Teorema de continuare a măsurii lui Carathéodory

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 8 octombrie 2017; verificările necesită 3 modificări .

În teoria măsurilor , teorema lui Carathéodory afirmă că o măsură aditivă numărabilă arbitrară pe un inel de submulțimi ale unei mulțimi poate fi extinsă la un inel σ generat de inel . În cazul σ-finitivității măsurii, o astfel de extensie este unică. În special, existența și unicitatea măsurii Borel și a măsurii Lebesgue decurg din teoremă . $\mathcal{R}$ $\Omega$ $\mathcal{R}$

Declarație

Fie inelul de submulțimi ale mulțimii cu măsura , și inelul σ generat de . Teorema lui Carathéodory afirmă că există o măsură care este o extensie a măsurii , adică . Mai mult, dacă măsura este σ-finită, atunci o astfel de extensie este unică și, de asemenea, σ-finită. $\mathcal{R}$ $\Omega$ $\mu :{\mathcal {R}}\la [0,+\infty ]$ $\sigma ({\mathcal {R}})$ $\mathcal{R}$ $\mu ':\sigma ({\mathcal {R)})\la [0,+\infty ]$ $\mu$ $\mu '|_{\mathcal {R}}=\mu$ $\mu$ $\mu'$

Jumătate de inel

Mai general, o astfel de extensie există pentru o măsură definită pe un semiring , adică o familie de submulțimi care îndeplinesc următoarele condiții: $S$

$\varnothing \in S$ ;
pentru orice intersectie ; $A,B\în S$ $A\cap B\în S$
pentru oricare există astfel de seturi disjunse în perechi , unde , ce . $A,B\în S$ $K_{i}\în S$ $i=1,2,\ldots ,n$ $A\setminus B=\biguplus _{i=1}^{n}{K_{i)}$

Cu toate acestea, acest caz poate fi redus cu ușurință la cel anterior, deoarece fiecare semi -inel generează un inel ale cărui elemente sunt toate posibile uniuni finite disjunctive de mulțimi din : $S$ $R(S)$ $S$

R(S)=\{A:A=\biguplus _{i=1}^{n}{A_{i)),A_{i}\in S\)

iar măsura dată pe semiring se extinde pe întreg inelul: $\mu$

\mu (A)=\sum _{i=1}^{n}{\mu (A_{i))))

, unde , .

A=\biguplus _{i=1}^{n}{A_{i)}

A_{i}\în S

Construirea unei continuare

Fie o măsură definită pe inelul de submulțimi ale mulțimii . Apoi pe submulțimi se poate defini funcția $\mu$ $\mathcal{R}$ $\Omega$ $A\subset \Omega$

\mu ^{*}(A)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\mathrm {\mu} \,(E_{k})\,\mid \,E_{k}\in {\mathcal {R)),\,A\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\right\}.

Această funcție este măsura exterioară generată de măsură . Să notăm familia de submulțimi ale mulțimii astfel încât pentru toți . $\mu$ ${\mathcal {M}}_{\mu }$ $A$ $\Omega$ $E\subset \Omega$ $\mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\setminus A)=\mu ^{*}(E)$

Atunci este un inel σ și este posibil să se definească o măsură pe el pentru toate . Funcția astfel definită este o măsură care coincide cu pe seturile inelului . De asemenea , conține o σ-algebră și o restricție la elemente și va fi o extensie necesară a măsurii. ${\mathcal {M}}_{\mu }$ ${\overline {\mu }}(A)=\mu ^{*}(A)$ $A\in {\mathcal {M}}_{\mu }$ $\mu$ $\mathcal{R}$ ${\mathcal {M}}_{\mu }$ $\sigma ({\mathcal {R}})$ ${\overline {\mu ))$ $\sigma ({\mathcal {R}})$

Inelul σ este o completare a inelului , respectiv, ele coincid dacă o anumită măsură pe este completă. ${\mathcal {M}}_{\mu }$ $\sigma ({\mathcal {R}})$ $\sigma ({\mathcal {R}})$

Exemple

Dacă pe linia reală luăm un semicerc de intervale , unde şi măsura este egală cu , atunci construcţia prezentată dă definiţia măsurii Borel pe mulţimi Borel . Setul de aici corespunde setului de mulțimi măsurabile Lebesgue. $\mathcal{S}$ $[a,b]$ $a<b$ $[a,b]$ $ba$ $\sigma ({\mathcal {S}})$ ${\mathcal {M}}_{\mu }$
Condiția σ-finitivitate este necesară pentru unicitatea continuării. De exemplu, pe mulțimea tuturor numerelor raționale din intervalul , se poate defini un semicerc de intervale cu capete raționale , unde sunt numerele raționale din intervalul . Inelul σ generat de acest semiinel este mulțimea tuturor submulților de . Acum , stabilind , egal cu numărul de elemente , și , avem că ambele măsuri coincid pe semi-inel și pe inelul generat (deoarece toate mulțimile nevide ale semi-inelului și inelului sunt infinite, atunci ambele măsuri sunt egale pe toate acestea multimi ), dar nu coincid pe inelul σ generat. Adică, în acest caz, continuarea nu este unică. $X$ $[0,1]$ $[a, b)$ $a<b$ $[0,1]$ $X$ $\mu (A)$ $A$ $\mu '(A)=2\mu (A)$ $\infty$

Literatură

Khalmosh P. R. Teoria măsurii. M.: Izd-vo inostr. lit., 1953
Dorogovtsev A. Ya. Elemente ale teoriei generale a măsurii și a integralei. Kiev, 1989