Vibrații forțate

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 4 iunie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Oscilații forțate - oscilații care apar sub influența forțelor periodice externe.

Autooscilațiile diferă de oscilațiile forțate prin aceea că acestea din urmă sunt cauzate de o acțiune externă periodică și apar la frecvența acestei acțiuni, în timp ce apariția autooscilațiilor și frecvența lor sunt determinate de proprietățile interne ale sistemului autooscilant în sine. .

Cel mai simplu și mai semnificativ exemplu de oscilații forțate poate fi obținut din luarea în considerare a unui oscilator armonic și a unei forțe motrice care se modifică conform legii: . $F(t) = F_0 \cos\left(\Omega t\right)$

Oscilații forțate ale unui oscilator armonic

Oscilatorul armonic conservator

A doua lege a lui Newton pentru un astfel de oscilator se va scrie sub forma: . Dacă introducem notația: și înlocuim accelerația cu derivata a doua a coordonatei în raport cu timpul, obținem următoarea ecuație diferențială ordinară : $ma = -kx + F_0 \cos\left(\Omega t\right)$ $\omega_0^2=\frac km, \quad \Phi_0=\frac{F_0}{m}$

\ddot x + \omega_0^2 x = \Phi_0 \cos (\Omega t)

Soluția acestei ecuații va fi suma soluției generale a ecuației omogene și a soluției particulare a celei neomogene. Soluția generală a ecuației omogene a fost deja obținută aici și are forma:

x(t) = A \sin\left(\omega_0 t + \varphi\right)

unde sunt constante arbitrare, care sunt determinate din condițiile inițiale. $A,\varphi$

Să găsim o soluție anume. Pentru a face acest lucru, înlocuim o soluție de forma: în ecuație și obținem valoarea constantei: $x(t)=B \cos \left(\Omega t \right)$

B = \frac{\Phi_0}{\omega_0^2 - \Omega^2}

Apoi soluția finală va fi scrisă astfel:

x(t)=A\sin \left(\omega _{0}t+\varphi \right)+{\frac {\Phi _{0)}{\omega _{0}^{2}- \Omega ^{2}}}\cos \left(\Omega t\right)

Rezonanță

Din soluție se poate observa că atunci când frecvența forței motrice este egală cu frecvența oscilațiilor libere, nu este potrivită - are loc rezonanța , adică o creștere liniară „nelimitată” a amplitudinii în timp. Din cursul analizei matematice se ştie că soluţia în acest caz trebuie căutată sub forma: . Înlocuind acest ansatz în ecuația diferențială , obținem asta $x(t)=t \left(A \cos \left(\Omega t \right) + B \sin \left(\Omega t \right)\right)$

A = 0 \qquad B = \frac{\Phi_0}{2\Omega}

Astfel, oscilațiile la rezonanță vor fi descrise prin următoarea relație:

x(t) = \frac{\Phi_0}{2\Omega} t \sin \left(\Omega t \right)

Oscilator armonic amortizat

A doua lege a lui Newton:

ma = -kx - \alpha v + F_0 \cos\left(\Omega t\right)

Redenumiri:

\omega_0^2=\frac km, \qquad \Phi_0=\frac{F_0}{m}, \qquad \zeta = \frac {\alpha}{2\sqrt{km}}

Ecuație diferențială:

{\ddot {x}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=\Phi _{0}\cos \left (\Omega t\dreapta)

Soluția sa va fi construită ca sumă a soluțiilor unei ecuații omogene și a unei soluții particulare a uneia neomogene . O analiză a ecuației omogene este dată aici . Obținem și analizăm o anumită soluție.

Scriem forța motrice astfel: , apoi vom căuta soluția sub forma: , unde . Înlocuiți această soluție în ecuație și găsiți o expresie pentru : $\Phi_0 \cos \Omega t = \Phi_0 Re\, e^{-i\Omega t}$ $x(t)=Ae^{-i\Omega t)$ $A\in \mathbb {C}$ $A$

A={\frac {\Phi _{0}}{\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}-2i\zeta \Omega }}={\frac {\Phi _ {0}\left(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}+2i\zeta \Omega \right)}{\left(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}\right)^{2}+4\zeta ^{2}\Omega ^{2}}}=|A|e^{-i\varphi }

Unde $|A|={\frac {\Phi _{0}}{\sqrt {\left(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}\right)^{2}+ 4\zeta ^{2}\Omega ^{2)))),\qquad \varphi =-\arctan {\frac {2\zeta \Omega }{\omega _{0}^{2}-\Omega ^ {2}}}$

Soluția completă arată astfel:

x (t) = e^{- \zeta \omega_0 t} (c_1 \cos( \omega_\mathrm{d} t) + c_2 \sin( \omega_\mathrm{d} t )) + Re\left[\ frac{\Phi_0\left(\omega_0^2-\Omega^2 + 2i\zeta\Omega\omega_0\right)}{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)^2+4\zeta ^2\Omega^2\omega_0^2} e^{-i\Omega t}\right]

unde este frecvența naturală a oscilațiilor amortizate. $\omega_\mathrm{d}=\omega_0 \sqrt{1- \zeta^2 }$

Constantele și în fiecare dintre cazuri sunt determinate din condițiile inițiale: $c_1$ $c_2$ $\left\{\begin{array}{ccc}x(0) &=& x_0 \\ \dot{x}(0) &=& v_0 \end{array}\right.$

În acest caz, spre deosebire de un oscilator fără frecare, amplitudinea oscilației la rezonanță are o valoare finită.

Dacă luăm în considerare un proces stabil, adică o situație cu , atunci soluția ecuației omogene va tinde spre zero și va rămâne doar o anumită soluție: $t\, \to\, \infty$

x(t \to \infty)=\Phi_0 \frac{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)\cos{\Omega t}+2\zeta\Omega\sin{\Omega t)) {\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)^2+4\zeta^2\Omega^2} = \frac{\Phi_0}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2 )^2 + 4 \zeta^2\omega_0^2 \Omega^2 }} \cos (\Omega t - \varphi )

Aceasta înseamnă că la , sistemul „uită” condițiile inițiale, iar natura oscilațiilor depinde doar de forța motrice. $t\, \to\, \infty$

Munca făcută de forța motrice în timp este , iar puterea este . Din ecuație $F(t) = F_0 \cos\left(\Omega t\right)$ $dt\$ $F dx\$ $P = F \frac{dx}{dt}$

\ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x = \Phi_0 \cos\left(\Omega t\right)

urmează că

P(t) = F \dot x = ( \ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x )m \dot x

Dacă luăm în considerare faptul că cu oscilații forțate constante

x\, = A\, \cos ( \Omega t - \varphi )

\dot x = - A \Omega \sin ( \Omega t - \varphi )

\ddot x = - A \Omega ^2 \cos ( \Omega t - \varphi )

atunci puterea medie pe perioada este: $T = \frac{2 \pi }{ \Omega }$

P = \frac{m}{T} \int_0^T ( \ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x ) \dot x dt = A^2 m \zeta\omega_0 \Omega ^ 2

Lucrați pentru perioada respectivă

W = m \int_0^T ( \ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x ) \dot x dt = A^2 m \zeta\omega_0 \Omega ^2 T =2\pi A ^2 m \zeta\omega_0 \Omega

Literatură

Butikov E.I. Oscilațiile naturale ale unui oscilator liniar. Ghid de studiu . Arhivat din original pe 11 martie 2012. (nedefinit)
Rabinovici M.I., Trubetskov D.I. Introducere în teoria oscilațiilor și undelor.