Triunghiul lui Heron

Un triunghi heronian este un triunghi ale cărui laturi și aria sunt numere întregi [1] [2] . Triunghiurile heroniene sunt numite după matematicianul grec Heron . Termenul este uneori înțeles oarecum mai larg și se extinde la triunghiuri care au laturi și arii raționale [3] .

Proprietăți

Toate triunghiurile dreptunghiulare, ale căror laturi formează triple pitagoreene , sunt heroniene, deoarece laturile lor sunt întregi prin definiție , iar aria este, de asemenea, întreagă, deoarece este jumătate din produsul catetelor, dintre care unul are în mod necesar o lungime pară.

Un exemplu de triunghi heronian care nu are unghi drept este un triunghi isoscel cu laturile 5, 5 si 6 a carui aria este 12. Acest triunghi se obtine prin unirea a doua triunghiuri dreptunghiulare cu laturile 3, 4 si 5 de-a lungul unei laturi de lungime 4. Această abordare funcționează în cazul general, așa cum se arată în figura din dreapta. Luați un triplu pitagoreic ( a , b , c ), unde c este cea mai mare latură, apoi un alt triplu ( a , d , e ), în care cea mai mare latură este e , triunghiurile sunt construite în funcție de lungimile laturilor date și combinate de-a lungul latura cu lungimea a , obținând triunghi cu laturile c , e și b + d și aria

A={\frac {1}{2}}(b+d)a

(jumatatea bazei inmultit inaltimea).

Dacă a este par, atunci aria va fi un număr întreg. Mai puțin evident este cazul când a este impar, dar în acest caz A rămâne întreg, deoarece laturile b și d trebuie să fie numere pare și, prin urmare, b + d vor fi și ele par.

Unele triunghiuri heroniene nu pot fi obținute prin combinarea triunghiurilor dreptunghiulare cu laturile întregi folosind metoda descrisă mai sus. Deci, de exemplu, un triunghi heronian cu laturile 5, 29, 30 și aria 72 nu poate fi obținut din două triunghiuri pitagorice, deoarece niciuna dintre înălțimile sale nu este un număr întreg. De asemenea, este imposibil să construiești un triunghi pitagoreic primitiv din două triunghiuri pitagorice mai mici [4] . Astfel de triunghiuri heroniene se numesc indecompuse [4] . Totuși, dacă permitem triplele pitagorice cu valori raționale, refuzând să fie integrale, atunci există întotdeauna o împărțire în două triunghiuri dreptunghiulare cu laturi raționale [5] , deoarece toate înălțimile triunghiului heronian sunt numere raționale (deoarece înălțimea este egal cu dublul ariei împărțite la bază și ambele aceste numere sunt numere întregi). Astfel, triunghiul heronian cu laturile 5, 29, 30 poate fi obținut din triunghiuri pitagorice raționale cu laturile 7/5, 24/5, 5 și 143/5, 24/5, 29. Rețineți că triplele pitagorice raționale sunt pur și simplu versiuni ale întreg Triplete pitagoreice împărțite la un număr întreg.

Alte proprietăți ale triunghiurilor heroniene pot fi găsite în articolul Triunghi întreg#Triunghiuri heroniene .

Formula exactă pentru triunghiuri heroniene

Orice triunghi heronian are laturile proporționale cu valorile [6]

a=n(m^{{2}}+k^{{2}})

b=m(n^{{2}}+k^{{2}})

c=(m+n)(mn-k^{{2}})

Semiperimetrul

=s=(a+b+c)/2=mn(m+n)

Pătrat

=mnk(m+n)(mn-k^{{2}})

Raza cercului înscris

=k(mn-k^{{2}})

sa=n(mn-k^{{2}})

sb=m(mn-k^{{2}})

sc=(m+n)k^{{2}}

pentru numere întregi m , n și k , unde

\gcd {(m,n,k)}=1

mn>k^{2}\geq m^{2}n/(2m+n)

m\geq n\geq 1

Coeficientul de proporționalitate în cazul general este un număr rațional , unde triunghiul heronian rezultat duce la unul primitiv și îl întinde la dimensiunea necesară. De exemplu, luând m = 36, n = 4 și k = 3, obținem un triunghi cu laturile a = 5220, b = 900 și c = 5400, care este similar cu triunghiul heronian 5, 29, 30 și proporționalitatea factorul are numărătorul p = 1 și numitorul q = 180. ${\frac {p}{q))$ $q=\gcd {(a,b,c)}$ $p$

