Triunghi întreg

Un triunghi întreg este un triunghi ale cărui lungimi ale tuturor laturilor sunt numere întregi. Un triunghi rațional poate fi definit ca un triunghi ale cărui laturi sunt numere raționale. Orice triunghi rațional poate fi redus la un triunghi întreg (prin înmulțirea tuturor laturilor cu același număr, cel mai mic multiplu comun al numitorilor), deci nu există nicio diferență semnificativă între triunghiuri întregi și raționale. Rețineți, totuși, că există și alte definiții ale „triunghiului rațional”. Astfel, în 1914 Carmichael [1] a folosit termenul pentru a se referi la ceea ce numim acum triunghiul heronian . Somos [2] folosește termenul pentru triunghiuri ale căror raporturi ale laturilor sunt numere raționale. Conway și Guy [3] definesc un triunghi rațional ca un triunghi cu laturi și unghiuri raționale (în grade), caz în care numai triunghiuri echilaterale cu laturi raționale sunt raționale.

Triunghiurile întregi au mai multe proprietăți în comun (vezi prima secțiune de mai jos). Toate celelalte secțiuni sunt dedicate triunghiurilor întregi cu proprietăți specifice.

Proprietățile de bază ale triunghiurilor întregi

Triunghiuri întregi cu un perimetru dat

Orice triplă de numere pozitive poate deveni laturi ale unui triunghi, este necesar doar să se satisfacă inegalitatea triunghiului - cea mai lungă latură trebuie să fie mai scurtă decât suma celorlalte două laturi. Fiecare astfel de triplă definește un triunghi unic (până la congruență). Deci numărul de triunghiuri întregi cu perimetrul p este egal cu numărul de partiții ale lui p în trei părți pozitive care satisfac inegalitatea triunghiului. Aceste numere sunt cele mai apropiate de p 2 ⁄ 48 pentru p par și de ( p + 3) 2 ⁄ 48 pentru impar [4] [5] . Aceasta înseamnă, de asemenea, că numărul de triunghiuri întregi cu perimetrul par p = 2 n este egal cu numărul cu perimetrul impar p = 2 n - 3. Astfel, nu există triunghiuri cu perimetrul 1, 2 și 4, există doar unul cu perimetrul 1, 2 și 4. perimetrele 3, 5, 6 și 8 și câte două cu perimetrele 7 și 10. Secvența numărului de triunghiuri întregi cu perimetrele p , începând cu p = 1:

0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8… ( secvența OEIS A005044 )

Triunghiuri întregi cu o latură mai mare dată

Numărul de triunghiuri întregi (până la congruență[ termen necunoscut ] ) cu latura cea mai lungă dată c este egal cu numărul de triplete ( a , b , c ) astfel încât a + b > c și a ≤ b ≤ c . Această valoare este Plafon[ ( c + 1) ⁄ 2 ] * Podea[ ( c + 1) ⁄ 2 ] [4] . Pentru c par , acesta este egal cu dublul numărului triunghiular c ⁄ 2 ( c ⁄ 2 + 1), iar pentru c impar , acesta este egal cu pătratul lui ( c + 1) 2 ⁄ 4 . Aceasta înseamnă că numărul de triunghiuri întregi cu cea mai mare latură c depășește numărul de triunghiuri întregi cu cea mai mare latură c −2 cu c . Secvența numărului de triunghiuri întregi necongruente cu latura cea mai mare c , începând cu c = 1:

1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90… ( secvența OEIS A002620 )

Numărul de triunghiuri întregi (până la congruență ) cu o latură cea mai mare dată c ale căror vârfuri se află pe sau în interiorul unui semicerc cu diametrul c este egal cu numărul de triple ( a , b , c ) astfel încât a + b > c , a 2 + b 2 ≤ c 2 și a ≤ b ≤ c . Acest număr este același cu numărul de triunghiuri întregi obtuse sau dreptunghiulare cu latura cea mai mare c . Secvența numărului de astfel de triunghiuri, începând cu c = 1:

0, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 15, 17, 22, 25, 30, 33, 38, 42, 48… ( secvența OEIS A236384 )

Diferența dintre ultimele două secvențe dă numărul de triunghiuri întregi cu unghiuri ascuțite (până la congruență) cu cea mai lungă latură c . Secvența numărului de triunghiuri acute, începând de la c = 1:

1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52… ( secvența OEIS A247588 )

Aria unui triunghi întreg

Conform formulei lui Heron , dacă T este aria unui triunghi, iar lungimile laturilor sunt a , b și c , atunci

4T={\sqrt {(a+b+c)(a+bc)(a-b+c)(-a+b+c))).

