Teoria numerelor transcendentale

Teoria numerelor transcendentale este o ramură a teoriei numerelor care studiază numerele transcendentale , adică numerele ( reale sau complexe ) care nu pot fi rădăcini ale vreunui polinom cu coeficienți întregi . De exemplu, astfel de constante importante de analiză , cum ar fi e , sunt transcendentale, dar nu sunt, deoarece există o rădăcină a polinomului $\pi$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$ $x^{2}-2.$

Una dintre principalele probleme ale acestei teorii este de a afla dacă un anumit număr este transcendental sau nu. Metodele și rezultatele teoriei numerelor transcendentale sunt utilizate pe scară largă în studiul ecuațiilor diofantine .

Numere transcendentale

Conform teoremei fundamentale a algebrei , orice polinom diferit de zero cu coeficienți întregi are o rădăcină complexă . Cu alte cuvinte, pentru orice polinom cu coeficienți întregi, există un număr complex astfel încât Teoria numerelor transcendentale ia în considerare predominant întrebarea inversă: dat un număr complex ; pentru a determina dacă există un polinom cu coeficienți întregi astfel încât Dacă se dovedește că un astfel de polinom nu există, atunci, prin aceasta, se dovedește transcendența numărului . $P(x)$ $\alfa$ $P(\alpha )=0.$ $\alfa$ $P(x)$ $P(\alpha )=0.$ $\alfa$

Mulțimea rădăcinilor tuturor polinoamelor cu coeficienți întregi se numește mulțime de numere algebrice . De exemplu, fiecare număr rațional este algebric ca rădăcină polinomială ; toate combinațiile finite posibile de radicali de grad arbitrar din numere întregi aparțin și numerelor algebrice. Astfel, toate numerele complexe sunt împărțite în două clase care nu se suprapun - algebrice și transcendentale. După cum sa dovedit, există, într-un anumit sens, mult mai multe numere transcendentale decât numere algebrice (vezi mai jos). ${m \peste n)$ $nx-m;$

Spre deosebire de mulțimea numerelor algebrice, care este un câmp , numerele transcendentale nu formează nicio structură algebrică în ceea ce privește operațiile aritmetice - rezultatul adunării, scăderii, înmulțirii și împărțirii numerelor transcendentale poate fi atât un număr transcendental, cât și un număr algebric. Cu toate acestea, există câteva modalități limitate de a obține un număr transcendent de la un alt număr transcendent.

Dacă t este un număr transcendental, atunci și sunt, de asemenea, transcendentale. $-t$ $1/t$
Dacă a este un număr algebric diferit de zero, t este transcendental, atunci ele sunt transcendentale. $a\pm t,\la,\a/t,\t/a$
Dacă t este un număr transcendental și este un număr natural , atunci la fel sunt transcendental. $n$ $t^{n}$ ${\sqrt[{n}]{t))$

Istorie

Aproximare prin numere raționale: de la Liouville la Roth

Conceptul de numere transcendentale , spre deosebire de cele algebrice, datează din secolul al XVII-lea, când Gottfried Leibniz a demonstrat că sinusul nu este o funcție algebrică [1] . Această întrebare a fost examinată mai detaliat în anii 1740 de Euler [2] ; el a afirmat [3] că valoarea logaritmului pentru numerele raționale nu este algebrică, cu excepția cazului în care pentru unele raționale afirmația lui Euler s-a dovedit a fi adevărată, dar nu a fost dovedită până în secolul al XX-lea. Euler deține termenii înșiși: număr algebric și transcendental (în lucrarea din 1775) [4] . $\log _{a}{b}$ $a,b$ $b=a^{c}$ $c.$

Primele exemple concrete de numere transcendentale au fost indicate de Joseph Liouville în anii 1840 cu ajutorul fracțiilor continue . Mai târziu, în anii 1850, el a formulat condiția necesară pentru ca un număr să fie algebric; în consecință, dacă această condiție este încălcată, atunci numărul este evident transcendental [5] . Cu ajutorul unui astfel de criteriu, el a descris o clasă largă de numere transcendentale, numite „ numere Liouville ”. Mai târziu s-a stabilit că numerele Liouville formează un set dens peste tot pe axa reală reală , care are cardinalitatea continuumului și, în același timp, măsura zero Lebesgue [6] .