Vezi, de asemenea, triunghiuri heroniene cu un unghi dublu față de celălalt , triunghiuri heroniene cu laturile în progresie aritmetică și triunghiuri heroniene isoscele .

Exemple

Lista de triunghiuri heroniene întregi primitive, sortate după arie și, dacă ariile sunt egale, după perimetru . „Primitiv” înseamnă că cel mai mare divizor comun al celor trei lungimi de laturi este 1.

Pătrat	Perimetru	Lungimi laterale
6	12	5	patru	3
12	16	6	5	5
12	optsprezece	opt	5	5
24	32	cincisprezece	13	patru
treizeci	treizeci	13	12	5
36	36	17	zece	9
36	54	26	25	3
42	42	douăzeci	cincisprezece	7
60	36	13	13	zece
60	40	17	cincisprezece	opt
60	cincizeci	24	13	13
60	60	29	25	6
66	44	douăzeci	13	unsprezece
72	64	treizeci	29	5
84	42	cincisprezece	paisprezece	13
84	48	21	17	zece
84	56	25	24	7
84	72	35	29	opt
90	54	25	17	12
90	108	53	51	patru
114	76	37	douăzeci	19
120	cincizeci	17	17	16
120	64	treizeci	17	17
120	80	39	25	16
126	54	21	douăzeci	13
126	84	41	28	cincisprezece
126	108	52	51	5
132	66	treizeci	25	unsprezece
156	78	37	26	cincisprezece
156	104	51	40	13
168	64	25	25	paisprezece
168	84	39	35	zece
168	98	48	25	25
180	80	37	treizeci	13
180	90	41	40	9
198	132	65	55	12
204	68	26	25	17
210	70	29	21	douăzeci
210	70	28	25	17
210	84	39	28	17
210	84	37	35	12
210	140	68	65	7
210	300	149	148	3
216	162	80	73	9
234	108	52	41	cincisprezece
240	90	40	37	13
252	84	35	34	cincisprezece
252	98	45	40	13
252	144	70	65	9
264	96	44	37	cincisprezece
264	132	65	34	33
270	108	52	29	27
288	162	80	65	17
300	150	74	51	25
300	250	123	122	5
306	108	51	37	douăzeci
330	100	44	39	17
330	110	52	33	25
330	132	61	60	unsprezece
330	220	109	100	unsprezece
336	98	41	40	17
336	112	53	35	24
336	128	61	52	cincisprezece
336	392	195	193	patru
360	90	36	29	25
360	100	41	41	optsprezece
360	162	80	41	41
390	156	75	68	13
396	176	87	55	34
396	198	97	90	unsprezece
396	242	120	109	13

Triunghiuri comparabile

O figură se numește comparabilă dacă aria este egală cu perimetrul. Există exact cinci triunghiuri heroniene comparabile - (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) și (9,10,17) [7] [opt]

Triunghiuri heroniene aproape echilaterale

Deoarece aria unui triunghi regulat cu laturile raționale este un număr irațional , niciun triunghi echilateral nu poate fi heronian. Cu toate acestea, există o succesiune de triunghiuri heroniene care sunt „aproape regulate” deoarece laturile lor sunt de forma n − 1, n , n + 1. Primele exemple ale acestor triunghiuri aproape echilaterale sunt enumerate în tabelul de mai jos (secvența A003500 în OEIS ).

