Papirus ahmes

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 25 septembrie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Papirusul matematic al lui Ahmes (cunoscut și ca Papirusul Rinda sau Papirusul Rhind ) este un manual egiptean antic de aritmetică și geometrie din dinastia a XII-a a Regatului de Mijloc (1985-1795 î.Hr.), transcris în anul 33 al domniei lui. Regele Apopi (c. 1550). î.Hr.) de către un scrib pe nume Ahmes pe un sul de papirus [1] . Cercetători individuali[ cine? ] sugerează că papirusul dinastiei a XII-a ar putea fi alcătuit pe baza unui text și mai vechi din mileniul III î.Hr. e. Limba: egipteană mijlocie , scriere: hieratică .

Papirusul Ahmes a fost descoperit în 1858 la Teba și este adesea numit papirusul Rhind (Rhind) după primul său proprietar. În 1887, papirusul a fost descifrat, tradus și publicat de G. Robinson și K. Schute [2] . Cea mai mare parte a manuscrisului se află acum la British Museum . Este format din două părți: BM 10057 (32 cm × 295,5 cm) și BM 10058 (32 cm × 199,5 cm). Între ele ar trebui să existe o bucată de aproximativ 18 cm lungime, care s-a pierdut. Unele fragmente care umplu parțial acest gol au fost descoperite în 1922 în muzeul Societății Istorice din New York [3] .

Caracteristicile sarcinilor

Papirusul lui Ahmes include condiții și soluții pentru 84 de probleme și este cea mai completă carte egipteană cu probleme care a supraviețuit până în zilele noastre. Papirusul matematic din Moscova , situat în Muzeul de Stat de Arte Plastice Pușkin, este inferior papirusului Ahmes în ceea ce privește complet (este format din 25 de sarcini), dar îl depășește în vârstă.

În partea introductivă a papirusului lui Ahmes, se explică că acesta este dedicat „studiului perfect și amănunțit al tuturor lucrurilor, înțelegerii esenței lor, cunoașterii secretelor lor”. Toate sarcinile prezentate în text sunt, într-o măsură sau alta, de natură practică și ar putea fi aplicate în construcții, delimitarea terenurilor și în alte domenii de viață și producție. În cea mai mare parte, acestea sunt sarcini pentru găsirea ariilor unui triunghi, patrulatere și un cerc, diferite acțiuni cu numere întregi și fracții alicote , împărțire proporțională, găsire de rapoarte. Pentru a rezolva multe dintre ele, au fost elaborate reguli generale.

În același timp, există o serie de dovezi în papirus că matematica din Egiptul Antic a depășit o etapă exclusiv practică și a dobândit un caracter teoretic. Deci, matematicienii egipteni au reușit să prindă rădăcini și să ridice la putere erau familiarizați cu progresia aritmetică și geometrică (una dintre sarcinile papirusului Ahmes este să găsească suma termenilor unei progresii geometrice). O mulțime de probleme care se rezumă la rezolvarea ecuațiilor (inclusiv a celor pătrate) cu o necunoscută sunt asociate cu utilizarea unui „set” hieroglif special (analog al latinei , folosit în mod tradițional în algebra modernă) pentru a desemna necunoscutul, care indică designul. a rudimentelor algebrei . $X$

Papirusul Ahmes, ca și Papirusul matematic din Moscova, arată că egiptenii antici s-au descurcat cu măsurarea ariei unui triunghi și au determinat aproximarea numărului , relativ precis , în timp ce în întregul Orient Apropiat Antic era considerat egal cu trei. . Totuși, papirusul mărturisește și deficiențele matematicii egiptene. De exemplu, aria unui patrulater arbitrar din ele este calculată prin înmulțirea sumelor de jumătate ale lungimii a două perechi de laturi opuse , ceea ce este adevărat numai în cazuri speciale (de exemplu, într-un dreptunghi). Pentru un trapez, această formulă este incorectă, dar egiptenii știau și foloseau formula corectă. În plus, se atrage atenția și asupra faptului că matematicianul egiptean folosește numai fracții alicote (de forma , unde este un număr natural). În alte cazuri, fracția de specie a fost înlocuită cu produsul unui număr și a unei fracții alicote , ceea ce deseori complica calculele, deși în unele cazuri le putea ușura. $\pi$ ${\frac {256}{81}}\aproximativ 3,16$ ${\frac {a+c}{2}}\cdot {\frac {b+d}{2}}$ ${\frac {1}{n}}$ $n$ ${\frac {m}{n}}$ $m$ ${\frac {1}{n}}$

Caracteristicile aritmeticii egiptene. Termeni de bază

Termeni egipteni pentru operații aritmetice

Egiptenii au efectuat înmulțirea și împărțirea prin sumă, dublare și bisectare . Scăderea a fost efectuată prin adăugarea subtraendului la minuend. [4] Pentru a desemna toate aceste acțiuni în limba egipteană , a fost folosit un verb wAH

(citește condiționat „wah” sau „wah” și înseamnă „pune”; „continuă”, etc.). Verbul xpr a fost folosit pentru a indica rezultatul operațiilor cu numere.