Deoarece toți factorii de sub semnul rădăcinii din partea dreaptă a formulei sunt numere întregi, toate triunghiurile întregi trebuie să aibă o valoare întreagă de 16T 2 .

Unghiurile unui triunghi întreg

După legea cosinusurilor , orice unghi al unui triunghi întreg are un cosinus rațional .

Dacă unghiurile oricărui triunghi formează o progresie aritmetică, atunci unul dintre unghiurile sale trebuie să fie de 60°. [6] Pentru triunghiuri întregi, unghiurile rămase trebuie să aibă și cosinusuri raționale, iar metoda de generare a unor astfel de triunghiuri este dată mai jos. Cu toate acestea, cu excepția cazului trivial al unui triunghi echilateral, nu există triunghiuri integrale ale căror unghiuri formează o progresie geometrică sau armonică. Acest lucru se datorează faptului că unghiurile trebuie să fie unghiuri raționale de forma πp ⁄ q cu rațional 0 < p ⁄ q < 1. Dar toate unghiurile triunghiulare întregi trebuie să aibă cosinusuri raționale, ceea ce se poate întâmpla numai când p ⁄ q = 1 ⁄ 3 [ 7] , adică un triunghi întreg este echilateral.

Împărțirea unei laturi la înălțime

Orice înălțime coborâtă de la un vârf în partea opusă sau prelungirea sa împarte această latură (sau prelungire) în segmente de lungime rațională.

Triunghiurile lui Heron

Formula generală

Un triunghi heronian este un triunghi cu laturi întregi și zonă întreagă. Orice triunghi heronian are laturile proporționale cu [8] .

a=n(m^{{2}}+k^{{2}})

b=m(n^{{2}}+k^{{2}})

c=(m+n)(mn-k^{{2}})

, semiperimetrul ,

=mn(m+n)

zona ,

=mnk(m+n)(mn-k^{{2}})

pentru numere întregi m , n și k care îndeplinesc condițiile

\gcd {(m,n,k)}=1

mn>k^{2}\geq m^{2}n/(2m+n)

m\geq n\geq 1

Factorul raportului de aspect pentru triunghiuri este, în general, un număr rațional , în care micșorează triunghiul generat de heronien la unul primitiv și întinde acel triunghi primitiv la dimensiunea necesară. ${\frac {p}{q))$ $q=\gcd {(a,b,c)}$ $p$

Triunghiuri pitagorice

Triunghiul lui Pitagora este un triunghi dreptunghic heronian și cele trei laturi ale sale sunt cunoscute sub numele de triplu pitagoreic [9] . Toate triplele pitagoreene primitive (fără un factor comun) cu ipotenuză pot fi obținute folosind formulele $(a,b,c)$ $c$

a=m^{2}-n^{2}

b=2mn

c=m^{2}+n^{2}

, semiperimetrul ,

=m(m+n)

zona ,

=mn(m^{2}-n^{2})

unde m și n sunt numere întregi între prime și unul dintre ele este par, în timp ce m > n .

Triunghiuri pitagorice cu altitudine întreagă pe baza ipotenuzei

În niciun triunghi pitagoreic primitiv, înălțimea nu se bazează pe ipotenuză exprimată ca număr întreg . Cu toate acestea, există triunghiuri pitagorice neprimitive de acest fel. Toate triunghiurile pitagorice cu catetele a și b , ipotenuza c și înălțimea întregului scăzut la ipotenuză, care va trebui să satisfacă egalitățile și , sunt generate de formulele [10] [11] $d$ $a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ ${\tfrac {1}{a^{2}}}+{\tfrac {1}{b^{2}}}={\tfrac {1}{d^{2}}}$

a=(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2})

b=2mn(m^{2}+n^{2})

c=(m^{2}+n^{2})^{2}

d=2mn(m^{2}-n^{2})

, Semiperimetru= ,

=m(m+n)(m^{2}+n^{2})

Zona= ,

=mn(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2})^{2}

pentru numere coprime m , n cu m > n .