Criteriul lui Liouville înseamnă în esență că numerele algebrice nu pot fi bine aproximate (aproximate) prin numere raționale (vezi teorema de aproximare a numerelor algebrice a lui Liouville ). Astfel, dacă un număr este bine aproximat prin numere raționale, atunci trebuie să fie transcendental. Sensul exact al conceptului lui Liouville de „ bine aproximat ” este următorul: dacă este un număr algebric de grad și ε este orice număr pozitiv, atunci inegalitatea $\alfa$ $d\geqslant 2$

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{d+\varepsilon }}}

poate avea doar un număr finit de soluții raționale .Astfel, pentru a demonstra transcendența, trebuie să ne asigurăm că pentru oricare și există infinite de soluții ale inegalității indicate [7] . $p/q.$ $d$ $\varepsilon >0$

În secolul al XX-lea, lucrările lui Axel Thue [8] , Karl Siegel [9] și Klaus Roth [10] au făcut posibilă simplificarea oarecum a verificării inegalității lui Liouville prin înlocuirea expresiei mai întâi cu și apoi (1955) cu Acest rezultat , cunoscută sub numele de teorema Thue-Siegel-Roth , așa cum se credea, nu mai putea fi îmbunătățită, deoarece s-a verificat că înlocuirea cu doar 2 dă o afirmație eronată. Cu toate acestea, Serge Leng a sugerat o îmbunătățire a versiunii lui Roth; în special, el a sugerat că s-ar putea înlocui expresia mai mică . $d+\varepsilon$ $d/2+\varepsilon +1,$ $2+\varepsilon .$ $2+\varepsilon$ ${\displaystyle q^{2+\varepsilon ))$ $q^{2}\ln(q)^{1+\varepsilon )$

Teorema Thue-Siegel-Roth a finalizat efectiv munca începută de Liouville, le-a permis matematicienilor să demonstreze transcendența multor numere - de exemplu, constanta Champernaun . Cu toate acestea, această tehnică nu este suficient de puternică pentru a detecta toate numerele transcendentale; în special, nu se aplică numerelor și [11] . $e$ $\pi$

Funcții auxiliare: de la Hermite la Baker

Pentru a analiza astfel de numere, ca în secolul al XIX-lea, au fost dezvoltate și alte metode. Aceste două constante sunt cunoscute a fi legate prin identitatea lui Euler . Așa-numitele funcții auxiliare care au multe zerouri în punctele studiate au devenit un instrument convenabil pentru analiză . Aici multe zerouri pot însemna literalmente un număr mare de zerouri, sau doar un zero, dar cu o multiplicitate mare, sau chiar multe zerouri cu o multiplicitate mare fiecare. $e$ $\pi ,$

Charles Hermite în 1873, pentru a demonstra transcendența , a folosit funcții auxiliare aproximând funcția pentru fiecare număr natural [12] . În anii 1880, rezultatele lui Hermite au fost folosite de Ferdinand von Lindemann [13] pentru a demonstra că dacă este un număr algebric diferit de zero, atunci este transcendental. În special, aceasta implică faptul că numărul este transcendent, deoarece este un număr algebric (egal cu -1). Această descoperire închide o problemă atât de bine-cunoscută a antichității ca „ cercul pătrat ”. O altă clasă de numere a căror transcendență rezultă din teorema lui Lindemann este logaritmii numerelor algebrice [6] . $e,$ $e^{kx)$ $k$ $\alfa$ $e^{\alpha }$ $\pi$ $e^{i\pi )$

Subiectul a fost dezvoltat în continuare de Karl Weierstrass , care a publicat teorema Lindemann–Weierstrass în 1885 [14] . El a extins semnificativ clasa de numere cu transcendență dovedită, inclusiv valorile funcțiilor sinus și cosinus pentru aproape toate valorile algebrice ale argumentelor [4] .