Lungime laterală			Pătrat	Raza înscrisă
n - 1	n	n + 1	Pătrat	Raza înscrisă
3	patru	5	6	unu
13	paisprezece	cincisprezece	84	patru
51	52	53	1170	cincisprezece
193	194	195	16296	56
723	724	725	226974	209
2701	2702	2703	3161340	780
10083	10084	10085	44031786	2911
37633	37634	37635	613283664	10864

Următoarea valoare pentru n poate fi găsită înmulțind valoarea anterioară cu 4 și apoi scăzând valoarea care o precede (52 = 4 × 14 − 4, 194 = 4 × 52 − 14 etc.). În acest fel,

n_{t}=4n_{{t-1}}-n_{{t-2}}

unde t este numărul rândului din tabel. Această secvență este secvența Lucas . De asemenea, puteți obține această secvență prin formulă pentru toate n . Dacă punem A = aria și y = raza cercului înscris, atunci $(2+{\sqrt {3}})^{t}+(2-{\sqrt {3}})^{t}$

{\big (}(n-1)^{2}+n^{2}+(n+1)^{2}{\big )}^{2}-2{\big (}(n-1) )^{4}+n^{4}+(n+1)^{4}{\big )}=(6ny)^{2}=(4A)^{2}

unde { n , y } sunt soluții ale ecuației n 2 − 12 y 2 = 4. O mică substituție n = 2x dă binecunoscuta ecuație Pell x 2 − 3 y 2 = 1, ale cărei soluții pot fi obținute din expansiunea continuă a fracțiunii a √3 [9]

Variabila n are forma , unde k este egal cu 7, 97, 1351, 18817, …. Numerele din această secvență au proprietatea că k numere întregi consecutive au o abatere standard a numărului întreg . [zece] $n={\sqrt {2+2k))$

Vezi și

Tetraedrul stârc
Cadrilaterul lui Brahmagupta
Triunghi dreptunghic
Pentagonul Robbins
Triunghi
triunghi întreg

Note

↑ Carlson, 1970 , p. 499-506.
↑ Beauregard, Suryanarayan, 1998 , p. 13-17.
↑ Eric W. Weisstein. Triunghiul Heronian.
↑ 12 Yiu , 2008 , p. 17.
↑ Sierpinski, 2003 .
↑ Carmichael, 1959 , p. 11-13.
↑ Dickson, 2005 , p. 199.
↑ Markowitz, 1981 , p. 222-3.
^ Richardson, 2007 .
↑ Online Encyclopedia of Integer Sequences, A011943 .

Link -uri

John R. Carlson. Determinarea triunghiurilor heroniene // Fibonacci Quarterly. - 1970. - T. 8 .
RD Carmichael. Teoria numerelor și analiza diofantină . - Dover Publications, Inc., 1959. - S. 1914, Diophantine Analysis .
Raymond A. Beauregard, E. R. Suryanarayan. Triunghiurile Brahmagupta. - 1998. - T. 29 , nr. 1 ianuarie . - doi : 10.2307/2687630 .
Leonard Eugene Dickson. Istoria teoriei numerelor ,. - Dover Publications, 2005. - T. Il: Diophantine Analysis. — ISBN 9780486442334 .
L. Markowitz. Aria = Perimetru // Profesorul de matematică. - 1981. - T. 74 , nr. 3 . - S. 222-3 .
William H. Richardson. Triunghiuri super-heroniane. — 2007.
Waclaw Sierpinski. Triunghiuri pitagoreice. — Retipărire a cărții în 1962. - Dover Publications, Inc., 2003. - ISBN 978-0-486-43278-6 .
Paul Yiu. Triunghiuri de stârc care nu pot fi descompuse în două triunghiuri dreptunghiulare întregi. - A 41-a întâlnire a Secțiunii din Florida a Asociației Matematice din America, 2008.
Enciclopedia online a secvențelor întregi heroniene
wm. Fitch Cheney Jr. Triunghiuri heroniene // Am. Matematică. Lunar. - 1929. - T. 36 , nr. 1 ianuarie . - S. 22-28 . — .
S. sh. Kozhegel'dinov. Despre triunghiuri heroniene fundamentale // Math. note. - 1994. - T. 55 , nr. 2 . - S. 151-6 . - doi : 10.1007/BF02113294 .