Mai mult, din orice triunghi pitagoreic cu catetele x , y și ipotenuza z , puteți obține un alt triunghi pitagoreic cu înălțimea întreagă d pe ipotenuza c prin formula [11]

(a,b,c,d)=(xz,yz,z^{2},xy).

Triunghiuri heroniene cu laturile în progresie aritmetică

Un triunghi cu laturi întregi și zonă întreagă are laturile într-o progresie aritmetică dacă și numai dacă [12] laturile sunt egale ( b - d , b , b + d ), unde

b=2(m^{2}+3n^{2})/g

d=(m^{2}-3n^{2})/g

iar unde g este cel mai mare divizor comun al numerelor și $m^{2}-3n^{2},$ $2mn$ $m^{2}+3n^{2}.$

Triunghiuri heroniene cu un unghi de două ori pe celălalt

Toate triunghiurile heroniene cu B=2A sunt generate [13] fie prin formule

a={\tfrac {k^{2}(s^{2}+r^{2})^{2}}{4}}

b={\tfrac {k^{2}(s^{4}-r^{4})}{2}}

c={\tfrac {k^{2}(3s^{4}-10s^{2}r^{2}+3r^{4})}{4}}

, zona ,

={\tfrac {k^{2}csr(s^{2}-r^{2})}{2))

cu întreg k , s , r astfel încât s 2 > 3 r 2 , sau formule

a={\tfrac {q^{2}(u^{2}+v^{2})^{2}}{4}}

b=q^{{2}}uv(u^{{2}}+v^{{2}})

c={\tfrac {q^{2}(14u^{2}v^{2}-u^{4}-v^{4})}{4))

, zona ,

={\tfrac {q^{2}cuv(v^{2}-u^{2})}{2}}

cu numere întregi q , u , v astfel încât v > u și v 2 < (7+4√3) u 2 .

Niciun triunghi heronian cu B = 2 A nu este isoscel sau dreptunghic.

Triunghiuri heroniene isoscele

Toate triunghiurile heroniene isoscele se obțin prin înmulțirea cu un număr rațional [14] de laturi

a=2(u^{2}-v^{2})

b=u^{2}+v^{2}

c=u^{2}+v^{2}

pentru numere întregi coprime u și v cu u > v .

Triunghiurile lui Heron ca fețe ale unui tetraedru

Există tetraedre care au un volum întreg și triunghiuri heroniene ca fețe . De exemplu, un tetraedru cu muchia 896 opusă muchiei 990, iar celelalte patru muchii 1073 fiecare. Două fețe ale acestui tetraedru au o suprafață de 436800, celelalte două au o zonă de 471240, iar volumul este 124185600 [15] .

