Grupul diciclic

În teoria grupurilor, grupul diciclic Dic n este un grup necomutativ de ordinul 4n (unde n>=2), care este o extensie a grupului ciclic de ordinul 2n . Acest grup se mai numește și gruparea cuaternionului generalizat și se notează Q 4 n .

Există o succesiune exactă :

ceea ce înseamnă că Dic n conține un subgrup normal H izomorf la C 2n . Grupul de factori Dic n /H este izomorf la C2 .

Definiție

Un grup diciclic poate fi definit ca grupul generat de elementele a și b de relații

• a 2n =1,
• b 2 \u003d a n ,
• b -1 ab = a -1 .

Din aceste relații rezultă că fiecare element al lui Dic n poate fi scris în mod unic ca a k b j , unde 0 ≤ k < 2 n , j = 0 sau 1. Prin urmare, ordinea grupului este 4n .

Proprietăți

Centrul grupului diciclic Z(Dic n ) este format din două elemente a n și 1. Comutatorul său este subgrupul generat de elementul a 2 și izomorf la C n .

Grupul diciclic și grupul diedric

Există o asemănare între grupul diciclic și grupul diedric Dih 2n . Aceste grupuri au un subgrup ciclic A = <a>=C 2n și un automorfism interior , care acționează asupra C 2n ca o „reflexie”: int b (a) = a -1 .

Înlocuirea relației b 2 = 1 (pentru grupul diedric) cu b 2 = a n duce la un număr de diferențe. Toate elementele care nu aparțin subgrupului < a > au ordinul 2 în grupul diedric și ordinul 4 în grupul diciclic. Spre deosebire de grupul diedric, grupul diciclic Dic n nu este un produs semidirect al lui A și < b >, deoarece intersecția A ∩ < b > nu este trivială .

O grupare diciclică are exact un element de ordinul 2, și anume x = b 2 = a n . Acest element aparține centrului grupului Dic n . Dacă adunăm relația b 2 = 1, atunci obținem grupul diedric Dih n . Astfel, grupul de factori Dic n / < b2 > este izomorf cu grupul diedric Dih n care conține 2n elemente.

Numele grupului

În enciclopedia matematică, un grup de cuaternioni este un caz special în care ordinea grupului este o putere de 2. În acest caz, grupul este nilpotent .

Cazul cu 2 grupuri

Într-un grup cuaternion generalizat, orice subgrup abelian este ciclic [1] . Se poate demonstra că un p-grup finit cu această proprietate (orice subgrup abelian este ciclic) este fie ciclic, fie un grup cuaternion generalizat [2] . Dacă un p -grup finit are un singur subgrup de ordinul p , atunci este fie ciclic, fie un grup cuaternion generalizat (cu ordin egal cu o putere a doi) [3] . În special, pentru un câmp finit F de caracteristică impară, subgrupul 2-Sylow SL 2 ( F ) nu este abelian și are un singur subgrup de ordinul 2, deci acest subgrup 2-Sylow trebuie să fie un grup cuaternion generalizat [4] . Dacă p r este de ordinul lui F , unde p este prim, atunci ordinea subgrupului 2-Sylow SL 2 ( F ) este 2 n , unde n = ord 2 ( p 2 - 1) + ord 2 ( r ).

Vezi și

• Grup cuaternion#Grup cuaternion generalizat

Note

1. ↑ Brown, 1982 , p. 101, exercițiul 1.
2. ↑ Cartan, Eilenberg, 1999 , p. 262, Teorema 11.6.
3. ↑ Brown, 1982 , p. 99, Teorema 4.3.
4. ↑ Gorenstein, 1980 , p. 42.

Literatură

• Kargapolov M. I., Merzlyakov Yu. I. Fundamentele teoriei grupurilor, Editura Nauka, 1972.
• Kenneth S. Brown. Coomologia grupurilor. - Springer-Verlag, 1982. - ISBN 978-0-387-90688-1 .
• Henri Cartan, Samuel Eilenberg. Algebră omologică . - Princeton University Press, 1999. - ISBN 978-0-691-04991-5 .
• D. Gorenstein. Grupuri finite. - New York: Chelsea, 1980. - ISBN 978-0-8284-0301-6 .