Curbă modulară

O curbă modulară este o suprafață Riemann, sau curba algebrică corespunzătoare , construită ca factor al jumătății superioare complexe a planului H dintr-un subgrup congruent al grupului modular de matrice întregi 2×2 SL(2, Z ). Termenul de curbă modulară poate fi folosit și pentru a se referi la curbele modulare compactate , care sunt compactificări obținute prin adăugarea unui număr finit de puncte (numite curbe cuspizi ) la un factor (prin acționarea asupra semiplanului superior complex extins ). Punctele unei curbe modulare parametriză clasele de izomorfism ale curbelor eliptice , împreună cu o structură suplimentară dependentă de grup . Această interpretare ne permite să oferim o definiție pur algebrică a curbelor modulare fără referire la numere complexe și, în plus, demonstrează că curbele modulare sunt un câmp de definiție fie peste câmpul Q de numere raționale , fie peste un câmp circular . Ultimul fapt și generalizările sale au o importanță fundamentală în teoria numerelor. $Y(\mathrm {\Gamma} )$ $\mathrm {\Gamma }$ $X(\mathrm {\Gamma} )$ $\mathbf {\Gamma }$ $\mathrm {\Gamma }$

Definiție analitică

Grupul modular SL(2, Z ) acţionează pe jumătatea superioară a planului prin transformări liniar-fracţionale . Definiția analitică a unei curbe modulare implică alegerea unui subgrup congruent al grupului SL(2, Z ), adică un subgrup care conține subgrupul principal de congruențe de nivel N pentru un întreg pozitiv N , unde $\mathrm {\Gamma }$ $\mathrm {\Gamma} (N)$

\Gamma (N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}:\ a\equiv d\equiv \pm 1\mod N,b,c\ echiv 0\mod N\right\}.

Minimul astfel de N se numește nivel . Structura complexă poate fi suprapusă factorului pentru a produce o suprafață Riemann necompactă , de obicei notă ca . $\mathbf {\Gamma }$ $\mathrm {\Gamma } {\smallsetminus }\mathbf {H}$ $Y(\mathbf {\Gamma} )$

Curbe modulare compactate

Compactificarea globală se obține prin adăugarea unui număr finit de puncte, numite cuspizi ale curbei . Mai precis, acest lucru se face prin convenție, care este valabil pe semiplanul complex extins . Introducem topologia prin alegerea unei baze: $Y(\mathrm {\Gamma} )$ $\mathrm {\Gamma }$ $\mathrm {\Gamma }$ $\mathbf {H} ^{*}=\mathbf {H} \cup \mathbf {Q} \cup \{\infty \)$ $\mathbf {H} ^{*}$

orice submulțime deschisă de H ,
pentru toți r > 0, mulțimea $\{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text {Im)}(\tau )>r\)$
pentru orice numere coprime a , c și toate r > 0, imaginea de sub acțiune $\{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text {Im)}(\tau )>r\)$

{\begin{pmatrix}a&-m\\c&n\end{pmatrix}}

unde m , n sunt numere întregi astfel încât an + cm = 1.

Aceasta se transformă într-un spațiu topologic, care este un subset al sferei Riemann . Grupul acționează asupra unei submulțimi , împărțindu-l într-un număr finit de orbite , numite cuspi de grup . Dacă acţionează tranzitiv asupra , spaţiul devine o compactare Alexandrov . Din nou, se poate impune o structură complexă factorului , transformându-l într-o suprafață Riemann, notată , iar acum este compactă . Acest spațiu este o compactare a curbei [1] . $\mathbf {H} ^{*}$ $\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )$ $\mathrm {\Gamma }$ $\mathbf {Q} \cup \{\infty \)$ $\mathbf {\Gamma }$ $\mathrm {\Gamma }$ $\mathbf {Q} \cup \{\infty \)$ $\mathrm {\Gamma } {\smallsetminus }\mathbf {H} ^{*}$ $\mathrm {\Gamma } {\smallsetminus }\mathbf {H}$ $\mathrm {\Gamma } {\smallsetminus }\mathbf {H} ^{*}$ $X(\mathrm {\Gamma} )$ $Y(\mathrm {\Gamma} )$