(citește condiționat „heper”, înseamnă „a apărea”) sau substantivul dmD

(se citește condiționat „demage”, înseamnă „total”). Numărul dorit era notat cu substantivul aHa

(citește condiționat „aha”, înseamnă „număr”, „set”).

Operații aritmetice

Înainte de a evalua metodele matematice ale egiptenilor, este necesar să vorbim despre trăsăturile gândirii lor. Ele sunt bine exprimate în următoarea afirmație: „În ciuda faptului că grecii atribuiau egiptenilor înțelepciunea filozofilor, niciun popor nu a avut o asemenea aversiune față de reflecțiile abstracte și nu a fost atât de sincer devotat intereselor materiale ca egiptenii”. Dintre toate științele, această afirmație este cea mai potrivită pentru matematica egiptenilor. Egipteanul nu vorbește și nu se gândește la numărul „opt” ca la un număr abstract, el se gândește la opt pâini sau la opt oi. El calculează înclinarea laturii piramidei, deloc pentru că este interesantă, ci pentru că trebuie să explice zidarului cum va trebui să fie tăiată piatra (așa-numitul „unghi sacru” de 52 de grade este valoare limită la care căptușeala de calcar nu cade de pe treptele piramidei sub propria greutate). Daca se descompune in , nu este deloc pentru ca ii place, ci pur si simplu pentru ca mai devreme sau mai tarziu va intalni o fractie la adunare si, din moment ce nu stie sa adun fractii al caror numarator este mai mare decat unu, va avea nevoie de descompunerea dată mai sus . [5] ${\frac {2}{13}}$ ${\frac {1}{8}}+{\frac {1}{52}}+{\frac {1}{104}}$ ${\frac {2}{13}}$

Întrucât egiptenii antici nu cunoșteau încă tabla înmulțirii , toate calculele erau extrem de greoaie și erau efectuate în mai multe etape. Pentru a efectua operații precum înmulțirea sau împărțirea s-a folosit următoarea metodă [4] :

Înmulțirea

De exemplu, 22 x 60 =?

Mai întâi, s-a notat o astfel de serie de numere încât fiecare număr ulterior a fost obținut prin dublarea celui precedent, de exemplu: 1, 2, 4, 8, 16 ... Pentru unele sarcini, pentru a simplifica numărarea, prima serie de numere ar putea începe cu un alt număr decât unul, dar principiul dublării numărului anterior s-a păstrat pentru educația ulterioară.
Vizavi de unitate s-a scris cel mai mare număr din mulțime (în exemplul nostru, acesta este numărul 60), apoi s-a creat aceeași progresie cu acest număr, astfel încât fiecare număr ulterior a fost obținut prin dublarea celui precedent. O astfel de serie de numere a fost scrisă vizavi de prima. În consecință, opusul 2 a fost scris 120 (adică 60 x 2), opusul 4 - 240 (adică 120 x 2), opusul 8 - 480 (adică 240 x 2), opusul 16 - 960 (adică, 480 x 2)...
Cel mai mic număr (22 în exemplul nostru) a fost descompus în numărul minim de numere din primul rând (1, 2, 4, 8, 16 ...). În acest scop, a fost luat mai întâi numărul cel mai apropiat ca valoare de 22, acesta este 16, cu restul a fost efectuată o acțiune similară: 22 - 16 \u003d 6, numărul din primul rând cel mai apropiat ca valoare de 6 - 4 etc. ., până când suma numerelor alese din primul rând nu a fost egală cu 22, adică cel mai mic număr din mulțime. Se obține: 22 = 16 + 4 + 2.
Apoi au fost selectate numerele din al doilea rând, care se aflau vizavi de numerele pe care le alesesem anterior din primul rând. Din primul rând am ales 16, 4 și 2, în al doilea rând acestea corespund numerelor 960, 240 și 120.
Produsul numerelor 22 și 60 a fost egal cu suma numerelor alese din al doilea rând, adică 960 + 240 + 120 = 1320.

Divizia

De exemplu, 30/20 = ?