Proprietățile triunghiurilor lui Heron

Perimetrul triunghiului heronian este întotdeauna un număr par [16] . Astfel, un triunghi heronian are un număr impar de laturi de lungime pară [17] și orice triunghi heronian primitiv are exact o latură pară.
Semiperimetrul s al unui triunghi heronian cu laturile a , b și c nu poate fi număr prim . Acest lucru poate fi văzut din faptul că s(sa)(sb)(sc) trebuie să fie un pătrat perfect, iar dacă s este prim, unul dintre factori trebuie să fie divizibil cu s , dar acest lucru este imposibil deoarece toate laturile sunt mai mici decât s .
Aria unui triunghi heronian este întotdeauna divizibil cu 6 [16] .
Toate înălțimile triunghiului heronian sunt numere raționale [2] . Acest lucru este ușor de văzut din formula pentru aria unui triunghi. Deoarece triunghiul heronian are laturi și aria întregi, de două ori aria împărțită la bază va da un număr rațional. Unele triunghiuri heroniene au trei înălțimi neîntregi, cum ar fi triunghiul ascuțit (15, 34, 35) cu aria 252 și triunghiul obtuz (5, 29, 30) cu aria 72. Orice triunghi heronian cu unul sau mai multe neîntregi. înălțimile pot fi convertite într- un triunghi asemănător heronian prin înmulțirea tuturor laturilor cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor înălțimii.
Triunghiurile heroniene care nu au o înălțime întreagă ( incompune și nepitagoreică) au laturile divizibile prin tipurile simple 4 k +1 [18] . Cu toate acestea, triunghiurile heroniene descompuse trebuie să aibă două laturi care sunt ipotenuze ale triunghiurilor pitagoreice. Prin urmare, toate triunghiurile heroniene non-pitagoreene non-pitagorice au cel puțin două laturi divizibile cu numere prime de forma 4 k + 1. În cele din urmă, toate triunghiurile heroniene au cel puțin o latură divizibilă cu un număr prim de forma 4k +1 .
Toate segmentele de perpendiculare de la mijlocul laturilor până la cealaltă parte a triunghiului heronian sunt numere raționale — pentru orice triunghi sunt date prin formulele și , unde laturile sunt a ≥ b ≥ c și aria este egală la T [19] , iar în triunghiul heronian valorile a , b , c și T sunt numere întregi. $p_{a}={\tfrac {2aT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},$ $p_{b}={\tfrac {2bT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},$ $p_{c}={\tfrac {2cT}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}}$
Nu există triunghiuri heroniene echilaterale [2] .
Nu există triunghiuri heroniene cu laturile 1 sau 2 [20] .
Există infinit de multe triunghiuri heroniene primitive cu laturile a cu condiția ca a > 2 [20] .
Nu există triunghiuri heroniene cu laturile care formează o progresie geometrică [12] .
Dacă două laturi ale unui triunghi heronian au un divizor comun, acel divizor trebuie să fie suma a două pătrate [21] .
Orice unghi al triunghiului heronian are un sinus rațional. Aceasta rezultă din formula pentru aria unui triunghi Arie = (1/2) ab sin C , unde aria și laturile a și b sunt numere întregi (și același pentru celelalte laturi).
Nu există triunghiuri heroniene ale căror unghiuri interioare formează o progresie aritmetică. Aceasta rezultă din faptul că în cazul unei progresii aritmetice a unghiurilor, un unghi trebuie să fie egal cu 60 °, iar sinusul acestui unghi nu este rațional [6] .
Orice pătrat înscris într-un triunghi heronian are laturi raționale - pentru orice triunghi, un pătrat înscris pe latura lungimii a are laturi , unde T este aria triunghiului [22] . Într-un triunghi heronian, atât T cât și a sunt numere întregi. ${\tfrac {2Ta}{a^{2}+2T}}$
Orice triunghi heronian are o rază rațională în cerc - pentru orice triunghi, această rază este egală cu raportul dintre suprafață și jumătate din perimetru, iar ambele cantități din triunghiul heronian sunt raționale.
Orice triunghi heronian are o rază rațională a cercului circumscris - în general, raza este egală cu un sfert din produsul laturilor împărțit la suprafață. Într-un triunghi heronian, laturile și aria sunt numere întregi.

Triunghiuri întregi pe o rețea bidimensională

O rețea bidimensională este o rețea obișnuită de puncte izolate în care, dacă un punct este ales ca origine (0, 0), toate celelalte puncte vor arăta ca ( x, y ), unde x și y rulează peste toate pozitive și numere întregi negative. Un triunghi pe o rețea este orice triunghi ale cărui vârfuri sunt puncte de pe rețea. Conform formulei lui Pick, un triunghi pe o rețea are o zonă rațională, care fie este un număr întreg, fie are numitorul 2. Dacă un triunghi pe o rețea are laturi întregi, atunci este un triunghi heronian [17] .

Mai mult, s-a demonstrat că toate triunghiurile heroniene pot fi desenate pe o rețea [23] . Prin urmare, se poate argumenta că un triunghi întreg este heronian dacă și numai dacă poate fi desenat pe o rețea.

Triunghiuri întregi cu proprietăți specifice unghiului

Triunghiuri întregi cu bisectoare rațională

Familia triunghiurilor cu laturile întregi și bisectoarea unghiului rațional A este dată de ecuațiile [24] $a,b,c$ $d$

a=2(k^{2}-m^{2})

b=(km)^{2}

c=(k+m)^{2}

d={\tfrac {2km(k^{2}-m^{2})}{k^{2}+m^{2))}

cu întreg . $k>m>0$

Triunghiuri întregi cu n -divizori întregi ai tuturor unghiurilor

Există triunghiuri în care trei laturi și toate cele trei bisectoare sunt numere întregi [25] .

