Teorema tangentei

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 26 mai 2021; verificările necesită 2 modificări .

Teorema tangentei [1] este o teoremă care leagă tangentele a două unghiuri ale unui triunghi și lungimile laturilor opuse acestor unghiuri.

Teorema tangentei, deși nu este la fel de cunoscută ca teorema sinusului sau cosinusului , este suficient de utilă pentru a fi utilizată atunci când se cunosc două laturi și un unghi sau, invers, două unghiuri și o latură.

Istorie

Teorema tangentei pentru unghiurile sferice a fost descrisă în secolul al XIII-lea de matematicianul persan Nasir ad-Din At-Tusi (1201–1274), care a furnizat, de asemenea, teorema sinusului pentru triunghiuri plane în lucrarea sa în cinci volume Treatise on the Complete Quadrangle . [2] [3]

Teorema mai este numită și formula Regiomontanus , după astronomul și matematicianul german Johann (sau Johann) Müller ( lat. Regiomontanus ), care a stabilit această formulă. I. Müller a fost numit „Königsberger”: în germană König – rege, Berg – munte, iar în latină „rege” și „munte” la genitiv – regis și montis . De aici „Regiomontanus” – numele de familie latinizat al lui I. Müller. [patru]

Formulare

Pe fig. 1, a , b și c sunt lungimile celor trei laturi ale triunghiului, iar α, β și γ sunt unghiurile, respectiv, opuse acestor trei laturi (unghiuri opuse). Teorema tangentei afirmă că

{\frac {ab}{a+b}}={\frac {\mathrm {tg} {\frac {\alpha -\beta {2)}}{\mathrm {tg} {\frac { \alpha +\beta }{2}}}}.

Dovada

Puteți demonstra teorema tangentei folosind teorema sinusului :

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}).

Lăsa

d={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}),

Unde

a=d\sin \alpha

b=d\sin\beta .

De aici rezultă că

{\frac {ab}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}).

Folosind binecunoscuta identitate trigonometrică

\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta {2)}\cos {\frac {\alpha \mp \beta} {2)), \;

primim:

{\frac {ab}{a+b}}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}={\frac {2\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\ cos {\frac {\alpha -\beta }{2))))={\frac {\mathrm {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2))}{\mathrm {tg} {\ frac {\alpha +\beta }{2}}}}.\qquad \blacksquare

În loc de o formulă pentru suma și diferența sinusurilor a două unghiuri, următoarea identitate binecunoscută poate fi utilizată în demonstrație

\mathrm {tg} {\frac {\alpha \pm \beta }{2)}={\frac {\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta} }

O altă dovadă folosind formulele lui Mollweide

Formulele lui Mollweide au următoarea formă:

{\frac {a+b}{c}}={\frac {\operatorname {cos} {\frac {AB}{2}}}{\operatorname {sin} {\frac {C}{2 }}}};

{\frac {ab}{c}}={\frac {\operatorname {sin} {\frac {AB}{2}}}{\operatorname {cos} {\frac {C}{2}} }}.

unde sunt valorile unghiurilor la vârfurile corespunzătoare ale triunghiului și sunt lungimile laturilor, respectiv, dintre vârfurile și , și , și . $A,\;B,\;C$ $a,\;b,\;c$ $B$ $C$ $C$ $A$ $A$ $B$

Împărțind separat părțile din dreapta și din stânga ultimelor două egalități și echivalând cele două rezultate obținute unul cu celălalt, avem

{\frac {a+b}{ab)}={\frac {\mathrm {ctg} {\frac {C}{2)}}{\mathrm {tg} {\frac {AB}{2 }}}}.

Având în vedere că avem în sfârșit: $\mathrm {ctg} {\frac {C}{2}}=\mathrm {ctg} {\frac {\pi -AB}{2}}=\mathrm {tg} {\frac {A+B {2}}$

{\frac {a+b}{ab)}={\frac {\mathrm {tg} {\frac {A+B}{2)}}{\mathrm {tg} {\frac {AB} {2}}}},

Q.E.D.

Vezi și

Note

↑ Eli Maor . Trigonometric Delights // Princeton University Press , 2002.
↑ Marie-Thérèse Debarnot. Trigonometrie // Enciclopedia istoriei științei arabe, volumul 2 (engleză) / Rushdī Rāshid, Régis Morelon. - Routledge , 1996. - P. 182. - ISBN 0415124115 . Arhivat pe 30 decembrie 2021 la Wayback Machine
↑ Q. Mushtaq, JL Berggren. Trigonometrie // Istoria civilizațiilor din Asia Centrală, volumul 4, rart 2 (engleză) / Bosworth CE, Asimov MS. — Motilal Banarsidass Publ. , 2002. - P. 190. - ISBN 8120815963 . Arhivat pe 30 decembrie 2021 la Wayback Machine
↑ O. V. Manturov. Dicționar explicativ de termeni matematici

Dicționare și enciclopedii	Britannica (online)

Trigonometrie
General	Prezentare generală a trigonometriei Poveste Utilizare Funcții Verso Folosit rar Trigonometrie generalizată
Director	Identități Constante exacte Mese cerc unitar
Legi și teoreme	Teorema sinusului teorema lui Pitagora Teorema cosinusului Teorema tangentei Teorema cotangentei Rezolvarea triunghiurilor
Analiza matematică	Substituția trigonometrică Integrale ( funcții inverse ) Derivate

Triunghi
Tipuri de triunghiuri	Dreptunghiular Isoscel Echilateral Isoscel dreptunghiular
Linii minunate într-un triunghi	Median Înălţime Bisectoare Midperpendicular linia de mijloc Cercuri circumscrise și înscrise Linia dreaptă a lui Simson linia lui Euler Simediana Cheviana
Puncte remarcabile ale triunghiului	Ortocentru Centroid În centru Punctul Brocard Vecten punct Point Gergonne Punctul Lemoine punctul Miquel punctul Nagel Napoleon arată Punctele lui Torricelli Centru cerc cu nouă puncte Centrul Spieker Enciclopedia centrelor triunghiulare
Teoreme de bază	inegalitatea triunghiulară Semne de asemănare ale triunghiurilor Rezolvarea triunghiurilor Teorema unghiului exterior al triunghiului Teorema sumei unghiurilor triunghiulare teorema lui Pitagora Teorema cosinusului Teorema sinusului Teorema proiecției Formula lui Heron
Teoreme suplimentare	teorema lui Van Obel Teorema lui Menelaus Teorema Reuschle (Terkema). teorema lui Stewart Teorema tangentei Teorema cotangentei teorema lui Ceva Formule Mollweide
Generalizări	triunghi sferic triunghi hiperbolic Simplex