Diferențierea funcțiilor trigonometrice

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 21 iunie 2021; verificările necesită 8 modificări .

Funcţie	Derivat
$\sin(x)$	$\cos(x)$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$
$\tan(x)$	$\sec ^{2}(x)$
$\cot(x)$	$-\csc ^{2}(x)$
$\sec(x)$	$\sec(x)\tan(x)$
$\csc(x)$	$-\csc(x)\cot(x)$
$\arcsin(x)$	${\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2))))}$
$\arccos(x)$	$-{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2))))}$
$\arcatan(x)$	${\frac {1}{x^{2}+1}}$
$\operatorname {arccot}(x)$	$-{\frac {1}{x^{2}+1}}$
$\operatorname {arcsec}(x)$	${\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$
$\operatorname {arccsc}(x)$	$-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$

Diferențierea funcțiilor trigonometrice este procesul matematic de găsire a derivatei unei funcții trigonometrice sau a ratei acesteia de modificare în raport cu o variabilă. De exemplu, derivata funcției sinus se scrie ca sin′( a ) = cos( a ), ceea ce înseamnă că rata de schimbare a sin( x ) la un anumit unghi x = a este dată de cosinusul acelui unghi. .

Toate derivatele funcțiilor trigonometrice circulare pot fi găsite din derivatele lui sin( x ) și cos( x ) folosind regula coeficientului aplicată la funcții precum tan( x ) = sin( x )/cos( x ). Cunoscând aceste derivate, se pot găsi derivate ale funcțiilor trigonometrice inverse folosind diferențierea implicită .

Toate aceste funcții sunt continue și diferențiabile în domeniul lor de definire [1] .

Demonstrații pentru derivate ale funcțiilor trigonometrice

Limita sin(θ)/θ ca θ tinde spre 0

Diagrama din dreapta arată un cerc cu centrul O și raza r = 1. Fie două raze OA și OK să formeze un arc în θ radiani. Deoarece luăm în considerare limita pe măsură ce θ ajunge la zero, putem presupune că θ este un număr mic pozitiv, să spunem 0 < θ < ½ π în primul cadran.

În diagramă, fie R 1 triunghiul OAK , R 2 sectorul circular OAK , iar R 3 triunghiul OAL . Apoi aria triunghiului STEJAR :

\mathrm {Zona} (R_{1})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |OB|\sin \theta ={\tfrac {1}{2}}\sin \theta\,.

Aria sectorului circular OAK este , iar aria triunghiului OAL este definită ca $\mathrm {Zona} (R_{2})={\tfrac {1}{2}}\theta$

\mathrm {Zona} (R_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |AC|={\tfrac {1}{2}}\tan \theta \, .

Deoarece fiecare obiect este conținut în următorul, avem:

{\text{Zona}}(R_{1})<{\text{Zona}}(R_{2})<{\text{Zona}}(R_{3})\iff {\tfrac { 1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.

Mai mult, deoarece sin θ > 0 în primul cadran, putem împărți la ½ sin θ pentru a obține:

1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\implies 1>{\frac {\sin \theta }{\theta } }>\cos\theta\,.

În ultimul pas, am luat înapoi cei trei termeni pozitivi prin modificarea inegalității.

Am ajuns la concluzia că pentru 0 < θ < ½ π, expresia sin( θ )/ θ va fi întotdeauna mai mică decât 1 și întotdeauna mai mare decât cos(θ). Astfel, cu cât θ este mai aproape de 0, cu atât sin( θ )/ θ devine mai „ stors ” între tavan la înălțimea 1 și podeaua la înălțimea cos θ , care tinde spre 1; prin urmare, sin( θ )/ θ tinde spre 1 pe măsură ce θ tinde spre 0 pe partea pozitivă:

$\lim _{\theta \to 0^{+}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.$

Pentru cazul în care θ este un mic număr negativ -½ π <θ < 0, folosim faptul că sinusul este o funcție impară :

\lim _{\theta \to 0^{-}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}} \!{\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {-\sin \theta }{ -\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ 1\,.

Limitați (cos(θ)-1)/θ deoarece θ tinde spre 0

Ultima secțiune ne face relativ ușor să calculăm această nouă limită. Acest lucru se face cu un truc simplu. În acest calcul, semnul lui θ este neimportant.

\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)\ =\ \ lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos ^{2}\!\theta -1}{\theta \,(\cos \theta +1))).

Folosind cos 2 θ – 1 = –sin 2 θ , faptul că limita unui produs este produsul limitelor, iar limita rezultată din secțiunea anterioară, constatăm că:

\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac { -\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)))\ =\ \left(-\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{ \theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\right)\ =\ (- 1)\left({\frac {0}{2}}\right)=0\,.

Limitați tan(θ)/θ deoarece θ tinde spre 0

Folosind limita pentru funcția sinus și faptul că funcția tangentă este impară, iar limita produsului este produsul limitelor, găsim:

\lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}\ =\ \left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \ theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {1}{\cos \theta }}\right)\ =\ (1)(1) \ =\ 1\,.

