Grupul cubului Rubik

Grupul cubului Rubik

Numit după	cubul lui Rubik
Studiat în	teoria grupurilor
Comanda de grup	4.325200327449E+19
Fișiere media la Wikimedia Commons

Grupul cubului Rubik este un subgrup al grupului simetric S 48 , ale cărui elemente corespund transformărilor cubului Rubik . Transformare înseamnă efectul de întoarcere a oricăreia dintre fețe sau o succesiune de întoarceri de fețe [1] .

Definiție

Fiecare dintre rotațiile fețelor cubului Rubik poate fi considerată ca un element al grupului simetric al setului de 48 de etichete de cub Rubik care nu sunt centrele fețelor. Marcam centrele fețelor cu litere (vezi figura), iar etichetele rămase cu numere de la 1 la 48. Acum, rotind fețele corespunzătoare cu 90 ° în sensul acelor de ceasornic, putem asocia elementele grupului simetric : $\{L,F,R,B,U,D\}$ $S_{{48}}$

L = (1,3,8,6)(2,5,7,4)(33,9,41,32)(36,12,44,29)(38,14,46,27)

F = (9.11.16.14)(10.13.15.12)(38.17.43.8)(39.20.42.5)(40.22.41.3)

R = (17.19.24.22)(18.21.23.20)(48.16.40.25)(45.13.37.28)(43.11.35.30)

B = (25.27.32.30)(26.29.31.28)(19.33.6.48)(21.34.4.47)(24.35.1.46)

U = (33.35.40.38)(34.37.39.36)(25.17.9.1)(26.18.10.2)(27.19.11.3)

D = (41.43.48.46)(42.45.47.44)(6.14.22.30)(7.15.23.31)(8.16.24.32)

Apoi grupul de cuburi Rubik este definit ca un subgrup generat de rotațiile a șase fețe cu 90° [2] : $G$ $S_{{48}}$

G=\langle L,F,R,B,U,D\rangle

Proprietăți

Ordinea grupului este [2] [3] [4] [5] [6] $G$

|G|={\dfrac {8!\cdot 12!\cdot 3^{8}\cdot 2^{12}}{3\cdot 2\cdot 2}}=43\ 252\ 003\ 274 \ 489\ 856\ 000=2^{27}\cdot 3^{14}\cdot 5^{3}\cdot 7^{2}\cdot 11.

Fie graficul Cayley al unui grup cu 18 generatoare corespunzând la 18 mișcări ale metricii FTM . $Ce faci$ $G$

Fiecare dintre configurații poate fi rezolvată în cel mult 20 de mișcări FTM. Cu alte cuvinte, excentricitatea vârfului graficului corespunzătoare stării „asamblate” a puzzle-ului este 20 [7] . $\aprox 4{,}32\cdot 10^{19}$ $Ce faci$

Diametrul graficului este de asemenea 20 [8] . $Ce faci$

Cel mai înalt ordin al elementului este 1260. De exemplu, succesiunea de mișcări trebuie repetată de 1260 de ori [9] înainte ca cubul lui Rubik să revină la starea inițială [10] [11] . $G$ $(R\ U^{2}\ D^{{\prime }}\ B\ D^{{\prime }})$

$G$ nu este un grup abelian , deoarece, de exemplu, . Cu alte cuvinte, nu toate perechile de elemente fac naveta [12] . $FR\ne RF$

Subgrupuri

Fiecare grup al cărui ordin nu depășește 12 este izomorf cu un subgrup al grupului cubului Rubik. Fiecare grup non-abelian a cărui ordin nu depășește 24 este, de asemenea, izomorf cu un subgrup al grupului cubului Rubik. Grupurile ( grupul ciclic de ordinul 13) și ( grupul diedric de ordinul 26) nu sunt izomorfe cu nicio subgrupă din grupul cubului Rubik [13] . $C_{13}$ $D_{26}$

Centru de grup

Centrul grupului este format din elemente care fac naveta cu fiecare element al grupului. Centrul grupului de cuburi Rubik este format din două elemente: transformarea identității și superflip [5] [13] .