Există triunghiuri în care trei laturi și două trisectoare ale fiecărui unghi sunt numere întregi [25] .

Totuși, pentru n >3 nu există triunghiuri cu laturile întregi în care ( n -1) n -sectoare ale fiecărui unghi să fie numere întregi [25] .

Triunghiuri întregi cu un unghi având cosinus rațional

Unele triunghiuri întregi cu un unghi la vârful A având un cosinus rațional h/k ( h <0 sau >0; k >0) sunt date prin formulele [26]

a=p^{2}-2pqh+q^{2}k^{2}

b=p^{2}-q^{2}k^{2}

c=2qk(p-qh)

unde p și q sunt numere întregi pozitive între prime pentru care p>qk .

Triunghiuri întregi cu unghi de 60° (unghiuri în progresie aritmetică)

Pentru toate triunghiurile întregi cu un unghi de 60°, unghiurile formează o progresie aritmetică. Toate aceste triunghiuri sunt similare cu triunghiurile [6]

a=4mn

b=3m^{2}+n^{2}

c=2mn+|3m^{2}-n^{2}|

cu numere întregi coprime m , n și 1 ≤ n ≤ m sau 3 m ≤ n . Toate soluțiile primitive pot fi obținute prin împărțirea a , b și c la cel mai mare divizor comun.

Triunghiuri întregi cu un unghi de 60° pot fi obținute folosind formulele [27]

a=m^{2}-mn+n^{2}

b=2mn-n^{2}

c=m^{2}-n^{2}

cu numere întregi coprime m , n și cu 0 < n < m (unghiul de 60° este opus laturii lungimii a ). Toate soluțiile primitive pot fi obținute prin împărțirea a , b și c la cel mai mare divizor comun (de exemplu, triunghiurile echilaterale pot fi obținute cu m = 2 și n = 1, dar aceasta dă a = b = c = 3, care nu este o soluţie primitivă). Vezi și ( Burn 2003 ), ( Read 2006 ).

Triplul lui Eisenstein este un set de numere întregi care sunt laturile unui triunghi, iar unul dintre unghiurile triunghiului este de 60 de grade.

Triunghiuri întregi cu un unghi de 120°

Triunghiuri întregi cu un unghi de 120° pot fi obținute folosind formulele [28]

a=m^{2}+mn+n^{2}

b=2mn+n^{2}

c=m^{2}-n^{2}

cu numere întregi coprime m , n și 0 < n < m (unghiul de 120° este opus laturii lungimii a ). Toate soluțiile primitive pot fi obținute prin împărțirea a , b și c la cel mai mare divizor comun (de exemplu, cu m = 4 și n = 1 obținem a = 21, b = 9 și c = 15, iar această soluție nu este primitivă , dar din ea se poate obține o soluție primitivă a = 7, b = 3 și c = 5 împărțind la 3. Dar aceeași soluție se poate obține luând m = 2 și n = 1). Vezi și ( Burn 2003 ), ( Read 2006 ).

Triunghiuri întregi cu un unghi egal cu un alt unghi cu orice coeficient rațional

Pentru numere întregi între prime pozitive h și k , un triunghi cu laturile date prin formulele de mai jos are unghiuri și , prin urmare, unghiurile sunt în raportul h : k , în timp ce laturile triunghiului sunt numere întregi: [29] $h\alfa$ $k\alfa$ $\pi -(h+k)\alpha$

a=q^{h+k-1}{\frac {\sin h\alpha }{\sin \alpha }}=q^{k}\cdot \sum _{0\leq i\leq {\frac { h-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {h}{2i+1}}p^{h-2i-1}(q^{2}-p^{2} )^{i},

b=q^{h+k-1}{\frac {\sin k\alpha }{\sin \alpha }}=q^{h}\cdot \sum _{0\leq i\leq {\frac { k-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {k}{2i+1}}p^{k-2i-1}(q^{2}-p^{2} )^{i},

c=q^{h+k-1}{\frac {\sin(h+k)\alpha }{\sin \alpha ))=\sum _{0\leq i\leq {\frac {h+k -1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {h+k}{2i+1}}p^{h+k-2i-1}(q^{2}-p^ {2})^{i},

unde și p , q sunt numere prime relativ pentru care . $\alpha =\cos ^{-1}{\frac {p}{q))$ $\cos {\frac {\pi }{h+k}}<{\frac {p}{q}}<1$

Triunghiuri întregi cu un unghi dublu față de celălalt

Pentru unghiul A opus laturii și unghiul B opus laturii , unele triunghiuri cu B=2A sunt date prin formulele [30] $A$ $b$

a=n^{2}

b=mn

c=m^{2}-n^{2}

cu numere întregi m , n astfel încât 0 < n < m < 2 n .