Exemple

Cele mai generale exemple de curbe sunt și asociate cu subgrupurile și . $X(N),X_{0}(N)$ $X_{1}(N)$ $\mathrm {\Gamma} (N),\mathrm {\Gamma } _{0}(N)$ $\mathrm {\Gamma } _{1}(N)$

Curba modulară X (5) are genul 0 - este o sferă Riemann cu 12 cuspizi situate la vârfurile unui icosaedru regulat . Acoperirea se realizează prin acțiunea grupului icosaedric asupra sferei Riemann. Acest grup este un grup simplu de ordinul 60 izomorf la A5 și PSL(2, 5) . $X(5)\rightarrow X(1)$

Curba modulară X (7) este o cuartică Klein din genul 3 cu 24 de cuspizi. Poate fi interpretat ca o suprafață cu 24 de heptagoane cuspide în centrul fiecărei fețe. Această teselație poate fi vizualizată folosind desene pentru copii și teorema lui Belyi - cuspidiile sunt puncte situate pe (puncte roșii), în timp ce vârfurile și punctele mijlocii ale marginilor (puncte alb-negru) sunt puncte situate deasupra 0 și 1. Galois-ul unei acoperiri este un grup simplu de ordinul 168 izometric la PSL(2, 7) . $\infty$ $X(7)\rightarrow X(1)$

Există un model clasic explicit pentru , curba modulară clasică . Uneori este numită curbă modulară . Definiția poate fi reformulată astfel: este un subgrup al unui grup modular care este nucleul unei reduceri modulo N . Atunci este cel mai mare subgrup de matrici triunghiulare superioare modulo N : $X_{0}(N)$ $\mathrm {\Gamma} (N)$ $\mathrm {\Gamma} _{0}(N)$

\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ c\equiv 0\mod N\right\},

a este un grup intermediar definit ca: $\mathbf {\Gamma } _{1}(N)$

\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ a\equiv d\equiv 1\ \mod N,c\equiv 0\mod N\right\}.

Aceste curbe au o interpretare directă ca spațiu de module pentru curbele eliptice cu o structură de nivel și din acest motiv joacă un rol important în geometria aritmetică . Nivelul N al unei curbe modulare X ( N ) este spațiul de module pentru curbele eliptice cu o bază N - torsiune . Pentru X 0 ( N ) și X 1 ( N ) structura de nivel este un subgrup ciclic de ordin N și , respectiv , un punct de ordin N. Aceste curbe au fost studiate în detaliu și, în special, se știe că X 0 ( N ) poate fi definit peste Q .

Ecuațiile care definesc curbele modulare sunt exemple binecunoscute de ecuații modulare . „Cele mai bune modele” pot diferi substanțial de modelele preluate direct din teoria funcțiilor eliptice . Operatorii Hecke pot fi studiați geometric ca o corespondență a perechilor conectate de curbe modulare.

Observație : factorii lui H , care sunt compacti, se dovedesc a fi diferiți pentru grupurile fuchsiane de factorii pentru subgrupurile grupului modular. Clasa lor, construită din algebre cuaternioane , este de interes în teoria numerelor. $\mathbf {\Gamma }$

Genul

Învelișul este o acoperire Galois cu grupul Galois SL(2, N )/{1, −1}, care este egal cu PSL(2, N ) dacă N este prim. Folosind formula Riemann-Hurwitz și teorema Gauss-Bonnet, se poate calcula genul lui X ( N ). Pentru un nivel ușor , $X(N)\rightarrow X(1)$ $p\geqslant 5$

-\pi \chi (X(p))=|G|\cdot D,

unde este caracteristica lui Euler a lui , este ordinul grupului PSL(2, p ) și este defectul de colț al triunghiului sferic (2,3, p ). Aceasta duce la formula $\chi =2-2g$ $|G|=(p+1)p(p-1)/2$ $D=\pi -\pi /2-\pi /3-\pi /p$

g={\tfrac {1}{24}}(p+2)(p-3)(p-5).