În 1900, David Hilbert , în faimosul său raport la cel de -al Doilea Congres Internațional al Matematicienilor , a enumerat cele mai importante probleme de matematică . În a șaptea dintre ele , una dintre cele mai dificile (după propria sa evaluare), s-a pus întrebarea despre transcendența numerelor de forma în care sunt numere algebrice, nu zero și nu unu, ci irațional . În anii 1930, Alexander Gelfond [15] și Theodor Schneider [16] au demonstrat că toate astfel de numere sunt într-adevăr transcendentale ( teorema Gelfond-Schneider ). Autorii au folosit o funcție auxiliară implicită pentru demonstrație, a cărei existență este garantată de lema Siegel . Teorema Gelfond–Schneider implică transcendența unor numere precum , și constanta Gelfond [6] . $a^{b},$ $a,b$ $A$ $b$ $e^{\pi }$ $2^{{{\sqrt {2))))$

Următorul rezultat important în acest domeniu a venit în anii 1960, când Alan Baker a avansat cu o problemă pusă de Gelfond privind formele liniare peste logaritmi. Mai devreme, Gelfond a reușit să găsească o limită inferioară netrivială pentru expresia:

|\beta _{1}\log \alpha _{1}+\beta _{2}\log \alpha _{2}|\,

unde toate cele patru mărimi necunoscute sunt algebrice și nu sunt egale cu zero sau unu, dar sunt iraționale . Gelfond nu a reușit să găsească limite inferioare similare pentru suma a trei sau mai mulți logaritmi. Dovada teoremei lui Baker a cuprins găsirea unor astfel de limite și rezolvarea problemei numărului de clase gaussiene . Această lucrare ia adus lui Baker premiul Fields din 1970 pentru utilizarea sa în rezolvarea ecuațiilor diofante . $\alpha _{1},\alpha _{2)$ $\beta _{1},\beta _{2}$

Din teorema lui Baker rezultă că, dacă sunt numere algebrice diferite de zero sau unu și sunt numere algebrice astfel încât sunt liniar independente de câmpul numerelor raționale , atunci numărul este transcendental [17] . $\alpha _{1}\dots \alpha _{n)$ $\beta _{1}\dots \beta _{n)$ $1,\beta _{1}\dots \beta _{n)$ $\alpha _{1}^{\beta _{1}}\alpha _{2}^{\beta _{2}}\cdots \alpha _{n}^{\beta _{n}}$

Alte metode: Kantor și Silber

În 1874, Georg Cantor , dezvoltându-și teoria mulțimilor , a demonstrat că numerele algebrice pot fi puse într -o corespondență unu-la-unu cu mulțimea numerelor naturale . Cu alte cuvinte, mulțimea numerelor algebrice este numărabilă , iar atunci mulțimea numerelor transcendentale trebuie să fie nu numai infinită, ci și mai mult decât numărabilă ( continuă ) [18] . Mai târziu, în 1891, Cantor a folosit metoda diagonală mai simplă și mai familiară [19] pentru a o dovedi . Există opinii că aceste rezultate ale lui Cantor sunt nepotrivite pentru construirea numerelor transcendentale concrete [20] , dar de fapt dovezile din ambele documente de mai sus oferă metode pentru construirea numerelor transcendentale [21] . Cantor a folosit teoria mulțimilor pentru a demonstra completitudinea mulțimii de numere transcendentale.

Una dintre cele mai recente tendințe în rezolvarea problemelor din teoria numerelor transcendentale a fost utilizarea teoriei modelelor . Problema este de a determina gradul de transcendență al câmpului

K=\mathbb {Q} (x_{1},\ldots,x_{n},e^{x_{1)),\ldots,e^{x_{n))}

pentru numere complexe care sunt liniar independente de câmpul numerelor raționale. Stephen Schanuel a sugerat că răspunsul este cel puțin n , dar încă nu există dovezi pentru acest lucru. În 2004, însă, Boris Zilber a publicat o lucrare care folosește metode teoretice model pentru a crea o structură care se comportă foarte asemănător numerelor complexe, prevăzute cu operațiile de adunare, înmulțire și exponențiere. Mai mult, în această structură abstractă conjectura lui Chenyul este valabilă [22] . Din păcate, nu este încă sigur că această structură este într-adevăr aceeași cu numerele complexe cu operațiile numite. $x_{1},\ldots ,x_{n},$