În primul rând, s-a notat o astfel de serie de numere încât fiecare număr ulterior a fost obținut prin dublarea celui precedent, de exemplu: 1, 2, 4 ... Pentru unele probleme, pentru a simplifica numărarea, prima serie de numere ar putea începe cu un numar altul decat unu, dar principiul dublarii numarului anterior pentru a-l forma pe urmatorul a fost pastrat.
Vizavi de unitate s-a scris cel mai mic număr, în cazul nostru este 20, apoi s-a creat aceeași progresie cu acest număr, astfel încât fiecare număr ulterior a fost obținut prin dublarea celui precedent. O astfel de serie de numere a fost scrisă vizavi de prima. În consecință, opusul 2 a fost scris 40 (adică 20 x 2), opusul 4 - 80 (adică 40 x 2) ...
Din al doilea rând a fost ales un număr, care era cel mai apropiat ca valoare de 30, adică cel mai mare număr din exemplul nostru. Sunt 20.
Numărul 20 din primul rând corespundea cu numărul 1. Aceste numere au fost memorate.
Deoarece 30 a fost mai mare de 20 și mai mic de 40 (adică suma valorilor cifrelor din al doilea rând nu a dat 30), în continuare a fost folosită înjumătățirea.
Pentru a face acest lucru, s-a scris o astfel de serie de numere, începând cu 1/2, încât fiecare număr următor să fie jumătate din cel precedent: 1/2, 1/4, 1/8... Pentru alte exemple, o altă fracție ar putea fi folosit, dar principiul împărțirii celui precedent în jumătate de numere pentru formarea următorului a fost salvat.
Dimpotrivă, 1/2 s-a scris jumătate din cel mai mic număr (de parcă fracția ar fi înmulțită cu un număr), în cazul nostru 20/2 = 10, atunci s-a creat aceeași progresie cu acest număr, astfel încât fiecare număr ulterior a fost jumătate din precedentul. O astfel de serie de numere a fost scrisă vizavi de prima. În consecință, dimpotrivă, 1/4 a fost scris 5 (adică 10/2) ... Dacă a fost imposibil de împărțit în continuare (ar trebui să existe doar numere întregi în al doilea rând!), Apoi, dacă este necesar (dacă soluția nu fusese încă găsită), o nouă serie similară a fost compilată folosind aceeași fracție sau alte fracții (de exemplu, 5 nu putea fi împărțit la 2, dar putea fi împărțit la 5), până când numerele din al doilea rând au ales restul a sumei până la un număr mai mare în funcție de starea problemei.
În continuare, a fost necesar să găsim un astfel de număr minim de numere din al doilea rând, care, împreună cu numărul 20 găsit anterior, ar da 30, adică cel mai mare număr din exemplul nostru. Acest număr este 10 (20 + 10 = 30).
Numărul 10 din al doilea rând corespundea fracției 1/2 din primul rând.
Raportul de la 30 la 20 a fost egal cu suma numerelor selectate din primul rând, adică 1 + 1/2 (= 1,5)

Împărțirea nu a fost întotdeauna asociată cu căutarea numerelor fracționale, în acest caz s-a selectat numărul minim de numere din al doilea rând, care în total ar da cel mai mare număr dat de condițiile problemei, și soluția problemei. în acest caz ar fi suma numerelor corespunzătoare din primul rând.

Acțiuni suplimentare

Uneori, împreună cu dublarea și împărțirea în jumătate, se foloseau înmulțirea și împărțirea cu 5 și 10, precum și cu 50, 100 etc. (ca proprietate a sistemului de măsurare zecimală).
În operațiunile cu fracții, s-au folosit expansiuni canonice ale fracțiilor de tip 2/n (se presupunea că ar fi cunoscute pe de rost, deoarece erau folosite foarte des, de exemplu, 1/3 + 1/3 = 1/2 + 1). /6; 1/9 + 1/9 = 1/6 + 1/18 etc.), precum și metoda „număr roșu” (numerele suplimentare adăugate la fracție pentru a o aduce într-o formă alicotă au fost scrise cu roșu cerneală). Această metodă a fost folosită pentru fracții mari. [6] ro:Număr auxiliar roșu De exemplu, 2/43 trebuia exprimat ca o sumă de fracții alicote (deoarece egiptenii antici foloseau doar fracții cu un numărător egal cu unu). Pentru a face acest lucru, numărătorul și numitorul au fost înmulțiți cu 42 (adică 43 - 1), a rezultat 84/1806. Folosind aceeași metodă ca la înmulțire sau împărțire, numerele care erau multiple ai numitorului (1806) au fost determinate și scrise cu cerneală roșie: 43, 42, 21, 14, 7, 6, 4, 3, 2, 1, apoi numărul minim de astfel de numere roșii, astfel încât suma lor să fie egală cu numărătorul (84), acestea sunt 43, 21, 14 și 6. În cele din urmă, fracția 2/43 a fost scrisă ca (43 + 21 + 14 + 6)/ 1806 = 43/1806 + 21/1806 + 14/1806 + 6/1806 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301. Descompunerea a fost finalizată.

