Geometria diofantină este o abordare a teoriei ecuațiilor diofantine care formulează probleme în termeni de geometrie algebrică peste un câmp de bază algebric neînchis K , cum ar fi câmpul numerelor raționale sau un câmp finit sau, mai general, un inel comutativ , precum inelul de numere întregi. Ecuația de identitate definește o hipersuprafață și, în același mod, o ecuație diofantină merge la o varietate algebrică V peste K. O întrebare tipică despre natura mulțimii V ( K ) de puncte de pe V cu coordonate în K este întrebarea despre „mărimea” mulțimii acestor soluții: dacă astfel de puncte există, dacă numărul lor este finit sau infinit. . Pentru abordarea geometrică, acordul privind omogenitatea ecuațiilor și omogenitatea coordonatelor este fundamental. Soluțiile în numere raționale este convenția principală[ specificați ] .
Unul dintre rezultatele caracteristice ale geometriei diofantine este teorema lui Faltings , care afirmă că mulțimea punctelor raționale ale unei curbe algebrice C de genul g > 1 peste numerele raționale este finită . Primul rezultat al geometriei diofantine ar trebui considerat probabil teorema Hilbert-Hurwitz, care analizează cazul g = 0.
În 1962, Serge Leng a publicat cartea „ Geometrie diofantină ”, care a prezentat materialul în mod tradițional în ecuații diofantine în grad și număr de variabile. Cartea Diophantine Equations de Louis Mordell (1969) începe cu o remarcă asupra ecuației omogene f = 0 pe un câmp rațional, atribuită lui Gauss , că soluțiile întregi nenule există dacă și numai dacă există soluții raționale diferite de zero și un remarcă asupra obiecțiilor lui Linord Dixon cu privire la soluțiile parametrice. Rezultatele lui Hilbert și Hurwitz, obținute în 1890, restricționând geometria diofantină a curbelor de felul 0 la puterile 1 și 2 ( secțiuni conice ) sunt descrise în capitolul 17, unde se formulează o generalizare pentru curbele g > 1 (cunoscută mai târziu). ca și conjectura Mordell și a devenit teorema Faltings după demonstrarea aserției). Teorema Siegel asupra punctelor întregi este discutată în Capitolul 28. Teorema Mordell-Weil asupra numărului finit de numere raționale pe o curbă eliptică este prezentată în Capitolul 16, iar a numerelor întregi pe curba Mordell în Capitolul 26. În același timp, Mordell a vorbit negativ despre abordarea geometrică folosită de Leng.
Cu toate acestea, conceptul lui Leng de a se baza pe intuiția geometrică a câștigat ulterior popularitate, iar în 2006 a fost numit „vizionar” [1] [2] .