{*}$ $\mu$ $K$ ${\overline {\mu ))$ $\mu$ ${\overline {\mu ))$ $\mu ^{*}$

Dacă este definit de o măsură externă generată de măsură , atunci dacă și numai dacă măsura externă în sine este generată de o măsură oarecare . ${\overline {\mu }}^{*}$ ${\overline {\mu ))$ $\mu ^{*}={\overline {\mu }}^{*}$ $\mu ^{*}$ $\mu$

Vezi și

Literatură

Dorogovtsev A.Ya. Elemente ale teoriei generale a măsurii și integralei. Kiev, 1989
Khalmosh P.R. teoria măsurării. M.: Izd-vo inostr. lit., 1953