Fracții egiptene

Fracțiile egiptene erau transmise prin prepoziția r , care exprimă o relație. Hieroglific, această prepoziție era transmisă prin semn

De exemplu, a fost scris astfel: ${\frac {1}{4))$

Fracțiile egiptene au fost alicotate . Ca o excepție, egiptenii antici aveau două simboluri pentru fracții și : ${\frac {3}{4))$ ${\frac {2}{3))$

și

respectiv.

Tabelul de expansiune a fracțiunilor en:RMP 2/n

2/3 = 1/2 + 1/6	2/5 = 1/3 + 1/15	2/7 = 1/4 + 1/28
2/9 = 1/6 + 1/18	2/11 = 1/6 + 1/66	2/13 = 1/8 + 1/52 + 1/104
2/15 = 1/10 + 1/30	2/17 = 1/12 + 1/51 + 1/68	2/19 = 1/12 + 1/76 + 1/114
2/21= 1/14 + 1/42	2/23 = 1/12 + 1/276	2/25 = 1/15 + 1/75
2/27 = 1/18 + 1/54	2/29 = 1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232	2/31 = 1/20 + 1/124 + 1/155
2/33 = 1/22 + 1/66	2/35 = 1/30 + 1/42	2/37 = 1/24 + 1/111 + 1/296
2/39 = 1/26 + 1/78	2/41 = 1/24 + 1/246 + 1/328	2/43 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301
2/45 = 1/30 + 1/90	2/47 = 1/30 + 1/141 + 1/470	2/49 = 1/28 + 1/196
2/51 = 1/34 + 1/102	2/53 = 1/30 + 1/318 + 1/795	2/55 = 1/30 + 1/330
2/57 = 1/38 + 1/114	2/59 = 1/36 + 1/236 + 1/531	2/61 = 1/40 + 1/244 + 1/488 + 1/610
2/63 = 1/42 + 1/126	2/65 = 1/39 + 1/195	2/67 = 1/40 + 1/335 + 1/536
2/69 = 1/46 + 1/138	2/71 = 1/40 + 1/568 + 1/710	2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365
2/75 = 1/50 + 1/150	2/77 = 1/44 + 1/308	2/79 = 1/60 + 1/237 + 1/316 + 1/790
2/81 = 1/54 + 1/162	2/83 = 1/60 + 1/332 + 1/415 + 1/498	2/85 = 1/51 + 1/255
2/87 = 1/58 + 1/174	2/89 = 1/60 + 1/356 + 1/534 + 1/890	2/91 = 1/70 + 1/130
2/93 = 1/62 + 1/186	2/95 = 1/60 + 1/380 + 1/570	2/97 = 1/56 + 1/679 + 1/776
2/99 = 1/66 + 1/198	2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606

Procesul de adunare a fracțiilor nu diferă de modul modern de a le aduce la un numitor comun. Rezultatul înmulțirii cu cel mai mare dintre numitorii disponibili a fost scris sub fracție cu cerneală roșie și nu a fost necesar să se obțină numere întregi. Apoi rezultatul s-a adunat.

Sarcini

Problemele #1-6

Este necesar să se împartă între 10 persoane 1, 2, 6, 7, 8, 9 pâini. Deoarece fracțiile egiptene antice erau alicote, toate fracțiile cu un numărător mai mare de 1 (cu excepția excepțiilor) au fost exprimate ca suma fracțiilor cu 1 în numărător. Folosind raționamentul din papirus, obținem următoarele soluții:

1/10 = 1/10, adică pentru a împărți 1 pâine între 10 persoane, trebuie să o împărțiți în 10 părți și să dați fiecare.
2/10=1/5, adică pentru a împărți 2 pâini între 10 persoane, trebuie să împărțiți fiecare pâine în 5 părți și să dați fiecare.
6/10=1/2+1/10, adică trebuie să împărțiți 5 pâini în jumătate și să dați fiecare jumătate, apoi împărțiți pâinea rămasă în 10 părți și să dați fiecare.
7/10=2/3+1/30, adică mai întâi trebuie să împărțiți fiecare pâine în 3 părți și să dați fiecare două, apoi să împărțiți treimea rămasă în 10 părți și să dați fiecăreia.
8/10=2/3+1/10+1/30, adică mai întâi trebuie să împărțiți 7 pâini în 3 părți și să dați fiecare două, apoi să împărțiți pâinea rămasă în 10 părți și să dați fiecare, apoi să împărțiți al treilea rămas în 10 părți și dați fiecare.
9/10=2/3+1/5+1/30, adică trebuie să împărțiți 7 pâini în 3 părți și să dați fiecare două, apoi să împărțiți cele 2 pâini rămase în cinci părți fiecare și să dați fiecare, apoi , trebuie să împărțiți treimea rămasă în 10 părți și să dați fiecare .

