Progresie geometrică

O progresie geometrică este o succesiune de numere , , , ( membrii progresiei), în care fiecare număr ulterior, începând cu al doilea, se obține de la membrul anterior înmulțindu-l cu un anumit număr ( numitorul progresiei). În același timp [1] . $b_{1}$ $b_{2}$ $b_{3}$ $\ldots$ $q$ $b_{1}\neq 0,q\neq 0;b_{n}=b_{n-1}q,n\in \mathbb {N} ,n\geqslant 2$

Descriere

Orice membru al unei progresii geometrice poate fi calculat folosind formula

b_{n}=b_{1}q^{n-1}.

Dacă și , progresia este o secvență crescătoare , dacă , este o secvență descrescătoare , iar pentru , este o secvență alternativă [2] , pentru , este staționară . $b_{1}>0$ $q>1$ $0<q<1$ $q<0$ $q=1$

Progresia și-a luat numele de la proprietatea sa caracteristică :

|b_{n}|={\sqrt {b_{n-1}b_{n+1}}},

adică modulul fiecărui termen este egal cu media geometrică a vecinilor săi.

Exemple

Secvența ariilor pătratelor , în care fiecare pătrat următor este obținut prin conectarea punctelor medii ale laturilor celui precedent, este o progresie geometrică infinită cu un numitor de 1/2. Ariile triunghiurilor obținute la fiecare pas formează, de asemenea, o progresie geometrică infinită cu numitorul 1/2, a cărei sumă este egală cu aria pătratului inițial [3] :8-9 .
Geometrică este succesiunea numărului de granule de pe celule în problema granulelor de pe o tablă de șah .
2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128, 256, 512, 1024 , 2048, 4096, 8192 - o progresie geometrică cu un numitor de 2 din treisprezece membri.
cincizeci; 25; 12,5; 6,25; 3,125; ... este o progresie geometrică infinit descrescătoare cu numitorul 1/2.
patru; 6; 9 este o progresie geometrică a trei elemente cu un numitor de 3/2.
$\pi$ , , , este o progresie geometrică staționară cu numitorul 1 (și o progresie aritmetică staționară cu diferența de 0). $\pi$ $\pi$ $\pi$
3; −6; 12; −24; 48; … este o progresie geometrică alternativă cu numitorul −2.
unu; −1; unu; −1; unu; … este o progresie geometrică alternativă cu numitorul −1.

Proprietăți

Formula pentru numitorul unei progresii geometrice:

q={\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}

Dovada

Conform definiţiei unei progresii geometrice.

Logaritmii termenilor unei progresii geometrice (dacă sunt definite) formează o progresie aritmetică .

Dovada

$\log(b_{n})=\log(b_{1}q^{n-1})=\log(b_{1})+(n-1)\cdot \log(q)$ Formula pentru termenul comun al unei progresii aritmetice este: . În cazul nostru , . $a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d$

$a_{1}=\log(b_{1})$
$d=\log(q)$

$b_{{n}}^{2}=b_{{ni}}b_{{n+i}}$ daca . $1<i<n$

Dovada

$b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^ {n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{ni}b_{n+i}.$

Produsul primilor n termeni ai unei progresii geometrice poate fi calculat folosind formula $P_{n}=(b_{1}\cdot b_{n})^{\frac {n}{2)).$

Dovada

$P_{n}=\prod _{i=1}^{n}b_{i}=\prod _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_ {1}^{n}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}.$ Să extindem lucrarea : Expresia este o progresie aritmetică cu și pasul 1. Suma primilor n membri ai progresiei este Unde $\prod _{{i=1}}^{n}q^{{i-1}}$ $\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=q^{0}\cdot q^{1}\cdot q^{2}\cdot \ldots \cdot q^ {i-1}=q^{0+1+2+\ldots +(i-1)}.$ $0+1+2+\ldots +(n-1)$ $a_{1}=0$ $S_{n}=n\cdot {\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}=n\cdot {\frac {0+(n-1)}{2}}.$ $P_{n}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}\prod _{i=1}^{n} q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}q^{\frac {n(0+(n -1))}{2}}=\left(b_{1}b_{1}q^{n-1}\right)^{\frac {n}{2}}=\left(b_{1} b_{n}\dreapta)^{\frac {n}{2)).$

Produsul termenilor unei progresii geometrice, începând cu termenul k și terminând cu termenul al n -lea , poate fi calculat prin formula $P_{k,n}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.$

Dovada

$P_{k,n}=\prod _{i=k}^{n}b_{i}={\frac {\prod _{i=1}^{n}b_{i)}{\ prod _{j=1}^{k-1}b_{j}}}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.$

Suma primilor termeni ai unei progresii geometrice $n$ $S_{n}={\begin{cases}\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}={\frac {b_{1}-b_{1}q^{n }}{1-q}}={\frac {b_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}},&{\mbox{if }}q\neq 1 \\\\nb_{1},&{\mbox{dacă }}q=1\end{cases}}$

Dovada

Dovada prin suma: $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_ {1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-2}=b_{1}+q\sum _ {i=1}^{n-1}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i- 1}-b_{1}q^{n}.$ Adică sau $\sum _{{i=1}}^{n}b_{1}q^{{i-1}}=b_{1}+q\sum _{{i=1}}^{n}b_{ 1}q^{{i-1}}-b_{1}q^{n}$ $\left(1-q\right)\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}-b_{1}q^{n} .$ Unde $\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}={\frac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q }}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$
Dovada prin inductie pe . $n$ Lăsa $S_{n}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$ Când avem: $n=1$ $S_{1}=\sum _{i=1}^{1}b_{i}=b_{1}=b_{1}{\frac {1-q^{1}}{1-q }}.$ Când avem: $n\rightarrow n+1$ $S_{n+1}=\sum _{i=1}^{n+1}b_{i}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}+b_{n+ 1 }=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}+b_{1}q^{n}=b_{1}\left({\frac {1-q ^ {n}}{1-q}}+q^{n}\right)=b_{1}\left({\frac {1-q^{n}+q^{n}-q^{n + 1}}{1-q}}\right)=b_{1}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}.$

Suma tuturor membrilor unei progresii descrescătoare:

\left|q\right|<1

, apoi la , și

b_{n}\la 0

n\la +\infty

S_{n}\to {\frac {b_{1}}{1-q}}

la .

n\la +\infty

Dovada

$\lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{1}\left(1-q^{n}\right)} {1-q}}=\lim _{n\la \infty }\left({\frac {b_{1}}{1-q}}-b_{1}{\frac {q^{n}} {1-q}}\right)={\frac {b_{1}}{1-q}}-b_{1}\lim _{n\to \infty }{\frac {q^{n}} {1-q}}.$ Dacă atunci la Prin urmare Prin urmare $\left|q\right|<1,$ $q^{n}\la 0$ $n\la \infty .$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {q^{n}}{1-q}}=0.$ $\lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {b_{1}}{1-q}}.$

Vezi și

Note

↑ Progresia geometrică Arhivată 12 octombrie 2011 la Wayback Machine pe mathematics.ru
↑ Progresia geometrică // Marea Enciclopedie Sovietică : [în 30 de volume] / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.
↑ Rowe S. Exerciții geometrice cu o bucată de hârtie . - Ed. a II-a. - Odesa: Mathesis, 1923.

Dicționare și enciclopedii	Marele Soviet (1 ed.) Britannica (online)