Rețineți că pentru toate triunghiurile cu B = 2 A (cu laturile întregi sau nu), [31] este valabilă . $a(a+c)=b^{2}$

Triunghiuri întregi cu un unghi egal cu 3/2 din celălalt

Clasa de echivalență a triunghiurilor similare cu este dată de formulele [30] $\ B={\tfrac {3}{2}}A$

a=mn^{3}

b=n^{2}(m^{2}-n^{2})

c=(m^{2}-n^{2})^{2}-m^{2}n^{2}

cu numere întregi astfel încât , unde este raportul de aur . $\m,n$ $\ 0<\varphi n<m<2n$ $\ \varphi$ $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\aproximativ 1,61803$

Rețineți că pentru toate triunghiurile cu (fie cu laturile întregi sau nu), . $\ B={\tfrac {3}{2}}A$ $\ (b^{2}-a^{2})(b^{2}-a^{2}+bc)=a^{2}c^{2}$

Triunghiuri întregi cu un unghi de trei ori pe celălalt

Putem obține toate triunghiurile care satisfac relația unghiulară B=3A folosind formulele [32]

a=n^{{3}}

b=n(m^{{2}}-n^{{2}})

c=m(m^{{2}}-2n^{{2}})

unde și sunt numere întregi pentru care . $m$ $n$ ${\sqrt {2}}n<m<2n$

Rețineți că pentru toate triunghiurile cu B = 3A (cu laturile întregi sau nu), . $ac^{2}=(ba)^{2}(b+a)$

Triunghiuri întregi cu un raport întreg al razelor cercurilor circumscrise și înscrise

Condiția ca un triunghi întreg să aibă un raport întreg N dintre raza cercului circumferitor și raza cercului înscris este cunoscută din punct de vedere al curbelor eliptice [33] [34] . Cel mai mic caz, un triunghi echilateral, are N =2. În toate cazurile cunoscute, N ≡ 2 (mod 8), adică N -2 este divizibil cu 8.

Unele triunghiuri întregi

Singurul triunghi cu numere întregi consecutive ca laturi și arie are laturile și aria . $(3,4,5)$ $6$
Singurul triunghi cu numere întregi consecutive pentru laturi și înălțime are laturile și înălțimea 12 scăzute cu o latură de lungime 14. $(13,14,15)$
Triunghiul și multiplii săi sunt singurele triunghiuri dreptunghiulare cu laturi întregi ale căror laturi formează o progresie aritmetică [35] . $(3,4,5)$
Triunghiul și multiplii săi sunt singurele triunghiuri cu laturile întregi care au un unghi dublu față de celălalt și ale căror laturi formează o progresie aritmetică [35] . $(4,5,6)$
Triunghiul și multiplii săi sunt singurele triunghiuri cu laturile întregi care au un unghi de 120°, iar laturile formează o progresie aritmetică [35] . $(3,5,7)$
Singurul triunghi întreg cu aria egală cu semiperimetrul [36] are laturile . $(3,4,5)$
Triunghiuri întregi cu aria egală cu perimetrul au doar laturile [36] [37] (5, 12, 13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) și (9) ,10,17). Dintre acestea, doar primele două sunt dreptunghiulare.
Există triunghiuri întregi cu trei mediane raționale [38] . Cel mai mic dintre ele are laturi (68, 85, 87). De asemenea, puteți da (127, 131, 158), (113, 243, 290), (145, 207, 328) și (327, 386, 409).
Nu există triunghiuri pitagoreice isoscele [39] .
Singurele triunghiuri pitagorice primitive pentru care pătratul perimetrului este multiplu al ariei sunt [40]
- 1) un triunghi (3,4,5) cu un perimetru de 12, o zonă de 6 și un raport dintre pătratul perimetrului și aria de 24 - triunghiul egiptean
- 2) un triunghi (5,12,13) cu un perimetru de 30, o zonă de 30 și un raport dintre pătratul perimetrului și aria de 30
- 3) un triunghi (9, 40, 41) cu un perimetru de 90, o zonă de 180 și un raport dintre pătratul perimetrului și aria de 45