Problema # R26

Numărul necunoscut ( aHa ) se adaugă la 1/4, care conține și aHa, iar rezultatul este 15, adică. $x+{\frac {1}{4}}\cdot x=15.$

Primul pas: matematicianul antic înlocuiește „x” cu 4. Evident, acest număr nu este potrivit pentru soluția, : $4+{\frac {1}{4}}\cdot 4\not =15$

✔	unu	patru
✔	1/4	unu

	1+1/4	5

Rezultat: 5.

Al doilea pas: În primul pas, am primit doar 5 în loc de 15. Care este relația dintre aceste două numere?

✔	unu	5
✔	2	zece

	3	cincisprezece

Dacă înmulțim 5 cu 3, obținem 15. Înmulțim numărul „4” luat în mod arbitrar și numărul „3” pe care l-am primit, deci obținem aHa dorită , adică 4 x 3 = aHa .

Al treilea pas: calculează 4 x 3:

	unu	3
	2	6
✔	patru	12

	patru	12

Raspuns: 12.

Al patrulea pas: Verificați rezultatele calculelor noastre, de ex. $12+{\frac {1}{4}}\cdot 12=15.$

✔	unu	12
✔	1/4	3

	1+1/4	cincisprezece

Numărul dorit aHa este 12.

Problema # R44

Problema nr. R44 indică faptul că egiptenii cunoșteau formula pentru găsirea volumului unui paralelipiped dreptunghic : unde L , S și , respectiv, H , sunt lungimea, lățimea și înălțimea. $V=L\cdot S\cdot H,$

„Un exemplu de calcul al volumului unui hambar pătrat de cereale. Lungimea sa este de 10, lățimea 10 și înălțimea 10. Câte boabe vor încadra? Înmulțiți 10 cu 10. Adică 100. Înmulțiți 100 cu 10. Adică 1000. Luați jumătate din 1000, adică 500. Adică 1500. Ai cantitatea în pungi. Înmulțiți 1/20 cu 1500. Obțineți 75. Transformați această cantitate de cereale în heqat (adică înmulțiți cu 100) și veți obține răspunsul - 7500 heqat de cereale.”

Un sac sau „har” era egal cu 75,56 litri și era format din 10 heqat.

Problema # R48

	unu	Capitolul 8
	2	Capitolul 16
	patru	32 de sesiuni
✔	opt	64 de sesiuni

și

✔	unu	Capitolul 9
	2	Capitolul 18
	patru	Capitolul 36
✔	opt	72 de sesiuni

		81

Un sechat sau arura (nume grecesc) este egal cu 100 de metri pătrați. coturi, adică este de 0,28 ha. În realitate, aceasta era o bucată de pământ nu de 10 x 10 coți, ci de 1 x 100 de coți. Un cot era egal cu 52,5 cm și, la rândul său, era format din 7 palme, iar fiecare palmă era formată din 4 degete.

Complexitatea acestei sarcini constă în faptul că nu sunt date texte explicative pentru ea în papirus. În fața noastră sunt doar două tabele cu numere și o cifră. Figura prezintă o figură care seamănă cu un octogon sau cu un cerc înscris într-un pătrat.

Conform unei teorii, figura prezintă un pătrat, ale cărui laturi sunt egale cu lungimea diametrului cercului înscris. Aria octogonului se calculează cu formula: , în acest caz, aria cercului ar trebui să fie 64 [7] . $9^{2}-2\cdot 3^{2}=63$

A doua teorie, propusă de Michel Guillemot, explică mai exact desenul. Teoria afirmă că figura prezintă un octogon neregulat, a cărui zonă ar trebui să fie egală cu un cerc înscris într-un pătrat. Aria unui astfel de octogon se găsește prin formula: . Dar Michel Guillemot a mers mai departe și a sugerat că egiptenii antici aveau o idee despre pătrarea unui cerc și puteau construi un pătrat egal pe baza ariei unui cerc dat. $9^{2}-(3^{2}+2\cdot 4)=64$

Ludwig Borchardt a găsit un desen foarte asemănător pe pereții templului din Luxor.

Problema # R50

"Există cercuri cu 9 pălării. Care este aria cercului? Trebuie să scazi unul din 9. Rămâne 8. Înmulțiți 8 cu 8. Acest lucru va fi egal cu 64. Iată răspunsul pentru tine - aria cercului este de 64 de secțiuni. Un proces de calcul detaliat:"

	1 x 9	= 9
✔	1/9 x 9	= 1

„După scădere, este 8”.

	1 x 8	= 8
	2 x 8	= 16
	4 x 8	= 32
✔	8 x 8	= 64

„Aria unui cerc este 64”.

1 pălărie era formată din 100 de coți și era egală cu 52,5 m. Un sechat era egal cu 0,28 ha.

