Ordinea punctelor în raport cu curba

În matematică , indicele unui punct , sau ordinea unui punct în raport cu o curbă închisă într-un plan , este un număr întreg care reprezintă numărul de rotații complete pe care le face curba în jurul unui punct dat în sens invers acelor de ceasornic [1] . Uneori se vorbește despre ordinea unei curbe în raport cu un punct. Indicele depinde de orientarea curbei și ia o valoare negativă dacă curba este parcursă în sensul acelor de ceasornic.

Indicii de puncte cu privire la curbe sunt obiecte fundamentale de studiu în topologia algebrică și joacă, de asemenea, un rol important în analiza vectorială , analiza complexă , topologia geometrică geometria diferențială și fizica , inclusiv teoria corzilor .

Descriere intuitivă

Să fie dată o curbă orientată închisă în planul xy . Ne putem gândi la o curbă ca la calea unui obiect, iar orientarea curbei indică direcția în care obiectul se mișcă. Atunci indicele punctului relativ la curbă este egal cu numărul de rotații complete în sens invers acelor de ceasornic pe care obiectul le face față de punctul de observație.

Când se calculează numărul de rotații , mișcarea în sens invers acelor de ceasornic este considerată pozitivă, în timp ce mișcarea în sensul acelor de ceasornic este considerată negativă. De exemplu, dacă un obiect înconjoară punctul de vedere de patru ori în sens invers acelor de ceasornic și apoi o dată în sensul acelor de ceasornic, indicele total va fi trei.

În această schemă, o curbă care nu ocolește deloc punctul de observație are un indice de 0, în timp ce o curbă parcursă în sensul acelor de ceasornic va da o valoare negativă. Astfel, indicele punctual poate fi orice număr întreg . Următoarea figură prezintă curbele cu indici între −2 și 3:

$\cdots$
	−2	−1	0
				$\cdots$
	unu	2	3

Definiție formală

O curbă pe planul xy poate fi dată prin ecuații parametrice :

x = x(t)\quad\text{and}\quad y=y(t)\qquad\text{pentru }0 \leq t \leq 1.

Dacă înțelegem parametrul t ca timp, aceste ecuații determină mișcarea unui obiect pe un plan între t = 0 și t = 1. Calea acestei mișcări este o curbă dacă funcțiile x ( t ) și y ( t ) sunt continuu . Această curbă este închisă dacă poziția obiectului este aceeași în momentele t = 0 și t = 1.

Putem determina indicele unui punct în raport cu o astfel de curbă folosind sistemul de coordonate polare . Presupunând că curba nu trece prin punctul de observație, putem rescrie ecuațiile parametrice:

r = r(t)

iar pentru

\theta = \theta(t)

0 \leq t \leq 1.

Funcțiile r ( t ) și θ ( t ) trebuie să fie continue cu r > 0. Deoarece punctele de început și de sfârșit sunt aceleași, θ (0) și θ (1) trebuie să difere cu un multiplu de 2π . Această valoare este indicele punctual:

indice de puncte

= \frac{\theta(1) - \theta(0)}{2\pi}.

Această definiție oferă indicele originii planului xy . Prin transformarea sistemului de coordonate, această definiție poate fi extinsă la orice punct de observație.

Alte definiții

Indicele punctual este adesea definit în diferite moduri în diferite domenii ale matematicii. Toate definițiile de mai jos sunt echivalente cu cele de mai sus:

Geometrie diferențială

În geometria diferențială , ecuațiile parametrice sunt de obicei considerate a fi diferențiabile (netede) (sau cel puțin diferențiabile pe bucăți). În acest caz, coordonata polară θ este legată de coordonatele carteziene x și y prin ecuația:

d\theta = \frac{1}{r^2} \left( x\,dy - y\,dx \right)

Unde

r^2 = x^2 + y^2.

Conform teoremei Newton-Leibniz, modificarea totală θ este egală cu integrala dθ . Astfel, indicele unui punct în raport cu o curbă netedă este exprimat în termeni de integrală curbilinie :

indice de puncte

= \frac{1}{2\pi} \oint_C \,\frac{x}{r^2}\,dy - \frac{y}{r^2} \,dx.

Analiză complexă

În analiza complexă , indicele unui punct în raport cu o curbă închisă C în planul complex poate fi exprimat în termenii coordonatelor complexe z = x + iy . În special, dacă scriem z = re iθ , atunci

dz=e^{i\theta }dr+ire^{i\theta }d\theta

prin urmare

\frac{dz}{z} \;=\; \frac{dr}{r} + i\,d\theta \;=\; d[ \ln r ] + i\,d\theta.