Derivata functiei sinus

Calculăm derivata funcției sinus din definiția limitei :

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin(\ theta +\delta )-\sin \theta }{\delta )).

Folosind formulele de adunare a unghiurilor sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α , avem:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \right).

Utilizarea limitelor pentru funcțiile sinus și cosinus :

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \theta\,.

Derivata funcției cosinus

Din definiția unui derivat

Calculăm din nou derivata funcției cosinus din definiția limitei:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos(\ theta +\delta )-\cos \theta }{\delta )).

Folosind formula de adunare a unghiurilor cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β , avem:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{ \delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right).

Utilizarea limitelor pentru funcțiile sinus și cosinus :

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\sin \theta =-\ sin\theta\,.

Din regula lanțului

Pentru a calcula derivata funcției cosinus din regula lanțului, observați mai întâi următoarele trei fapte:

\cos \theta =\sin \left({\tfrac {\pi {2}}-\theta \right)

\sin \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)

{\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \theta =\cos \theta

Prima și a doua sunt identități trigonometrice , iar a treia este demonstrată mai sus. Folosind aceste trei fapte, putem scrie următoarele:

{\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta ={\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)

Putem diferenția acest lucru folosind regula lanțului . Punând , avem: $f(x)=\sin x,\\g(\theta )={\tfrac {\pi }{2}}-\theta$

{\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}f\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)=f^{\ prim }\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)\cdot g^{\prime }\!\left(\theta \right)=\cos \left({\tfrac {\ pi }{2}}-\theta \right)\cdot (0-1)=-\sin \theta

Astfel, noi am dovedit că

{\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta =-\sin \theta

Derivata functiei tangente

Din definiția unui derivat

Pentru a calcula derivata funcției tan θ , folosim primele principii . Prin definitie:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\ tan(\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }}\right).

Folosind formula unghiului binecunoscută tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β) , avem:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {{ \frac {\tan \theta +\tan \delta }{1-\tan \theta \tan \delta }}-\tan \theta }{\delta }}\right]=\lim _{\delta \to 0 }\left[{\frac {\tan \theta +\tan \delta -\tan \theta +\tan ^{2}\theta \tan \delta }{\delta \left(1-\tan \theta \tan \delta\right)}}\right].

Folosind faptul că limita unui produs este produsul limitelor:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\tan \delta }{\delta }}\times \lim _{\delta \to 0}\left({\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }}\ dreapta).

Folosind limita funcției tangente și faptul că tan δ tinde spre 0 în timp ce δ tinde spre 0:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1\times {\frac {1+\tan ^{2}\theta } {1-0}}=1+\tan ^{2}\theta .

Vedem imediat că:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{ \cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta \,.

Din regula coeficientului

De asemenea, este posibil să se calculeze derivata funcției tangente folosind regula coeficientului :

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta ={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \ cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}

Numătorul poate fi simplificat la 1 folosind identitatea pitagoreică , care ne oferă:

{\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta

Prin urmare,

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta

Demonstrații pentru derivate ale funcțiilor trigonometrice inverse

Următoarele derivate pot fi găsite prin setarea variabilei y la funcția trigonometrică inversă , din care dorim să luăm derivata. Folosind diferențierea implicită și apoi rezolvând pentru dy / dx , derivata funcției inverse va fi găsită în termeni de y . Pentru a converti dy / dx înapoi în x termeni , putem desena un triunghi de referință pe cercul unității, setând θ egal cu y . Folosind teorema lui Pitagora și definiția funcțiilor trigonometrice obișnuite, putem exprima în sfârșit dy / dx în termeni de x .

Diferențierea funcției arcsinus

Lăsa

y=\arcsin x\ ,

Unde

-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}.

Apoi

\sin y=x\ .

Luând derivata de pe ambele părți și rezolvând pentru , avem: $X$ $dy/dx$

{d \over dx}\sin y={d \over dx}x,

\cos y\cdot {dy \over dx}=1\ .

Înlocuind de sus , avem: $\cos y={\sqrt {1-\sin ^{2}y))$

{\sqrt {1-\sin ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1

Înlocuind de sus , avem: $x=\sin y$

{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1

{dy \over dx}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2)}})

Diferențierea funcției arccosinus

Lăsa

y=\arccos x\,\!

Unde

0\leq y\leq \pi

Apoi

\cos y=x\,\!

Luând derivata de pe ambele părți și rezolvând pentru , avem: $X$ $dy/dx$

{d \over dx}\cos y={d \over dx}x

-\sin y\cdot {dy \over dx}=1

Înlocuind de sus , obținem: $\sin y={\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\,\!$

-{\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1

Înlocuind de sus , obținem: $x=\cos y\,\!$

-{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1

{dy \over dx}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2)}})

Alternativ, odată ce derivata lui este stabilită, derivata lui este imediat urmată de diferențierea identității astfel încât . $\arcsin x$ $\arccos x$ $\arcsin x+\arccos x=\pi /2$ $(\arccos x)'=-(\arcsin x)'$

Diferențierea funcției arc tangente

Lăsa

y=\arctan x\,\!

