Hiperbolicitatea în sensul lui Gromov

Hiperbolicitatea în sensul Gromov sau -hiperbolicitatea este o caracteristică globală a unui spațiu metric , aproximativ vorbind, asemănătoare cu negativitatea curburii; în special, spațiul Lobachevsky este hiperbolic în sensul lui Gromov. $\delta$

Hiperbolicitatea în sensul lui Gromov este aplicată în principal în teoria grupurilor geometrice . Oferă interpretare geometrică convenabilă pentru grupuri

Definiție

Un spațiu este -hiperbolic dacă pentru orice puncte $X$ $\delta$ $x,y,z\în X$

(x,z)_{p}\geqslant \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta ,

unde denotă produsul lui Gromov : $(x,y)_{p}$

(y,z)_{x}={\frac {1}{2}}{\big (}|xy|_{X}+|xz|_{X}-|yz|_{X }{\mare )}.

Ultima inegalitate este echivalentă cu

|pq|_{X}+|xy|_{X}\leqslant \max\{|px|_{X}+|qy|_{X},|py|_{X}+|qx |_{X}\}+2\cdot \delta

pentru orice puncte . $p,q,x,y\in X$

Există multe alte definiții (uneori variază de mai multe ori). De exemplu, următoarele: dacă spațiul este geodezic , atunci această condiție este echivalentă cu faptul că pentru orice puncte x, y, z ale spațiului, segmentul geodezic [xy] se află în vecinătatea uniunii dintre [xz] și [yz]. Cu alte cuvinte, pe cel mai scurt [xy] există un punct t astfel încât [xt] se află în vecinătatea lui [xz], iar [ty] se află în vecinătatea lui [zy]. $\delta$ $X$ $\delta$ $\delta$ $\delta$

Proprietăți

Hiperbolicitatea este un invariant al transformărilor cvasiizometrice. Din acest motiv, hiperbolicitatea grupului nu depinde de alegerea sistemului de generatoare utilizate pentru a specifica metrica vocabularului .
Dacă un spațiu conține o copie izometrică , acesta nu poate fi hiperbolic. În special, produsul cartezian nu este aproape niciodată $\mathbb {R} ^{2}$ [ clarifica ] nu poate fi hiperbolic.
Corpul injectiv al unui spațiu -hiperbolic este -hiperbolic. [unu] $\delta$ $\delta$
- În special, orice spațiu -hiperbolic este izometric față de o submulțime dintr-un spațiu geodezic -hiperbolic. $\delta$ $\delta$

Exemple

Orice spațiu compact este hiperbolic.
Orice copac este un spațiu 0-hiperbolic.
Planul Lobachevsky este hiperbolic în sensul lui Gromov. Presupunând că curbura este egală cu planul Lobaciovski este -hiperbolic (în sensul definiției în patru puncte). $-unu$ $\ln(2)$
- Mai mult, orice spațiu este hiperbolic. $\mathrm {CAT} (-1)$ $\ln(2)$

Note

↑ Lang, Urs; Pavón, Maël; Züst, Roger. Stabilitatea metrică a copacilor și deschiderile strânse // Arh . Matematică. (Basel). - 2013. - Vol. 101 , nr. 1 . — P. 91–100 .

Link -uri

P. de la Harp, E. Gies, Grupuri hiperbolice după Mihail Gromov

Mihail Gromov, Grupuri hiperbolice. Eseuri în teoria grupurilor, 75-263, Math. sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.