Atunci X (5) are genul 0, X (7) are genul 3, iar X (11) are genul 26. Pentru p = 2 sau 3, trebuie să se țină cont și de ramificare, adică de existența elementelor de ordinul p în , și faptul, care are ordinul 6 mai degrabă decât 3. Există o formulă mai complicată pentru genul unei curbe modulare X ( N ) a oricărui nivel N care utilizează N divizori . $\mathrm {PSL} (2,\mathbf {Z} )$ $\mathrm {PSL} (2,2)$

Genul zero

Câmpul funcțiilor modulare este câmpul funcțiilor unei curbe modulare (sau, uneori, alte spații de module , care se dovedesc a fi varietăți ireductibile ). Genul zero înseamnă că un astfel de câmp de funcții are o funcție transcendentală unică ca generator. De exemplu, funcția j generează un câmp de funcții X (1) = PSL(2, Z )\ H . Numele tradițional pentru un astfel de generator, care este unic până la transformarea Möbius și poate fi normalizat corespunzător, este Hauptmodul (împrumutat din germană, traducerea literală este modulul principal ).

Spațiile X 1 ( n ) au genul zero pentru n = 1, …, 10 și n = 12. Deoarece aceste curbe sunt definite peste Q , rezultă că există infinit de multe puncte raționale pe fiecare astfel de curbă și, prin urmare, există infinit de puncte raționale. multe curbe eliptice, definite peste Q cu n -rotație pentru aceste valori ale lui n . Reversul, că numai aceste valori ale lui n sunt posibile , este teorema de torsiune a lui Mazur .

Contact cu grupul Monster

Curbele modulare ale genului 0, care sunt destul de rare, se dovedesc a fi deosebit de importante, deoarece sunt legate de presupunerea unui nonsens monstruos . Primii șapte coeficienți ai extensiilor q ai modulului lor principal au fost deja calculați în secolul al XIX-lea, dar ce șoc a fost când aceleași numere întregi mari s-au dovedit a fi dimensiunile reprezentărilor celui mai mare grup de monștri simpli.

O altă legătură este că curba modulară corespunzătoare normalizatorului unui subgrup al grupului SL(2, R ) are genul zero dacă și numai dacă p este egal cu 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 sau 71, care sunt exact divizorii primi ai ordinului monștrilor . Rezultatul se datorează relativ lui Jean-Pierre Serre , Andrew Ogg și John G. Thompson (anii 1970), iar observația referitoare la monstru se datorează lui Ogg care a promis o sticlă de whisky Jack Daniel oricui care a fost primul explica acest fapt, iar acesta a fost punctul de plecare al teoriei „prostiilor monstruoase” [2] . $\mathbf {\Gamma } _{0}(p)^{+)$ $\mathbf {\Gamma } _{0}(p)$ $\mathrm {\Gamma} _{0}(p)^{+)$

Conexiunile sunt foarte profunde și, după cum a arătat Richard Borcherds , aici sunt implicate algebrele Kac-Moody generalizate . Lucrările în acest domeniu subliniază importanța funcțiilor modulare meromorfe , care pot conține poli și cuspi, spre deosebire de formele modulare care sunt peste tot holomorfe, inclusiv cuspii, un obiect major de studiu în secolul al XX-lea.

Vezi și

Teorema Manin-Drinfeld
Teorema de modularitate
Shimur manifold , o generalizare a curbelor modulare la dimensiuni mai mari

Literatură

Jean-Pierre Serre. Curs de aritmetică. — al 2-lea. - Presses Universitaires de France, 1977. - Vol. 2. - (Le Mathématicien).
Goro Shimura. Introducere în teoria aritmetică a funcțiilor automorfe. - Princeton University Press , 1994. - Vol. 11. - (Publicațiile Societății de Matematică din Japonia). - ISBN 978-0-691-08092-5 .
Panchishkin AA, Parshin AN Curba modulară // Enciclopedia de matematică . — ISBN 1-4020-0609-8 .
Andrew P. Ogg. Automorphismes de courbes modulaires // Seminaire Delange-Pisot-Poitou. Theorie des nombres (1974–1975) . - 1974. - T. 16.