Unde

-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}

Apoi

\tan y=x\,\!

Luând derivata de pe ambele părți și rezolvând pentru , avem: $X$ $dy/dx$

{d \over dx}\tan y={d \over dx}x

Partea stanga:

{d \over dx}\tan y=\sec ^{2}y\cdot {dy \over dx}=(1+\tan ^{2}y){dy \over dx)

, folosind identitatea pitagoreică

Partea dreapta:

{d \over dx}x=1

Prin urmare,

(1+\tan ^{2}y){dy \over dx}=1

Înlocuind de sus , obținem: $x=\tan y\,\!$

(1+x^{2}){dy \over dx}=1

{dy \over dx}={\frac {1}{1+x^{2)}}

Diferențierea funcției tangentei inverse

Lăsa

y=\operatorname {arccot} x

unde Atunci $0<y<\pi$

\cot y=x

Luând derivata de pe ambele părți și rezolvând pentru , avem: $X$ $dy/dx$

{\frac {d}{dx}}\cot y={\frac {d}{dx}}x

Partea stanga:

{d \over dx}\cot y=-\csc ^{2}y\cdot {dy \over dx}=-(1+\cot ^{2}y){dy \over dx)

, folosind identitatea pitagoreică

Partea dreapta:

{d \over dx}x=1

Prin urmare,

-(1+\cot ^{2}y){\frac {dy}{dx}}=1

Înlocuind , obținem: $x=\cot y$

-(1+x^{2}){\frac {dy}{dx}}=1

{\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{1+x^{2)}}

Diferențierea funcției arcsecante

Folosind diferențierea implicită

Lăsa

y=\operatorname {arcsec} x\ \ |x|\geq 1

Apoi

x=\sec y\\y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi {2}),\ pi\dreapta]

{\frac {dx}{dy}}=\sec y\tan y=|x|{\sqrt {x^{2}-1}}

(Valoarea absolută din expresie este necesară deoarece produsul secantei și tangentei în intervalul y este întotdeauna nenegativ, iar radicalul este întotdeauna nenegativ prin definiția rădăcinii pătrate principale , deci factorul rămas trebuie să fie și el nenegativ, care se realizează prin utilizarea valorii absolute a lui x .) ${\sqrt {x^{2}-1))$

{\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}

Folosind regula lanțului

Alternativ, derivatul arcsecantului poate fi derivat din derivatul arccosinului folosind regula lanțului .

Lăsa

y=\operatorname {arcsec} x=\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)

Unde

|x|\geq 1

și

y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2)),\pi \right]

Apoi, aplicând regula lanțului la , avem: $\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)$

{\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left (-{\frac {1}{x^{2}}}\right)={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2} )))))))={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}} = {\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x ^ {2}-1}}}}

Diferențierea funcției arccosecante

Folosind diferențierea implicită

Lăsa

y=\operatorname {arccsc} x\ \ |x|\geq 1

Apoi

x=\csc y\\\y\in \left[-{\frac {\pi }{2}),0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi}} }}\dreapta]

{\frac {dx}{dy}}=-\csc y\cot y=-|x|{\sqrt {x^{2}-1}}

(Valoarea absolută în expresie este necesară deoarece produsul cosecantei și cotangentei în intervalul y este întotdeauna nenegativ, iar radicalul este întotdeauna nenegativ prin definiția rădăcinii pătrate principale , deci factorul rămas trebuie să fie și el nenegativ, care se realizează prin utilizarea valorii absolute a lui x .) ${\sqrt {x^{2}-1))$

{\frac {dy}{dx}}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}

Folosind regula lanțului

Alternativ, derivatul arccosecantului poate fi derivat din derivatul arcsinusului folosind regula lanțului .

Lăsa

y=\operatorname {arccsc} x=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)

Unde

|x|\geq 1

și

y\in \left[-{\frac {\pi }{2}),0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2))\right]

Apoi, aplicând regula lanțului la , avem: $\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)$

{\frac {dy}{dx)}={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}))^{2})))\cdot \left( -{\frac {1}{x^{2}}}\right)=-{\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2} )))))))=-{\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}} } =-{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}=-{\frac {1}{|x|{\ sqrt {x^{2}-1}}}}}

Vezi și

Note

↑ Derivate ale funcţiilor trigonometrice . math24.ru . Matematică24. Preluat la 7 iulie 2021. Arhivat din original la 9 iulie 2021. (Rusă)

Literatură

Handbook of Mathematical Functions , editat de Abramowitz și Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964)
Courant R. Un curs de calcul diferențial și integral . - 4. - Moscova: Nauka, 1970. - T. 1. - 672 p. (Rusă)

Trigonometrie
General	Prezentare generală a trigonometriei Poveste Utilizare Funcții Verso Folosit rar Trigonometrie generalizată
Director	Identități Constante exacte Mese cerc unitar
Legi și teoreme	Teorema sinusului teorema lui Pitagora Teorema cosinusului Teorema tangentei Teorema cotangentei Rezolvarea triunghiurilor
Analiza matematică	Substituția trigonometrică Integrale ( funcții inverse ) Derivate