Conjectura Erdős-Strauss

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 27 martie 2022; verificările necesită 2 modificări .

Ipoteza Erdős-Strauss  este o ipoteză teoretică a numerelor conform căreia, pentru toate numerele întregi, un număr rațional poate fi reprezentat ca suma a trei fracții alicote (fracții cu o unitate la numărător), adică există trei numere întregi pozitive , și , astfel încât:

.

Formulat în 1948 de Pal Erdős și Ernst Strauss [1] .

Forța brută computerizată a verificat ipoteza pentru toate numerele până la [2] , dar dovezile pentru toate rămâne o problemă deschisă din 2015 .

Restricții

Numerele întregi și nu trebuie să fie diferite, dar dacă sunt diferite, ele formează o fracție egipteană reprezentând numărul . De exemplu, există două soluții pentru:

.

Restricția asupra caracterului pozitiv al numerelor și este esențială , deoarece dacă s-ar permite numerele negative, problema ar deveni trivială. De asemenea, dacă este compus , atunci soluția pentru poate fi găsită imediat din soluțiile pentru sau . Din acest motiv, cel mai mic contraexemplu, dacă există, trebuie să fie un număr prim și trebuie să fie congruent cu un membru al uneia dintre cele șase progresii aritmetice infinite modulo 840 [3] .

Pentru , nu contează dacă toate cele trei numere și trebuie să fie diferite sau nu - dacă există o soluție pentru oricare trei numere întregi și , atunci există o soluție cu valori diferite. Cu toate acestea, pentru acest caz există o soluție unică până la o permutare a termenilor sumei.

Istorie

Căutarea pentru extinderea numerelor raționale în sume de fracții alicote datează de la matematicienii Egiptului antic , unde fracțiile egiptene erau folosite pentru a reprezenta cantități fracționale. Egiptenii au inventat tabele, cum ar fi tabelul 2/n din papirusul Ahmes , care conține expansiuni de fracții 2/ n , dintre care majoritatea conțin doi sau trei termeni. Fracțiile egiptene conțin de obicei constrângerea suplimentară că toate fracțiile trebuie să fie distincte, dar pentru conjectura Erdős-Strauss acest lucru nu contează - dacă 4/ n poate fi reprezentat ca nu mai mult de trei fracții alicote, acest număr poate fi reprezentat și ca o sumă. nu mai mult de trei fracții alicote diferite.

Algoritmul lacom pentru fracțiile egiptene , descris pentru prima dată în Fibonacci 1202 în cartea sa abacus , găsește o factorizare în care fiecare termen succesiv este cea mai mare fracție alicotă care nu depășește restul reprezentării (fracția originală, minus termenii deja calculati). Pentru fracțiile de forma 2/ n sau 3/ n , algoritmul greedy folosește maximum doi sau, respectiv, trei termeni. Se poate arăta că un număr de forma 3/ n are o descompunere cu doi factori dacă și numai dacă n are un factor congruent cu 2 modulo 3, iar în celelalte expansiuni sunt necesare trei fracții [4] .

Astfel, pentru numărătorii 2 și 3, întrebarea câți termeni din suma fracției egiptene sunt necesare este complet rezolvată, iar fracțiile de forma 4/ n sunt primul caz pentru care rămâne numărul necesar de termeni ai sumei. necunoscut. Algoritmul greedy oferă sume de doi, trei sau patru termeni, în funcție de valoarea lui n modulo 4. Dacă n este congruent cu 1 modulo 4, algoritmul greedy oferă o factorizare cu patru factori. Astfel, în cel mai rău caz, expansiunea lui 4/ n trebuie să aibă trei sau patru termeni. Conjectura Erdős-Strauss afirmă că în acest caz, ca și pentru numărătorul 3, numărul maxim necesar de termeni în expansiune este de trei.

Comparație modulo

Înmulțirea ambelor părți ale ecuației 4/ n = 1/ x + 1/ y + 1/ z cu nxyz conduce la ecuația 4 xyz = n ( xy + xz + yz ) [5] . Fiind o ecuație algebrică cu variabile întregi, ecuația este un exemplu de ecuație diofantină . Principiul lui Hasse pentru ecuațiile diofantine afirmă că o soluție întreagă a unei ecuații diofantine poate fi obținută ca o combinație de soluții întregi modulo toate numerele prime posibile . Principiul face puțin pentru conjectura Erdős-Strauss, deoarece ecuația 4 xyz = n ( xy + xz + yz ) este ușor de rezolvat pentru orice congruență modulo orice prim. Cu toate acestea, aritmetica modulară este un instrument important pentru studiul presupunerilor.