Subgrupuri ciclice

În iulie 1981, Jesper C. Gerved și Torben Maack Bisgaard au demonstrat că grupul de cuburi Rubik conține elemente de 73 de ordine diferite de la 1 la 1260 și au găsit numărul de elemente din fiecare ordin posibil [14] [15] [16] .

Ordinea elementelor	Secvența de rotație a feței
patru	$F$
6	$R^{2}U^{2}$
63	$EN^{-1}$
105	$EN$
1260	${\displaystyle RU^{2}D^{-1}BD^{-1))$

Grupul cubului Rubik conține subgrupuri de ordin ciclic

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 28, 30, 33, 35, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 55, 56, 60, 63, 66, 70, 72, 77, 80, 84, 90, 99, 105, 110, 112, 120, 126, 4, 10, 126, 13, 13 154, 165, 168, 180, 198, 210, 231, 240, 252, 280, 315, 330, 336, 360, 420, 462, 495, 504, 630.

Un singur element (elementul de identitate al grupului) are ordinea 1; al doilea cel mai rar ordin este 11 ( 44.590.694.400 de elemente ); aproximativ 10,6% din toate elementele ( 4601524692892926000 ) au ordinul 60 [14] [16] .

Tabelul prezintă exemple de secvențe de rotație a fețelor corespunzătoare elementelor anumitor ordine [11] [17] [18] .

Grup de pătrate

Grupul pătrat (grupul pătrat) este un subgrup al grupului generat de rotațiile la 180° ale fețelor [5] [19] : $G$

G_{sq}=\langle L^2,F^2,R^2,B^2,U^2,D^2\rangle

Ordinea grupului de pătrate este 663 552 [20] .

Grupul de pătrate este folosit în algoritmul Thistlethwaite , cu ajutorul căruia s-a putut demonstra că 45 de mișcări sunt suficiente pentru a rezolva Cubul Rubik.

Supergrupul cubului Rubik

Etichetele situate în centrele fețelor Cubului Rubik nu se mișcă, ci sunt rotite. Pe un cub Rubik obișnuit, orientarea centrelor fețelor este invizibilă.

Grupul tuturor transformărilor cubului Rubik cu orientări vizibile ale centrului feței se numește supergrupul cubului Rubik. Este de ori mai mare decât grupul [5] . $\dfrac{4^6}{2}=2048$ $G$

Ciclul hamiltonian pe graficul Cayley

Există un ciclu Hamiltonian pe graficul Cayley al unui grup cu 12 generatoare care corespund mișcărilor metricii QTM . Ciclul găsit folosește rotații de numai 5 din 6 fețe [21] [22] [23] . $K_q$ $G$

Există o conjectura Lovas corespunzătoare pentru un grafic Cayley arbitrar.