Abordări

S-a menționat deja mai sus că mulțimea numerelor algebrice este doar numărabilă și, în consecință, „aproape toate” numerele sunt transcendentale. Transcendența numărului este astfel un caz tipic; cu toate acestea, de obicei nu este ușor să dovedești că un anumit număr este transcendental. Din acest motiv, teoria transcendenței preferă adesea o abordare mai cantitativă: dat un număr complex α; întrebarea este, cât de aproape este de numerele algebrice? De exemplu, dacă se poate demonstra că nicio creștere a gradului unui polinom sau a coeficienților săi nu poate face din α rădăcina sa, atunci acest număr trebuie să fie transcendental.

Pentru a implementa această idee, puteți găsi marginea de jos a formularului:

|P(\alpha )|>F(A,d),

unde partea dreaptă este o funcție pozitivă în funcție de o anumită măsură a coeficienților polinomului și de gradul acestuia . Cazul corespunde problemei clasice a aproximărilor diofantine , adică găsirea limitei inferioare pentru expresia: $A$ $d;$ $d=1$

|ax+b|

Metodele teoriei transcendenței și aproximările diofantine au multe în comun: ambele folosesc conceptul de funcții auxiliare.

Generalizări

Definiția transcendenței poate fi generalizată. Se spune că o mulțime de numere este independentă din punct de vedere algebric asupra unui câmp dacă nu există un polinom diferit de zero cu coeficienți astfel încât Pentru câmpul numerelor raționale și o mulțime de un număr, această definiție coincide cu definiția transcendenței dată mai sus . A fost dezvoltată și teoria numerelor p-adice transcendentale [6] . $\alpha _{1}\dots \alpha _{n)$ $K$ $P(x_{1}\dots x_{n})$ $K$ $P(\alpha _{1}\dots \alpha _{n})=0.$ $\alfa$ $\alfa$

Probleme deschise

Teorema Gelfond-Schneider menționată mai sus a deschis o clasă mare de numere transcendentale, dar această clasă este doar numărabilă, iar pentru multe constante importante încă nu se știe dacă sunt transcendentale. Nici nu se știe întotdeauna dacă sunt iraționale. Printre acestea, de exemplu, diverse combinații de și e , constanta Aperi , constanta Euler-Mascheroni [23] . $\pi$

Progresele existente în teorie privesc predominant numerele legate de exponent . Aceasta înseamnă că sunt necesare metode complet noi. Problema principală în teoria transcendenței este de a demonstra că un anumit set de numere transcendentale este independent din punct de vedere algebric , ceea ce este o afirmație mai puternică decât că numerele individuale dintr-o mulțime sunt transcendentale. Știm că și e sunt transcendente, dar asta nu înseamnă că alte combinații ale acestor numere sunt transcendente (cu excepția constantei Gelfond , care, după cum știm deja, este transcendentă). Conjectura lui Chenyul rezolvă problema, cu toate acestea, de asemenea, se aplică numai numerelor legate de exponent. $\pi$ $\pi +e$ $e^{\pi},$ $\pi +e,$

