Element neutru

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 2 iulie 2021; verificările necesită 3 modificări .

Elementul neutru al unei operații binare este un element care lasă orice alt element neschimbat atunci când acea operație binară este aplicată acelor două elemente.

Definiție

Fie un set cu o operaţie binară definită pe el . Un element se numește neutru în raport cu (înmulțirea) dacă $(M,\cdot )$ $M$ $\cdot$ $e\în M$ $\cdot$

x\cdot e=e\cdot x=x,\quad \forall x\in M

În cazul operațiilor necomutative , se introduce un element neutru stâng pentru care $e_{\mathrm {l} }$

e_{\mathrm {l} }\cdot x=x,\quad \forall x\in M

și elementul neutru potrivit , pentru care ${\displaystyle e_{\mathrm {r} ))$

x\cdot e_{\mathrm {r} }=x,\quad \forall x\in M

În general, poate exista un număr arbitrar de elemente care sunt neutre în stânga sau în dreapta. Dacă atât un element stânga-neutru, cât și un element dreapta-neutru există simultan , atunci acestea trebuie să coincidă (pentru că ). $e_{{{\mathrm l}}}$ $e_{{{\mathrm r}}}$ $e_{{{\mathrm r}}}=e_{{{\mathrm l}}}\cdot e_{{{\mathrm r}}}=e_{{{\mathrm l}}}$

Exemple

Multe	operație binară	element neutru
Numere reale	$+$ ( adăugare )	numarul 0
Numere reale	$\cdot$ ( inmultire )	Numărul 1
Numere reale	$-$ ( scădere )	numărul 0 (neutru dreapta)
Numere reale	$a^{b}$ ( exponentiație )	numărul 1 (neutru dreapta)
Linie numerică extinsă	$\div$ ( diviziune )	numărul 1 (neutru dreapta)
spațiu vectorial	$+$ ( adăugarea vectorului )	${\vec 0}$ ( vector nul )
Matrici de dimensiuni $m\ori n$	$+$ (adăugarea matricei)	matrice nulă
Matrici de dimensiuni $n\ ori n$	$\times$ (produs matrice)	matrice de identitate
Vizualizați funcțiile $f:M\la M$	$\circ$ ( compoziția funcției )	cartografierea identităţii
Șiruri de caractere	concatenare	linie goală
Linie numerică extinsă	$\min$ ( minim ) sau ( infim ) $\inf$	$+\infty$
Linie numerică extinsă	$\max$ ( max ) sau ( suprem ) $\sus$	$-\infty$
Subseturile unui set $M$	$\capac$ ( stabiliți intersecția )	$M$
Seturi	$\ceașcă$ ( setează unirea )	$\varnothing$ ( set gol )
calculul propozițional	$\pană$ ( conjuncție )	$\top$ (Adevărat)
calculul propozițional	$\lor$ ( disjuncție )	$\bot$ (Fals)

Terminologie

În algebră

În notația multiplicativă dată în definiție , se obișnuiește să se numească un element neutru un singur element sau pur și simplu o unitate prin analogie cu numărul cu același nume . Consultați articolul „ unitate (algebră) ” pentru elementele neutre bilaterale de înmulțire în inele , câmpuri și algebre peste ele.

Dacă vorbim despre elementul neutru al operației, notat (și numit) adunare , atunci elementul neutru se numește zero , din nou prin analogie cu numărul cu același nume . Adunarea este numită nu numai o operație în teoria inelelor și algebra liniară, ci, de obicei, o operație de grup în grupuri abeliene în notație aditivă.

În teoria rețelei

În teoria rețelei , elementul neutru al operației „∨” este notat cu „0”, iar elementul neutru al operației „∧” este notat cu „1”.

Vezi și

Element absorbant
Element invers
Monoid
grup

Link -uri

Kulikov L.Ya. Algebră și teoria numerelor: Proc. manual pentru institutele pedagogice. - M .: Mai sus. şcoală, 1979. - 559 p. pagina 77 „Elemente neutre”
http://www.algebraical.info/doku.php?id=glossary:element:groupoid:identity (rusă)
http://mathforum.org/library/drmath/view/56032.html (rusă)
https://brilliant.org/wiki/identity-element/ _
Weisstein, Eric W. „Element de identitate”. De la MathWorld--O resursă web Wolfram