Vezi și

Note

↑ Adesea în literatura de specialitate trei, strict vorbind, nu sunt separate concepte diferite - starea (configurația) cubului Rubik, transformarea și succesiunea de întoarceri ale fețelor („mișcări”). Vezi, de exemplu, Erik D. Demaine, Martin L. Demaine, Sarah Eisenstat, Anna Lubiw, Andrew Winslow. Algoritmi pentru rezolvarea cuburilor Rubik . - „Configurațiile Cubului Rubik sau, în mod echivalent, transformările de la o configurație la alta, formează un subgrup al unui grup de permutări, generat de mișcările de răsucire de bază.” Consultat la 14 noiembrie 2015. Arhivat din original la 3 aprilie 2017. (nedefinit) . De obicei, din context este clar dacă vorbim despre stări sau despre transformări care transferă o stare în alta.
↑ 1 2 Schönert, Martin Analizând cubul Rubik cu GAP . Consultat la 19 iulie 2013. Arhivat din original la 5 septembrie 2013.
↑ V. Dubrovsky. Matematica Cubului Magic // Kvant. - 1982. - Nr 8 . - S. 22 - 27, 48 . (Rusă)
↑ Jaap Scherphuis. Cubul Rubik 3x3x3 . Numărul de posturi (engleză) . Consultat la 19 iulie 2013. Arhivat din original la 5 septembrie 2013.
↑ 1 2 3 4 Jaap Scherphuis. Matematică utilă . Preluat la 22 iulie 2013. Arhivat din original la 5 septembrie 2013.
↑ Ryan Heise. Teoria cubului Rubik: Legile cubului (engleză) . Preluat la 21 iulie 2013. Arhivat din original la 5 septembrie 2013.
↑ Rokicki, T.; Kociemba, H.; Davidson, M.; și Dethridge, J. Numărul lui Dumnezeu este 20 . Data accesului: 19 iulie 2013. Arhivat din original pe 26 iulie 2013.
↑ Weisstein, Eric W. Cubul lui Rubik . Preluat la 22 iulie 2013. Arhivat din original la 2 iunie 2013.
↑ Lucas Garron. (R U2 D' B D')1260 (engleză) . Preluat la 22 iulie 2013. Arhivat din original la 5 septembrie 2013.
↑ Joyner, David. Aventuri în teoria grupurilor: Cubul lui Rubik, mașina lui Merlin și alte jucării matematice . — Baltimore: Johns Hopkins University Press, 2002. - P. 7 . - ISBN 0-8018-6947-1 .
↑ 1 2 Jamie Mulholland. Cursul 21: Cubul Rubik: Subgrupuri ale grupului de cuburi (link indisponibil) (2011). Arhivat din original pe 24 noiembrie 2015. (nedefinit)
↑ Davis, Tom. Teoria grupurilor prin Cubul Rubik (2006). Preluat la 22 iulie 2013. Arhivat din original la 5 septembrie 2013. (nedefinit)
↑ 1 2 Matematica cubului Rubik, 1996 , p. 209.
↑ 1 2 David Singmaster. Circulară cubică, numărul 3 și 4 . Ordinele elementelor (pp. 34-35 ) . Consultat la 24 noiembrie 2015. Arhivat din original la 14 septembrie 2015.
↑ Walter Randelshofer. Posibile comenzi . Consultat la 24 noiembrie 2015. Arhivat din original pe 24 noiembrie 2015. (nedefinit)
↑ 1 2 Jesper C. Gerved, Torben Maack Bisgaard. (Scrisoare către David B. Singmaster) (27 iulie 1981). Arhivat din original la 1 august 2015. (nedefinit)(scrisoare către D. Singmaster cu tabele care conțin numărul de elemente din fiecare ordin posibil al grupului de cuburi Rubik)
↑ Miniaturi matematice, 1991 .
↑ Michael ZR Gottlieb. Calculator de comandă . Data accesului: 24 noiembrie 2015. Arhivat din original pe 3 februarie 2016. (nedefinit)
↑ Matematica cubului Rubik, 1996 , p. 234.
↑ Jaap Scherphuis. Subgrupuri de cuburi . Preluat la 22 iulie 2013. Arhivat din original la 5 septembrie 2013.
↑ Bruce Norskog. Un circuit hamiltonian pentru Cubul Rubik! . Domeniul Cube Forum. Preluat la 21 iulie 2013. Arhivat din original la 5 septembrie 2013. (nedefinit)
↑ Bruce Norskog. Un circuit hamiltonian pentru Cubul Rubik! . speedsolving.com. Preluat la 21 iulie 2013. Arhivat din original la 5 septembrie 2013. (nedefinit)
↑ Matematica cubului Rubik, 1996 , p. 129.

Literatură

Joyner, David. Aventuri în teoria grupurilor: Cubul lui Rubik, mașina lui Merlin și alte jucării matematice . — Baltimore: Johns Hopkins University Press, 2002. - ISBN 0-8018-6947-1 .
Savin A.P. Miniaturi matematice / Artist E. Shabelnik. - M . : Literatura pentru copii , 1991. - S. 79-81. — 127 p. - (Cunoaște și poți). - ISBN 5-08-000596-3 .
WD Joyner. Matematica cubului Rubik (1996). Data accesului: 5 decembrie 2015. Arhivat din original pe 20 februarie 2016. (nedefinit)

Link -uri

WD Joyner. Note de curs despre matematica cubului Rubik (engleză) . Preluat la 22 iulie 2013. Arhivat din original la 5 septembrie 2013.
Janet Chen. Teoria grupurilor și cubul Rubik . Preluat la 28 martie 2022. Arhivat din original la 30 septembrie 2019. (nedefinit)