Graficul ciclului al unui grup ilustrează diferitele cicluri dintr-un grup și, în special, este folosit pentru a vizualiza structura grupurilor finite mici .
Un ciclu este mulțimea de puteri ale unui element a din grup, unde a n , a n- a putere a elementului a , este definită ca produsul dintre a și el însuși de n ori. Se spune că elementul a generează un ciclu. Într-un grup finit, o putere diferită de zero a elementului a trebuie să fie egală cu elementul neutru (identitate) e . Cel mai mic astfel de grad se numește ordin .ciclu și este egal cu numărul de elemente diferite din ciclu. În graficul ciclurilor, ciclul este reprezentat de un poligon, în care vârfurile reflectă elementele grupului, iar muchiile care leagă vârfurile indică faptul că vârfurile poligonului sunt membri ai aceluiași ciclu.
Ciclurile se pot suprapune sau nu au elemente comune, cu excepția unuia singur. Graficul ciclului arată fiecare ciclu ca un poligon.
Dacă a generează un ciclu de ordinul 6 (sau, mai pe scurt, are ordinul 6), atunci a 6 = e . În acest caz, gradele pătratului elementului a 2 , { a 2 , a 4 , e } formează un ciclu, dar în realitate acest fapt nu oferă nicio informație suplimentară. În mod similar, un 5 generează același ciclu ca și un însuși .
Astfel, trebuie luate în considerare doar ciclurile simple , și anume cele care nu sunt subseturi ale altor cicluri. Fiecare dintre aceste cicluri este generat de un element simplu a . Luați câte un vârf pentru fiecare element al grupului original. Pentru fiecare element prim, muchia e la a , a la a 2 , ..., a n −1 la a n , etc., până când obținem din nou e . Rezultatul va fi un grafic de ciclu.
Dacă a 2 = e , a are ordinul 2 (este o involuție ) și este legat de elementul de identitate e prin două muchii. Cu excepția cazului în care doriți să subliniați două muchii ale unui ciclu, de obicei este desenată o singură muchie [1] .
Caleidoscop Dih 4 cu oglindă roșie și generatoare de rotație 4x |
Graficul ciclului grupului diedric Dih 4 . |
Ca exemplu de grafic al ciclului de grup, luați în considerare grupul diedric Dih 4 . Tabelul înmulțirii acestui grup este prezentat mai jos, iar graficul ciclului este prezentat în figura din dreapta ( e arată elementul de identitate).
| o | e | b | A | a 2 | a 3 | ab | a 2 b | a 3 b |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | b | A | a 2 | a 3 | ab | a 2 b | a 3 b |
| b | b | e | a 3 b | a 2 b | ab | a 3 | a 2 | A |
| A | A | ab | a 2 | a 3 | e | a 2 b | a 3 b | b |
| a 2 | a 2 | a 2 b | a 3 | e | A | a 3 b | b | ab |
| a 3 | a 3 | a 3 b | e | A | a 2 | b | ab | a 2 b |
| ab | ab | A | b | a 3 b | a 2 b | e | a 3 | a 2 |
| a 2 b | a 2 b | a 2 | ab | b | a 3 b | A | e | a 3 |
| a 3 b | a 3 b | a 3 | a 2 b | ab | b | a 2 | A | e |
Să fim atenți la ciclul e , a , a 2 , a 3 . Poate fi văzut în tabel ca puteri succesive ale unui . Este potrivită și trecerea inversă. Cu alte cuvinte, ( a 3 ) 2 = a 2 , ( a 3 ) 3 = a și ( a 3 ) 4 = e . Acest comportament rămâne valabil în orice ciclu al oricărui grup - ciclul poate fi parcurs în orice direcție.
Buclele care conțin valori ale elementelor non-prime conțin implicit bucle care nu sunt afișate în grafic. Pentru grupul Dih 4 de mai sus, putem desena o margine între a 2 și e deoarece ( a 2 ) 2 = e , dar a 2 face parte dintr-un ciclu mai mare, deci marginea nu este desenată.
O ambiguitate poate exista dacă două cicluri conțin un element care nu este un singur element. Luați în considerare, de exemplu, grupul de cuaternioni , al cărui grafic al ciclului este afișat în dreapta. Fiecare element din rândul din mijloc, înmulțit cu el însuși, dă -1. În acest caz, putem folosi culori diferite pentru a reflecta ciclurile, deși o convenție simplă de simetrie va funcționa la fel de bine.
După cum am menționat mai devreme, cele două margini ale unui ciclu cu două elemente sunt de obicei reprezentate de o singură muchie.
Elementul invers poate fi găsit în graficul ciclului astfel: este un element care se află la aceeași distanță de unitate, dar în sens opus.