Evident, în acest caz s-a folosit următoarea formulă: . Aici se pare că diametrul este de 9 pălării. Totuși, același lucru s-ar putea scrie în alt mod: . Formula modernă pentru calcularea ariei unui cerc este: sau . Oamenii de știință cred că egiptenii pentru vremea lor au obținut un mare succes în matematică - au determinat raportul dintre circumferința unui cerc și lungimea diametrului său (sau ) egal cu , adică 3,1605. Acest lucru este foarte aproape de adevăr (numărul ). Cu toate acestea, „Problema R50” indică faptul că egiptenii nu știau despre existența constantei . $Aire=\left(d-\left({\frac {1}{9}}\right)\cdot d\right)^{2}$ $Aire={\frac {64}{81}}\cdot d^{2}$ $\pi \cdot r^{2}$ ${\frac {\pi \cdot d^{2}}{4}}$ $\pi$ ${\frac {256}{81}}$ $\pi =3,1415926535897932384626433832795...$ $\pi$

Problema # R51

Un exemplu de calcul al ariei unui triunghi . Dacă cineva îți spune: „Triunghiul are un „mryt” de 10 pălării și baza lui este de 4 pălării. Care este aria sa?” Trebuie să calculați jumătate din 4. Apoi înmulțiți 10 cu 2. Iată răspunsul.

Cuvântul „mryt” înseamnă probabil înălțime.

A={\frac {bază}{2}}{mryt}

Formula egiptenilor este identică cu cea modernă:

S={\frac {ah}{2)}

Problema # R52

Problema R52 este despre calcularea ariei unui trapez .

„Care este aria unui triunghi trunchiat dacă înălțimea lui este de 20 de pălării, baza sa este de 6 pălării și baza superioară este de 4 pălării? Îndoiți baza inferioară a trapezului cu partea superioară. Obțineți 10. Împărțiți 10 în jumătate. Și apoi înmulțiți 5 cu 20. Amintiți-vă că 1 pălărie = 100 de coți. Calculați-vă răspunsul.”

	1 x 1000	= 1000
	1/2 x 1000	= 500


✔	1 x 1000	= 2000
	2 x 1000	= 4000
✔	4 x 1000	= 8000

		10000 (adică 100 sechat )

Această soluție poate fi scrisă în următoarea formulă: . $A={\frac {1}{2}}\cdot (4+6)\cdot 20$

Problema # R56

Problemele R56, R57, R58 și R59 discută în detaliu cum se calculează panta unei piramide.

Termenul egiptean antic „ seked ” însemna, din punct de vedere modern, cotangenta unui unghi ( ctg α ). În antichitate, era măsurată ca lungimea unui segment de-a lungul riglei de măsurare a goniometrului, care era numit și „seked”. Lungimea a fost măsurată în palme și degete (1 palmă = 4 degete). Din punct de vedere matematic, a fost găsit prin raportul dintre jumătate din bază și înălțime.

„Metoda de calcul a unei piramide a cărei bază este de 360 de coți și a cărei înălțime este de 250 de coți. Pentru a afla ea căutată, trebuie să luați jumătate din 360, adică 180. Apoi trebuie să împărțiți 180 la 250, obținem: 1/2, 1/5, 1/50 cot (adică 0,72 coți). Deoarece un cot este de 7 palme, trebuie să înmulțiți rezultatul cu 7 (=5,04 palme)."

	1 / 2 ×7;	7/2 = 3 1/2 _ _ _
	1 / 5 × 7;	7/5 = 1 1/4 și 1 1/5 _ _ _ _
	1 / 50 ×7;	7/50 = 1/10 și 1/25 _ _ _ _ _ _

Astăzi, la rezolvarea acestei probleme, am căuta cotangenta unghiului, cunoscând jumătatea bazei și apotema [8] . În general, formula egipteană pentru calcularea seked-ului unei piramide arată astfel: unde b este 1/2 din baza piramidei și h este înălțimea acesteia. Unghiul însuși în grade poate fi calculat folosind funcția trigonometrică inversă a arc-tangentei sau - conform tabelului Bradis . $Seqed={\frac {b}{h}}\cdot 7$

Raportul dintre seked și unghiurile de înclinare:

Seked, degete	Seked, palmele	Unghi, grade	Pași în grade pe deget
cincisprezece	3,75	61,82°
16	patru	60,26°	1,56°
17	4.25	58,74°	1,52°
optsprezece	4.5	57,26°	1,47°
19	4,75	55,84°	1,42°
douăzeci	5	54,46°	1,38°
21	5.25	53,13°	1,33°
22	5.5	51,84°	1,29°
23	5,75	50,60°	1,24°
24	6	49,40°	1,20°
25	6.25	48,24°	1,16°
26	6.5	47,12°	1,12°
27	6,75	46,04°	1,08°
28	7 (=1 cot)	45.00°	1,04°
29	7.25	43,99°	1,01°
treizeci	7.5	43,03°	0,97°
31	7,75	42,09°	0,94°
32	opt	41,19°	0,90°
33	8.25	40,31°	0,87°
34	8.5	39,47°	0,84°
35	8,75	38,66°	0,81°

Problema # R64

Problema numărul R64 ne spune că în Egiptul antic, progresia aritmetică era folosită în calcule .