Note

↑ Carmichael, 1959 , p. 11-13.
↑ 1 2 3 Somos, M., „ Triunghiuri raționale Arhivat la 3 martie 2016 la Wayback Machine ”.
↑ Conway, Guy, 1996 .
↑ 1 2 Jenkyns, Muller, 2000 , p. 634-639.
↑ Honsberger, 1973 , p. 39-37.
↑ 1 2 3 Zelator, K., „Triangle Angles and Sides in Progression and the diophantine equation x 2 +3y 2 =z 2 ,” Cornell Univ. arhiva , 2008
↑ Jahnel, 2010 , p. 2.
↑ Carmichael, 1959 .
↑ Sierpinski, 2003 .
↑ Voles, 1999 .
↑ 1 2 Richinick, Jennifer, „The upside-down Pythagore Theorem”, Mathematical Gazette 92, iulie 2008, 313-317.
↑ 1 2 Buchholz, MacDougall, 1999 , p. 263-269.
↑ Mitchell, 2007 , p. 326-328.
↑ Sastry, 2005 , p. 119–126.
↑ Sierpiński, 2003 , p. 107.
↑ 12 Friche , 2002 .
↑ 1 2 Buchholz, MacDougall, 2001 , p. 3.
↑ Yiu, 2008 , p. 40.
↑ Mitchell, 2013 , p. 53-59: Teorema 2.
↑ 12 Carlson , 1970 .
↑ Blichfeldt, 1896-1897 , p. 57-60.
↑ Bailey, DeTemple, 1998 , p. 278–284.
↑ Marshall, Perlis, 2012 , p. 2.
↑ Zelator, Konstantine, Mathematical Spectrum 39(3), 2006/2007, 59-62.
↑ 1 2 3 Bruyn, 2005 , p. 47–52.
↑ Sastry, 1984 , p. 289-290.
↑ Gilder, 1982 , p. 261 266.
↑ Selkirk, 1983 , p. 251–255.
↑ Hirschhorn, 2011 , p. 61-63.
↑ 1 2 Deshpande, 2002 , p. 464–466.
↑ Willson, 1976 , p. 130–131.
↑ Parris, 2007 , p. 345-355.
↑ MacLeod, 2010 , p. 149-155.
↑ Goehl, 2012 , p. 27-28.
↑ 1 2 3 Mitchell, 2008 .
↑ 1 2 MacHale, 1989 , p. 14-16.
^ Dickson, 2005 .
↑ Sierpiński, 2003 , p. 64.
↑ Sastry, 2005 .
↑ Goehl, 2009 , p. 281–282.

Link -uri

Herbert Bailey, Duane DeTemple. Pătrate înscrise în unghiuri și triunghiuri // Revista de Matematică . - 1998. - Emisiune. 71(4) .
T. Barnard, J. Silvester. Teoreme de cerc și o proprietate a triunghiului (2,3,4) // Gazeta Matematică. - 2001. - Emisiune. 85, iulie .
H.F. Blichfeldt. Pe triunghiuri cu laturi raționale și având arii raționale // Analele matematicii. - 1896-1897. - T. 11 , nr. 1/6 .
Bart De Bruyn. Despre o problemă privind n-sectoarele unui triunghi // Forum Geometricorum. - 2005. - Emisiune. 5 .
RH Buchholz, JA MacDougall. Padrilatere de stârc cu laturile în progresie aritmetică sau geometrică // Bull. Austral. Matematică. Soc.. - 1999. - T. 59 .
RH Buchholz, JA MacDougall. Poligoane ciclice cu laturi și zonă raționale. — CiteSeerX Penn State University, 2001.
Bob Burn. Triunghiuri cu un unghi de 60° și laturi de lungime întreagă // Mathematical Gazette. - 2003. - Emisiune. 87, martie .

John R. Carlson. Determinarea triunghiurilor heroniene // San Diego State College. — 1970.
RD Carmichael. Teoria numerelor și analiza diofantină . — Dover, 1959.
JH Conway, RK Guy. Cartea numerelor. - Springer-Verlag, 1996. - S. 201, 228-239 Singurul triunghi rațional.
MN Deshpande. Câteva triple noi de numere întregi și triunghiuri asociate // Gazeta Matematică. - 2002. - Emisiune. 86, noiembrie .
L.E. Dickson . Istoria teoriei numerelor . - 2005. - T. 2.

