Succesiune exactă

O secvență exactă este o secvență de obiecte algebrice cu o succesiune de homomorfisme astfel încât pentru oricare imaginea să coincidă cu nucleul (dacă există ambele homomorfisme cu astfel de indici). În majoritatea aplicațiilor , grupurile comutative , uneori spații vectoriale sau algebre peste inele , joacă un rol . $G_{i}$ $\varphi _{i}\colon G_{i}\rightarrow G_{i+1}$ $i$ $\varphi _{i-1}$ $\varphi _{i}$ $G_{{i}}$

Definiții înrudite

Secvențe de tip exact $0\longrightarrow A{\stackrel {\varphi {\longrightarrow }}B{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}C\longrightarrow 0$

sunt numite secvențe scurte exacte , în acest caz , un monomorfism și un epimorfism .

\varphi

\psi

Mai mult, dacă y are un morfism invers drept sau y are un morfism invers stâng, atunci poate fi identificat cu astfel încât să fie identificat cu încorporarea canonică în , și cu proiecția canonică pe . În acest caz, se spune că secvența scurtă exactă este

împărțită .

\varphi

\psi

B

A\oplus C

\varphi

A

A\oplus C

\psi

A\oplus C

C

O secvență exactă lungă este o secvență exactă cu un număr infinit de obiecte și homomorfisme.
Dacă atunci șirul se numește semi-exact . $\mathrm {Im} \,\varphi _{i}\subset \mathrm {Ker} \,\varphi _{i+1},$

Exemple

În teoria grupărilor de homotopie , succesiunea exactă a perechii este de mare importanță , în special, succesiunea exactă a mănunchiului . Dacă este un fascicul local trivial peste fibre , atunci următoarea secvență de grupuri de homotopie este exactă [1] : $F\la M\la B$ $B$ $F$

\ldots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(M)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F )\to \ldots \to \pi _{0}(F)\to \pi _{0}(M)\to \pi _{0}(B)

Secvența exactă Maier-Vietoris este de mare importanță pentru calcularea grupurilor de omologie ale spațiilor complexe:

{\begin{aliniat}\cdots \rightarrow H_{n+1}(X)\,&{\xrightarrow {\partial _{*)}}\,H_{n}(A\cap B)\ ,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{* ))}\,H_{n}(X){\xrightarrow {\partial _{*))}\\&\quad {\xrightarrow {\partial _{*))}\,H_{n-1}( A\cap B)\rightarrow \cdots \rightarrow H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0} (X)\rightarrow \,0.\end{aliniat}}

Un complex de lanț este o secvență semi-exactă de grupuri abeliene.
Fie un pachet trivial de varietăți local . Apoi este conectat [2] cu o scurtă secvență exactă de mănunchiuri $E\la X$

0\longrightarrow VX\longrightarrow TE\longrightarrow HX\longrightarrow 0

și dualul ei

0\longleftarrow V^{*}X\longleftarrow T^{*}E\longleftarrow H^{*}X\longleftarrow 0

Aici , este mănunchiul tangent la varietatea , și sunt fasciculele verticale și , respectiv, orizontale ale lui k . denotă mănunchiul dual ( cotangent etc.).

TE

E

VX

HX

X

^{*}

Secvență exactă exponențială

0\to 2\pi i\,\mathbb {Z} \to {\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*}\to 0 ,

unde u este un snop de funcții holomorfe pe o varietate complexă și subcopa sa constând din funcții care nu dispar nicăieri

{\mathcal {O}}_{M}

{\mathcal {O}}_{M}^{*}

M

Literatură

↑ Spanier E. Topologie algebrică. — M .: Mir, 1971.
↑ G. A. Sardanashvili Metode moderne ale teoriei câmpului. Vol. 1: Geometrie și domenii clasice, - M. : URSS, 1996. - 224 p.