„Un exemplu de împărțire în părți. Dacă cineva vă spune: avem 10 heqat de grâu pentru 10 persoane, dar există o diferență între ei în 1/8 heqat de grâu. În medie, acesta este 1 heqat. Scădeți 1 din 10. , obținem 9. Luăm jumătate din diferență, adică 1/16. Înmulțiți cu 9. Apoi adăugați 1/2 și 1/16 heqat la valoarea medie și scădeți 1/8 heqat de la fiecare persoană ulterioară. Iată calculele pentru despre ce vorbim: „.

	1 1/2 1/16
	1 1/4 1/8 1/16
	1 1/4 1/16
	1 1/8 1/16
	1 1/16
	1/2 1/4 1/8 1/16
	1/2 1/4 1/16
	1/2 1/8 1/16
	1/2 1/16
	1/4 1/8 1/16

	zece

Explicație : Sarcina este de a împărți 10 heqat de grâu între 10 persoane. Să desemnăm oameni: H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7, H8, H9 și H10. S este cantitatea totală, adică 10 hekați de grâu. N este numărul de părți. Fiecare are un număr diferit de hekat. În același timp, fiecare are cu 1/8 mai mult heqat decât precedentul. Fie H2 = H1 + 1/8, H3 = H2 + 1/8 etc., acesta din urmă are cel mai mult grâu. Etapa de progres este R = 1/8.

Găsim numărul mediu de hekat care este distribuit tuturor, adică S/N = 10/10 = 1.

Apoi calculăm diferența care rezultă din împărțirea ulterioară. Adică, N-1 = 10-1, este egal cu 9. Deci R/2 = 1/16 și R/2 * (N-1) = 1/16 * 9 = 1/2 + 1/16. Cel mai mare număr este calculat prin formula: R/2 * (N-1) + S/N = 1/2 + 1/16 + 1.

Distributie in 10 parti:

	H10 = 1 + 1/2 + 1/16.
	H9 = H10 - 1/8 = 1 + 1/4 + 1/8 + 1/16
	H8 = H9 - 1/8 = 1 + 1/4 + 1/16
	H7 = H8 - 1/8 = 1 + 1/8 + 1/16
	H6 = H7 - 1/8 = 1 + 1/16
	H5 = H6 - 1/8 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16
	H4 = H5 - 1/8 = 1/2 + 1/4 + 1/16
	H3 = H4 - 1/8 = 1/2 + 1/8 + 1/16
	H2 = H3 - 1/8 = 1/2 + 1/16
	H1 = H2 - 1/8 = 1/4 + 1/8 + 1/16

	Total = 10

Este foarte posibil ca soluția acestei probleme să aibă o aplicație practică.

Puteți scrie soluția sub formă de formule:

$\ H_{N}=(S/N)+(N-1)*R/2$

$\ H_{n-1}=H_{n}-r$

Problema # R79

Problema numărul R79 ne spune că în Egiptul antic progresia geometrică era folosită în calcule . Cu toate acestea, știm doar că egiptenii foloseau numerele „2” și „1/2” pentru progresie, adică puteau primi valori precum: 1/2, 1/4, 1/8 ... și 2, 4, 8, 16 … Întrebarea utilizării practice a progresiei geometrice în Egiptul antic rămâne, de asemenea, deschisă.

✔	unu	2801
✔	2	5602
✔	patru	11204

	7	19607

	case	7
	pisici	49
	Șoareci	343
	Malţ	2401 (scribul a scris greșit 2301)
	Hekat	16807

		19607

Vezi și

Note

↑ Papirusul matematic Rhind . britishmuseum.org . Preluat la 10 decembrie 2019. Arhivat din original la 12 noiembrie 2020.
↑ Londra, The British Museum Press, 1987
↑ BM 10058
↑ 1 2 I. Ya. Depman, Istoria aritmeticii. Un ghid pentru profesori.- M .: 1965 (ediția a doua, revăzută), p. 196
↑ S. Clark, R. Engelbach, Building and architecture in Ancient Egypt. ISBN 978-5-9524-4351-8
↑ Istoria matematicii din cele mai vechi timpuri până la începutul secolului al XIX-lea, ed. A. P. Yushkevich.- M.: 1970, p. 25
↑ K. Vogel, Vorgriechische Mathematik , p.66
↑ Apothem - înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite.