Note

↑ Bourbaki N. Elements of the History of Mathematics, Springer (1994).
↑ Gelfond, 1952 , p. opt.
↑ Euler, L. Introductio in analysin infinitorum (neopr.) . — Lausanne, 1748.
↑ 1 2 Jukov A. .
↑ J. Liouville . Sur les classes très étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique ni même réductible à des irationelles algébriques, Comptes Rendus Acad.
↑ 1 2 3 4 Enciclopedia matematică, 1985 , p. 426-427.
↑ Gelfond, 1952 , p. 9.
↑ Thue, A. Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen (neopr.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1909. - T. 135 . - S. 284-305 . - doi : 10.1515/crll.1909.135.284 .
↑ Siegel, CL Approximation algebraischer Zahlen (engleză) // Mathematische Zeitschrift : journal. - 1921. - Vol. 10 , nr. 3-4 . - P. 172-213 . - doi : 10.1007/BF01211608 .
↑ Roth, KF Aproximații raționale la numere algebrice (engleză) // Mathematika : journal. - 1955. - Vol. 2 , nr. 1 . - P. 1-20 . - doi : 10.1112/S0025579300000644 .
↑ Mahler, K. Despre aproximarea lui π (nedefinit) // Proc. Akad. Wetensch. Ser. A. - 1953. - T. 56 . - S. 30-42 .
↑ Hermite, C. Sur la fonction exponentielle (neopr.) // CR Acad. sci. Paris . - 1873. - T. 77 .
↑ Lindemann, F. Ueber die Zahl π (nedefinit) // Mathematische Annalen . - 1882. - T. 20 , nr 2 . - S. 213-225 . - doi : 10.1007/BF01446522 .
↑ Weierstrass, K. Zu Hrn. Abhandlung lui Lindemann: „Über die Ludolph'sche Zahl” (germană) // Sitzungber. Konigl. Preuss. Akad. Wissensch. zu Berlin : magazin. - 1885. - Bd. 2 pagini=1067-1086 .
↑ Copie arhivată (link nu este disponibil) . Preluat la 9 august 2017. Arhivat din original la 17 octombrie 2011. (nedefinit) Copie arhivată (link indisponibil) . Preluat la 9 august 2017. Arhivat din original la 17 octombrie 2011. (nedefinit) .
↑ Schneider, T. Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. I. Transzendend von Potenzen (germană) // Journal für die reine und angewandte Mathematik : magazin. - 1935. - Bd. 172 . - S. 65-69 . - doi : 10.1515/crll.1935.172.65 .
↑ Baker A. Forme liniare în logaritmii numerelor algebrice.
↑ Cantor, G. Ueber eine Eigenschaft des Ingebriffes aller reelen algebraischen Zahlen (germană) // Journal für die reine und angewandte Mathematik : magazin. - 1874. - Bd. 77 . - S. 258-262 . - doi : 10.1515/crll.1874.77.258 .
↑ Cantor, G. Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre (germană) // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung: magazin. - 1891. - Bd. 1 . - S. 75-78 . Arhivat 7 mai 2021.
↑ Kac, M.; Stanislaw, U. Matematică și logică (nespecificat) . - Fredering A. Praeger, 1968. - P. 13.
↑ Gray, R. Georg Cantor și numerele transcendentale // Amer . Matematică. Lunar : jurnal. - 1994. - Vol. 101 , nr. 9 . - P. 819-832 . — . Arhivat din original pe 21 ianuarie 2022.
↑ Zilber, B. Pseudo-exponentiation on algebric închis câmpuri de caracteristică zero // Annals of Pure and Applied Logic: journal. - 2005. - Vol. 132 , nr. 1 . - P. 67-95 . - doi : 10.1016/j.apal.2004.07.001 .
↑ Hyun Seok, Lee .

Literatură

Gelfond A. O. Numere transcendentale și algebrice. - M. : GITTL, 1952. - 224 p.
Număr transcendental // Enciclopedie matematică (în 5 volume) . - M . : Enciclopedia Sovietică , 1985. - T. 5.
A șaptea problemă a lui Feldman N.I. Hilbert. - M. : Editura Universității de Stat din Moscova, 1982. - 312 p.
Khinchin A. Ya. Fracțiuni continuate . — M .: GIFML, 1960.
Baker, Alan. Teoria numerelor transcendentale. - Cambridge University Press , 1975. - ISBN 0-521-20461-5 .
Baker, Alan; Wüstholz, Gisbert. Forme logaritmice și geometrie diofantică, noi monografii matematice 9 . - Cambridge University Press , 2007. - ISBN 978-0-521-88268-2 .
Lang, Serge. Introducere în numerele transcendentale. - Addison-Wesley, 1966. - ISBN 0-521-20461-5 .

Link -uri

Jukov A. Numere algebrice și transcendentale . Preluat: 9 august 2017. (nedefinit)
Feldman N. Numere algebrice și transcendentale . Preluat: 9 august 2017. (nedefinit)
Filaseta Michael. Începutul numerelor transcendentale . (Engleză)
Hyun Seok Lee. Despre teoria transcendenței cu puțină istorie, rezultate noi și probleme deschise . Preluat: 9 august 2017. (nedefinit)