Contribuția integrală ln( r ) este zero, deci integrala dz ⁄ z este egală cu i ori modificarea totală θ . În acest fel,

indice de puncte

= \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{dz}{z}.

Generalizând, indicele oricărui număr complex a este dat de formula [2]

\frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{dz}{z - a}.

Acesta este un caz special al celebrei formule integrale Cauchy . Indicii de puncte joacă un rol foarte important în analiza complexă (vezi enunțul teoremei principale a reziduurilor ).

Topologie

În topologie, indicele unui punct este un concept alternativ pentru gradul unei mapări [3] [4] [5] . În fizică , indicii de puncte sunt adesea denumiți sarcini topologice . În ambele cazuri, se folosește același concept.

Exemplul de mai sus al unei curbe care se răsucește în jurul unui punct are o interpretare topologică simplă. Complementul unui punct din plan este echivalentul homotopic al unui cerc , astfel încât mapările cercului în sine sunt tot ce trebuie luate în considerare. Se poate demonstra că orice astfel de mapare poate fi deformată continuu într-una dintre mapările standard , unde produsul pe un cerc este definit prin identificarea cercului cu cercul complex unitar. Setul de clase de homotopie de mapare a unui cerc într-un spațiu topologic formează un grup numit primul grup de homotopie sau grupul fundamental al spațiului. Grupul fundamental al cercului este grupul de numere întregi Z [6] . Indicele unui punct în raport cu o curbă complexă este pur și simplu o clasă de homotopie. $S^1 \to S^1 : s \mapsto s^n$

Maparea unei sfere tridimensionale în sine este, de asemenea, clasificată printr-un număr întreg, care se numește indice de punct sau, uneori, numărul Pontryagin .

Poligoane

În poligoane , indicele unui punct este exprimat ca densitatea poligonului . Pentru poligoane convexe, precum și pentru poligoane simple (autodisjunctive), densitatea este 1 după teorema lui Jordan . În timp ce un poligon stea regulat { p / q } are densitatea q .

Numărul rotației

Puteți lua în considerare numărul de rotații ale tangentei la cale.

Numărul de rotații este determinat numai pentru curbele netede (diferențiabile) care au o tangentă în orice punct.

Acest număr se numește număr de rotație și poate fi calculat ca unghi de rotație împărțit la 2 π .

Indicele punctual relativ la curbă și ecuația feromagnetismului lui Heisenberg

Indicele punctual este strâns legat de ecuațiile continue (2 + 1)-dimensionale ale feromagnetismului Heisenberg și extensiile lor integrabile — Ecuația Ishimori și altele. Soluțiile acestor ecuații sunt clasificate după indici de punct sau sarcină topologică ( invariant topologic ).

Vezi și

Note

↑ Evgrafov M. A. Capitolul 1. Introducere // Funcții analitice. - al 3-lea. - Moscova: Știință. Ch. ed. Fiz.-Matematică. lit., 1991. - P. 40. - ISBN 5-02-014200-X .
↑ Dieudonné, 1964 , Secțiunea 9.8.2, p. 254-255.
↑ Seyferd G., Trefall W. § 78. Grad de cartografiere // Topologie. - Izhevsk: Centrul de cercetare „Dinamica regulată și haotică”. - S. 361-362. — ISBN 5-93972-068-4 .
↑ Dold A. Capitolul 4 § 4. Gradul de mapare // Prelegeri de topologie algebrică. - M .: Mir, 1976. - S. 81. - ISBN 5-93972-068-4 .
↑ Viro, 2010 , 36'4x, p. 271.
↑ Viro, 2010 , 35.F, p. 265.

Literatură

Dieudonne J. Fundamentele analizei moderne. — M .: Mir, 1964.
O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev, V. M. Kharlamov. Topologie elementară. - MTSNMO, 2010. - ISBN 978-5-94057-587-0 .
Goryainov VV § 3. Index. Lanțuri și cicluri // Curs de prelegeri despre teoria funcțiilor unei variabile complexe. - Volgograd: Editura Universității de Stat din Volgograd, 1998. - S. 61-62.

Link -uri

Număr de lichidare Arhivat 27 mai 2019 la Wayback Machine de pe site-ul PlanetMath .