Literatură

Bobynin V.V. Matematica egiptenilor antici (bazat pe papirusul Rinda). - M. , 1882.
Van der Waerden B.L. Awakening Science: Matematica Egiptului Antic, Babilonului și Greciei. — M .: Fizmatgiz , 1959. (Retipărire: M .: URSS , 2007)
Vygodsky M. Ya. Aritmetică și algebră în lumea antică. — M .: Nauka , 1967.
Raik A.E. Eseuri despre istoria matematicii în antichitate. - Saransk: stat mordovian. Editura, 1977.
Papirus Rinda // Marea Enciclopedie Sovietică : [în 30 de volume] / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.
Gillings RJ Matematica pe vremea faraonilor. — Cambridge: MIT Press , 1972.
Peet T.E. Papirusul matematic Rind. - Liverpool University Press, L .: Hodder & Stoughton, 1923.
Robins G., Shute CCD Papirusul matematic Rhind: un text egiptean antic. — N. Y .: Dover, 1987.

Dicționare și enciclopedii	Mare catalană Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	GND : 4735890-7

Limba și scrierea Egiptului antic

Limba	egipteanul timpuriu vechi egiptean egipteanul mijlociu nou egiptean demotic ptolemeic copt
Scrisoare	tipuri de scriere: hieroglife hieratici demotic derivat din grafia egipteană: coptă Meroitic Nubian vechi

Literatura Egiptului Antic

Învățăturile	Instrucțiunea vizirului Învățătura lui Merikar Învățăturile lui Kagemni Învățăturile lui Ptahhotep Povestea țăranului elocvent învăţătura lui Heti Învățăturile lui Amenemope Învățăturile lui Amenemhat Învățătura lui Harjedef Învățătură loială Reflecțiile lui Hahaperraceneb
Legende, profeții, bocete	Conversația celor dezamăgiți cu Duhul Său Povestea lui Sinuhe spune Ipuver Captura lui Yupa Poezia Pentaura Călătoriile lui Unu-Amon Povestea lui Neferkare și a comandantului Sisin Ceartă între Apepi și Seqenenre Stele de furtună Stele foamei Stela Bentresh Profeția lui Neferti Cronica demotică oracolul mielului Oracolul lui Potter
Basme, cântece	Povestea naufragiaților prinț condamnat Cântecul Harperului O poveste cu doi frați Adevăr și Minciună Povestea curții regelui Keops Khonsemheb și fantoma Poveștile prințului Setna (Setna II)
Tratate	papirus ahmes papirusul rănit Cartea Kemit Pergament din piele egipteană matematică Papirusul matematic din Moscova Papirus matematic din Lahun Papirusul Berlin 6619 Ahmim Papirusul Reisner papirus kahuna Papirus Edwin Smith Papirus Ebers Papirusul Papirusul medical din Londra Carlsberg Beatty Brooklyn Papyrus Papyrus Brugsha Papyrus Erman X Ramesseum onomasticon
Texte religioase	papirus ani Amduat Imnul lui Aton Papirus Golenishcheva cartea morților Cartea Porților Cartea Vacii Cerești Textele sarcofagelor Carte de călătorie pentru eternitate Cărți de respirație cartea pământului cartea peșterilor Ectenia lui Ra Stele Texte piramidale
Documentele	Papirus regal din Torino Arhiva Amarna Papirus judiciar din Torino Papyrus Harris Papyrus Abbott Harta papirusului Torino Decretele Ptolemeice Tratatul de pace egiptean-hitit Stele lui Merneptah Marea inscripție Karnak Piatra din Saqqara de Sud
Diverse	lista cu papirusuri egiptene antice Inscripția Ismet-Ahom Papirusul de la Stockholm Papirus erotic din Torino

Clasificarea hieroglifelor egiptene (conform lui A. H. Gardiner)

A - un om și ocupațiile lui

B - femeia și ocupațiile ei

C - zeități antropomorfe

D - părți ale corpului uman

E - mamifere

F - părți ale corpului mamiferelor

G - păsări

H - părți ale corpului păsărilor

I - amfibieni și reptile

K - pește și părți ale corpului de pește

L - nevertebrate

M - copaci și plante

N - cer, pământ, apă

O - clădiri și părți ale acestora

P - nave și părți ale navelor

Q - ustensile de uz casnic și de camping

R - ustensile de templu și embleme sacre

S - coroane, haine, doage etc.

T - arme militare, de vânătoare etc.

U - unelte pentru agricultură și diverse meșteșuguri

V - coșuri, genți, produse din frânghie etc.

W - vase de piatră și faianță

X - pâine de diferite tipuri

Y - rechizite pentru scris și cânt, instrumente muzicale

Z - diferite linii și forme geometrice

Aa - neclasificabil

gramaticile

„clasic” – A. Erman
G. Lefebvre
A. H. Gardiner

„standard” - H. Ya. Polotsky

„modern” – J. Allen
J. Borhouts
V. Schenkel