Pentru o valoare a lui n care satisface unele congruențe , se poate găsi o expansiune pentru 4/ n direct din ecuație. De exemplu, pentru n ≡ 2 (mod 3), 4/ n are o descompunere

Aici fiecare dintre cei trei numitori n , ( n − 2)/3 + 1 și n (( n − 2)/3 + 1) este un polinom în n și fiecare va fi un număr întreg când n ≡ 2 (mod 3). Algoritmul lacom pentru fracțiile egiptene găsește o soluție de trei sau mai puțini termeni dacă n nu este 1 sau 17 (mod 24), dar cazul n ≡ 17 (mod 24) este acoperit de cazul 2 (mod 3), deci singurul caz pentru care ambele metode nu dau expansiune în trei sau mai puțini termeni, acesta este cazul n ≡ 1 (mod 24).

Dacă ar fi posibil să se găsească o soluție ca mai sus pentru un alt modul și să se formeze astfel un sistem complet de comparații, problema ar fi rezolvată. Totuși, așa cum a arătat Mordell [3] , ecuațiile care oferă o soluție pentru n congruentă cu r modulo p pot exista numai pentru r care nu este un reziduu patratic mod p . De exemplu, 2 nu este un reziduu patratic mod 3, deci existența unei identități pentru variabilele n congruente cu 2 modulo 3 nu contrazice rezultatul lui Mordell, dar 1 este un reziduu patratic mod 3, deci nu poate exista o identitate similară pentru valori n care sunt congruente cu 1 modulo 3.

Mordell a enumerat identitățile care oferă o descompunere în trei factori de 4/ n pentru cazurile n ≡ 2 (mod 3) (ca mai sus), ≡ 3 (mod 4), ≡ 5 (mod 8), ≡ 2 sau 3 (mod 5). ), ≡ 3, 5 sau 6 (mod 7). Aceste identități acoperă toate cazurile în care numerele nu sunt reziduuri pătratice în bazele specificate. Cu toate acestea, pentru baze mari, nu sunt cunoscute toate reziduurile non-quadratice care pot fi acoperite de relații de acest tip. Din identitățile lui Mordell, se poate deduce că există soluții pentru toți n , posibil cu excepția lui 1, 121, 169, 289, 361 sau 529 modulo 840. 1009 este cel mai mic număr prim care nu este acoperit de sistemul de congruență. Prin combinarea identităților cu module mari, Webb (și alții) au arătat că numărul de fracții cu numitor în intervalul [1, N ], care ar putea servi drept contraexemplu pentru conjectura, tinde spre zero pe măsură ce N merge la infinit [6] .

Spre deosebire de rezultatele lui Mordell care limitează utilizarea identităților, există o oarecare speranță pentru utilizarea aritmeticii modulare pentru a demonstra conjectura. Niciun număr prim nu poate fi un pătrat, deci, după teorema Hasse-Minkowski , dacă p  este prim, atunci există un prim mai mare q astfel încât p nu este un rest patratic mod q . O abordare pentru a demonstra teorema este de a găsi pentru fiecare prim p un prim mai mare q și o congruență care rezolvă problema 4/ n pentru n ≡ p (mod q ). Dacă acest lucru ar reuși, s-ar dovedi că niciun prim nu ar fi un contraexemplu și astfel conjectura ar fi demonstrată.

Verificare computațională

Diverși autori au efectuat o căutare directă a unui contraexemplu. Aceste căutări pot fi foarte accelerate dacă luăm în considerare numai numere prime care nu sunt acoperite de ecuațiile de comparare modulo cunoscute [7] . Căutările făcute de Allan Swett au condus la concluzia că ipoteza este adevărată pentru toate n până la 10 14 [2] .

Numărul de soluții

Numărul de soluții diferite la problema pentru 4/ n , în funcție de n , a fost de asemenea găsit prin căutarea computerului pentru n mic și s-a dovedit că funcția crește oarecum neregulat. Pornind de la n = 3, numărul de soluții diferite cu numitori diferiți este [8] :

1, 1, 2, 5, 5, 6, 4, 9, 7, 15, 4, 14, 33, 22, 4, 21, 9, ….

Chiar și pentru n mare , există cazuri cu un număr relativ mic de soluții. Deci, pentru n = 73, există doar șapte soluții.

