Conjectura lui André-Oort

Conjectura André-Oort  este o problemă în teoria numerelor care generalizează conjectura Manin-Mumford . Versiunea inițială a conjecturii a fost prezentată de Yves André în 1989 [1] , iar versiunea mai generală a fost prezentată de Frans Oort în 1995 [2] . Versiunea modernă este o generalizare a acestor două ipoteze. Există o dovadă a conjecturii publicată sub formă de preprint.

Declarație

Ipoteza în forma sa modernă este următoarea. Fie S o varietate Simura și fie V mulțimea punctelor speciale din S . Atunci componentele ireductibile ale topologiei Zariski ale mulțimii V sunt subvarietăți speciale.

Prima versiune a conjecturii a lui André a fost pur și simplu pentru soiurile unidimensionale Simura, în timp ce Oort a sugerat că ar trebui să funcționeze cu subvarietăți spațiale de module ale soiurilor abeliene polarizate în principal de dimensiunea g .

Rezultate parțiale

Diverse rezultate au fost stabilite în direcția dovedirii ipotezei complete de către Ben Moonen, Yves André, Andrey Yafaev, Bas Edikshoven, Lauren Clausel și Emmanuel Ullmo, printre alții. Majoritatea acestor rezultate sugerează că ipoteza Riemann generalizată este corectă. Cel mai mare rezultat care nu presupune că Ipoteza Riemann este adevărată a venit în 2009, când Jonathan Pyla a folosit tehnica geometriei o-minimale și a teoriei numerelor transcendentale pentru a demonstra o presupunere pentru produsele arbitrare ale curbelor modulare [3] [4] , pentru care a fost distins cu premiul Clay Research Prize 2011 [5] .

Într -un preprint din 2021 , Jonathan Pila , Anant Shankar și Yakov Tsimerman au oferit o dovadă a conjecturei André-Oort [6] .

Generalizări

Așa cum ipoteza André-Oort poate fi privită ca o generalizare a ipotezei Manin-Mumford, ipoteza André-Oort în sine poate fi generalizată. De obicei este considerată o generalizare a lui Silbert-Pink, care combină generalizarea conjecturii André-Oort propusă de Richard Pink [7] și conjectura lui Boris Zilber [8] [9] .

Note

1. ↑ Andrew, 1989 .
2. ↑ Oort, 1997 .
3. ↑ Pila, 2009 , p. 2476–2507.
4. ↑ Pila, 2011 , p. 1779–1840
5. ↑ Site-ul web al Clay Research Award Arhivat la 26 iunie 2011.
6. ↑ Sloman, Leila Matematicienii dovedesc conjectura lui André-Oort de 30 de ani  . Revista Quanta (3 februarie 2022). Consultat la 5 februarie 2022. Arhivat din original pe 4 februarie 2022.
7. ↑ Roz, 2005 , p. 251–282.
8. ↑ Zilber, 2002 , p. 27–44.
9. ↑ Remond, 2009 , p. 405–414.

Literatură

• Yves Andre. G -funcții și geometrie. - Vieweg, 1989. - T. E13. - (Aspecte ale matematicii).
• Frans Oort. Ridicări canonice și seturi dense de puncte CM // Geometrie aritmetică / Fabrizio Catanese. — Cambridge: Cambridge University Press, 1997.
• Jonathan Pila. Puncte raționale ale mulțimilor definibile și rezultate ale tipului André–Oort–Manin–Mumford // Int. Matematică. Res. Nu. IMRN. - 2009. - Nr. 13 . — S. 2476–2507 .
• Jonathan Pila. O-minimalitatea și conjectura André–Oort pentru C n  // Analele matematicii . - 2011. - T. 173 . - S. 1779-1840 . - doi : 10.4007/annals.2011.173.3.11 .
• Richard Pink. O combinație a conjecturilor lui Mordell–Lang și André–Oort // Metode geometrice în algebră și teoria numerelor. - Birkhauser, 2005. - T. 253. - S. 251-282. — (Progres în matematică).
• Boris Zilber. Ecuații cu sume exponențiale și conjectura Schanuel // J. London Math. Soc .. - 2002. - T. 65 , nr 2 . — p. 27–44 . - doi : 10.1112/S0024610701002861 .
• Gael Remond. Autour de la conjecture de Zilber-Pink  (franceză)  // J. Théor. Nombres Bordeaux. - 2009. - T. 21 , nr 2 . — S. 405–414 . - doi : 10.5802/jtnb.677 .
• Zannier, Umberto. Despre conjectura André–Oort // Câteva probleme de intersecții improbabile în aritmetică și geometrie. — Princeton : Princeton University Press, 2012. — P. 96–127. - ISBN 978-0-691-15370-4 .