J. Gilder. Triunghiuri cu laturi întregi cu un unghi de 60° // Gazeta matematică. - 1982. - Emisiune. 66, dec .
John F. Jr. Goehl. Mai multe triunghiuri întregi cu R/r = N // Forum Geometricorum. - 2012. - Emisiune. 12 .
John F. Jr. Goehl. Triunghiuri pitagorice cu pătratul perimetrului egal cu un multiplu întreg al ariei // Forum Geometricorum. - 2009. - Emisiune. 9 .

Jan Friche. Despre Heron Simplices și Integer Embedding // Publicația Ernst-Moritz-Arndt Universät Greiswald. - 2002. - Emisiune. 2 ian .

Michael D. Hirschhorn. Triunghiuri comensurabile // Gazeta Matematică. - 2011. - Emisiune. 95, martie .

Ross Honsberger. Geme matematice III. - Washington, DC: Mathematical Association of America, 1973. - V. 1. - (Expoziţii matematice Dolciani). — ISBN 0-88385-301-9 .
George Jahnel. Când este (Co)sinusul unui unghi rațional egal cu un număr rațional?. — Cornell Univ. arhiva, 2010.
N. Doamne. O proprietate izbitoare a triunghiului (2,3,4) // Mathematical Gazette. - 1998. - Emisiune. 82, martie .
D. MacHale. Din nou acel triunghi 3,4,5 // Gazeta Matematică. - 1989. - Emisiune. 73, martie .

Allan J. MacLeod. Triunghiuri întregi cu R/r = N // Forum Geometricorum. - 2010. - Emisiune. 10 .

Susan H. Marshall, Alexander R. Perlis. Tetraedre heroniene sunt tetraedre reticulate. - Universitatea din Arizona, 2012.
Douglas W. Mitchell. Triunghiuri de stârc cu ∠B=2∠A // Gazeta Matematică. - 2007. - Emisiune. 91, iulie .
Douglas W. Mitchell. Triunghiurile 2:3:4, 3:4:5, 4:5:6 și 3:5:7 // Mathematical Gazette. - 2008. - Emisiune. 92, iulie .

Douglas W. Mitchell. Bisectoare perpendiculare ale laturilor triunghiului // Forum Geometricorum. - 2013. - Emisiune. 13 .
Tom Jenkyns, Eric Muller. Triple triunghiulare de la tavane la podele. — American Mathematical Monthly. — 2000.
Richard Parris. Jurnalul de matematică al colegiului. - 2007. - Emisiune. 38(5), noiembrie .
Emrys Citește. Pe triunghiuri cu laturi întregi care conțin unghiuri de 120° sau 60° // Gazeta matematică. - 2006. - Emisiune. 90, iulie .

KRS Sastry. Triunghiuri cu laturi întregi care conțin un cosinus rațional dat // Mathematical Gazette. - 1984. - Emisiune. 68, dec .
KRS Sastry. Construcția Brahmagupta n-gons // Forum Geometricorum. - 2005. - Emisiune. 5 .
K. Selkirk. Triunghiuri cu laturi întregi cu un unghi de 120° // Gazeta matematică. - 1983. - Emisiune. 67, dec .

Waclaw Sierpinski. Triunghiuri pitagoreice. — orig. ed. 1962. - Dover Publications, 2003. - ISBN 978-0-486-43278-6 .

Roger Voles. Soluții întregi ale a −2 + b −2 =d −2 // Gazeta matematică. - 1999. - Emisiune. 83, iul .
Jennifer Richinick. Teorema lui Pitagora cu susul în jos // Gazeta matematică. - 2008. - Emisiune. 92, iulie .
William Wynn Willson. O generalizare a proprietății triunghiului 4, 5, 6 // Gazeta Matematică. - 1976. - Emisiune. 60, iunie .
Paul Yiu. Triunghiuri de stârc care nu pot fi descompuse în două triunghiuri dreptunghiulare întregi. - A 41-a întâlnire a Secțiunii din Florida a Asociației Matematice din America, 2008.