Graficele ciclului au fost considerate de teoreticianul numerelor Daniel Shanks la începutul anilor 1950 ca un mijloc de studiere a grupurilor multiplicative de inele reziduale [2] . Shanks a publicat pentru prima dată ideea în prima ediție (1962) a cărții sale Solved and Unsolved Problems in Number Theory [ 3] . În carte, Shanks investighează ce grupuri au grafice de ciclu izomorfe și când graficul de ciclu este plan [4] . În cea de-a doua ediție (1978), Shanks discută cercetările sale privind grupurile de clasă ideale și dezvoltarea algoritmului pas mare și mic [5] :
Graficele ciclului s-au dovedit utile atunci când am de-a face cu grupuri abeliene și le-am folosit adesea pentru a înțelege structura lor complexă [77, p. 852], pentru a obține conexiuni multiple [78, p. 426] sau pentru a distinge anumite subgrupuri [79].
Graficele ciclului sunt folosite ca instrument de predare în manualul introductiv al lui Nathan Carter (2009) Visual Group Theory [ 6] .
Unele tipuri de grupuri au grafice tipice:
Grupurile ciclice Z n de ordinul n au un singur ciclu care poate fi desenat ca un poligon cu n laturi:
| Z1 _ | Z 2 = Dih 1 | Z3 _ | Z4 _ | Z5 _ | Z 6 \u003d Z 3 × Z 2 | Z7 _ | Z8 _ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Z9 _ | Z 10 \u003d Z 5 × Z 2 | Z11 _ | Z 12 \u003d Z 4 × Z 3 | Z13 _ | Z 14 \u003d Z 7 × Z 2 | Z 15 \u003d Z 5 × Z 3 | Z16 _ |
| Z17 _ | Z 18 \u003d Z 9 × Z 2 | Z19 _ | Z 20 = Z 5 × Z 4 | Z 21 \u003d Z 7 × Z 3 | Z 22 \u003d Z 11 × Z 2 | Z23 _ | Z 24 \u003d Z 8 × Z 3 |
| Z2 _ | Z 2 2 = Dih 2 | Z 2 3 \u003d Dih 2 × Dih 1 | Z 2 4 = Dih 2 2 |
|---|
Dacă n este un număr prim , grupurile de forma (Z n ) m au ( n m − 1)/( n − 1) cicluri de lungime n cu un element de identitate comun:
| Z 2 2 = Dih 2 | Z 2 3 \u003d Dih 2 × Dih 1 | Z 2 4 = Dih 2 2 | Z 3 2 |
|---|
Grupurile diedrice Dih n au ordinul 2 n și constau dintr-un ciclu de lungime n și n cicluri cu 2 elemente:
| Dih 1 = Z 2 | Dih 2 = Z 2 2 | Dih 3 | Dih 4 | Dih 5 | Dih 6 = Dih 3 × Z 2 | Dih 7 | Dih 8 | Dih 9 | Dih 10 \u003d Dih 5 × Z 2 |
|---|
Grupările diciclice , Dic n = Q 4n au ordinul 4 n :
| Dic 2 = Q 8 | Dic 3 = Q 12 | Dic 4 = Q 16 | Dic 5 = Q 20 | Dic 6 = Q 24 |
|---|
Alte lucrări directe :
| Z4 × Z2 _ | Z 4 × Z 2 2 | Z6 × Z2 _ | Z8 × Z2 _ | Z 4 2 |
|---|
Grupul simetric S n pentru orice grup de ordinul n conține un subgrup izomorf cu acest grup, astfel încât graficul ciclului oricărui grup de ordin n poate fi găsit ca subgraf al graficului ciclului S n .
Vezi exemplu: Subgrupuri ale grupului S 4 .
| S 4 × Z 2 | A 4 × Z 2 | Dih 4 × Z 2 | S 3 × Z 2 |
Gruparea octaedrică completă este produsul direct al grupării simetrice S4 și grupării ciclice Z2 .
Grupul are ordinul 48 și conține subgrupuri de orice ordin care împarte 48.
În exemplele de mai jos, vârfurile conectate între ele sunt situate una lângă alta,
astfel încât graficele de ciclu prezentate nu sunt cele mai simple grafice ale acestor grupuri (comparați cu graficele de ciclu ale acelorași grupuri de la începutul secțiunii).
| S 4 × Z 2 (comanda 48) | A 4 × Z 2 (comanda 24) | Dih 4 × Z 2 (comanda 16) | S 3 × Z 2 = Dih 6 (ordinea 12) |
|---|---|---|---|
| S 4 (comanda 24) | A 4 (comanda 12) | Dih 4 (comanda 8) | S 3 = Dih 3 (ordinea 6) |
Ca toate celelalte grafice, graficele ciclului pot fi reprezentate într-o varietate de moduri pentru a sublinia diferite proprietăți. Cele două reprezentări grafice de ciclu ale grupului S4 sunt un exemplu în acest sens.
| Graficul ciclului S 4 de mai sus subliniază prezența a trei subgrupuri Dih 4 . | ||
| Aceste două reprezentări subliniază simetria care poate fi văzută în răsturnarea seturilor din dreapta. | ||