Elsholtz și Tao [9] au arătat că numărul mediu de soluții la problema de descompunere 4/ n (mediat pe numărul de numere prime până la n ) este mărginit de sus polilogaritmic în n . Pentru alte probleme diofantine este posibil să se demonstreze că există o soluție prin găsirea unei limite inferioare asimptotice pentru numărul de soluții, dar acest tip de demonstrație există în principal pentru problemele cu creșterea polinomială a numărului de soluții, deci Elsholtz și Rezultatul lui Tao face ca această posibilitate să fie improbabilă [10] . Dovada Elsholtz și Tao a limitei numărului de soluții se bazează pe teorema Bombieri-Vinogradov , teorema Brun-Tichmarsh și sistemul de egalități modulo valabil pentru n congruent cu − c sau −1/ c modulo 4 ab , unde a și b  sunt două numere întregi pozitive între prime și c  este orice factor impar al lui a + b . De exemplu, stabilind a = b = 1, obținem una dintre identitățile lui Mordell, care este valabilă pentru n ≡ 3 (mod 4).

Soluții în numere negative

Constrângerea pozitivității și este esențială. Presupunând numere negative, soluția poate fi obținută trivial prin următoarele două identități:

și

Pentru n impar , există o soluție care conține trei termeni, dintre care unul este negativ [11] :

Generalizări

Versiunea generalizată a conjecturii spune că pentru orice k pozitiv există un număr N astfel încât pentru orice n ≥ N există o soluție în numere întregi pozitive ale ecuației k / n = 1/ x + 1/ y + 1/ z . O versiune a acestei presupuneri pentru k = 5 a fost propusă de Vaclav Sierpinski , iar versiunea completă a conjecturii se datorează lui Andrzej Schinzel [12] .

Chiar dacă ipoteza generalizată eșuează pentru o anumită valoare a lui k , numărul de fracții pentru k / n cu n între 1 și N care nu au o expansiune pe trei termeni trebuie să crească subliniar în funcție de N [6] . În special, dacă conjectura Erdős-Strauss în sine (cazul k = 4) este falsă, atunci numărul de contraexemple crește doar subliniar. Și mai puternic, pentru orice k fix , doar un număr subliniar de valori ale lui n necesită mai mult de doi termeni în expansiunea fracției egiptene [13] . Versiunea generalizată a conjecturii este echivalentă cu afirmația conform căreia numărul fracțiilor necompunebile nu este doar subliniar, ci limitat.

Dacă n este impar, atunci prin analogie cu problema factorizării în fracții impare egiptene, se poate întreba despre soluțiile k / n = 1/ x + 1/ y + 1/ z , în care x , y și z sunt diferite numere impare pozitive. Se știe că soluțiile în acest caz există întotdeauna pentru k = 3 [14] .

Note

  1. ↑ Elsholtz, 2001 . Cea mai veche publicație este Erdős, 1950
  2. ↑ 12 Allan Swett . Conjectura Erdos-Straus. (link indisponibil) 
  3. ↑ 12 Mordell , 1967 .
  4. ↑ Eppstein, 1995
  5. ↑ A se vedea, de exemplu, Sander, 1994 pentru o formulare simplă a ecuației diofantine sub ipoteze care dintre numerele x , y , sau z este divizibil cu n .
  6. ↑ 12 Webb , 1970 ; Vaughan, 1970 ; Li, 1981 ; Yang, 1982 ; Ahmadi, Bleicher, 1998 ; Elsholtz, 2001 .
  7. ↑ Obláth, 1950 ; Rosati, 1954 ; Sărut, 1959 ; Bernstein , 1962 Yamamoto , 1965 Terzi, 1971 ; Jollensten 1976 ; Kotsireas, 1999 .
  8. ↑ Secvența OEIS A073101 _
  9. ↑ Elsholtz, Tao, 2011 .
  10. ↑ Despre numărul de soluții la 4/p = 1/n_1 + 1/n_2 + 1/n_3 Arhivat 4 ianuarie 2015 la Wayback Machine , Terence Tao, „What’s new”, 7 iulie 2011.
  11. ↑ Jaroma, 2004 .
  12. ↑ Sierpiński, 1956 ; Vaughan, 1970 .
  13. ↑ Hofmeister, Stoll, 1985 .
  14. ↑ Schinzel, 1956 ; Suryanarayana, Rao, 1965 ; Hagedorn, 2000 .

Literatură

Link -uri