Rădăcina pătrată a lui 2

Numere iraționale ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α,δ - e - e π și π
Notaţie	Numărul estimat √ 2
Zecimal	1,4142135623730950488…
Binar	1,0110101000001001111…
hexazecimal	1.6A09E667F3BCC908B2F…
Sexagesimal	unu; 24 51 10 07 46 06 04 44 50 …
Aproximari rationale	3/2 ; _ _ 7 / 5 ; 17/12 ; _ _ 41/29 ; _ _ 99/70 ; _ _ 239/169 ; _ _ 577/408 ; _ _ 1393/985 ; _ _ 3363 / 2378 ; 8119/5741 ; _ _ 19601 / 13860 (afisate in ordinea cresterii preciziei)
Fracție continuă	$1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots )))))))))$

1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 3276415727 3501384623 0912297024 9248360558 5073721264 4121497099 9358314132 2266592750 5592755799 9505011527 8206057147 0109559971 6059702745 3459686201 4728517418 6408891986 0955232923 0484308714 3214508397 6260362799 5251407989 6872533965 4633180882 9640620615 2583523950 5474575028 7759961729 8355752203 3753185701 1354374603 4084988471 6038689997 0699004815 0305440277 9031645424 7823068492 9369186215 8057846311 1596668713 0130156185 6898723723 5288509264 8612494977 1542183342 0428568606 0146824720 7714358548 7415565706 9677653720 2264854470 1585880162 0758474922 6572260020 8558446652 1458398893 9443709265 9180031138 8246468157 0826301005 9485870400 3186480342 1948972782 9064104507 2636881313 7398552561 1732204024 5091227700 2269411275 7362728049 5738108967 5040183698 6836845072 5799364729 0607629969 4138047565 4823728997 1803268024 7442062926 9124859052 1810044598 4215059112 02494413 41 7285314781 0580360337 1077309182 8693147101 7111168391 6581726889 4197587165 82158212822 947284

Valoare cu prima mie de zecimale [1] .

{\sqrt {2}}

Rădăcina pătrată a lui 2 este un număr real pozitivcare, înmulțit cu el însuși, dă 2 . Desemnare: ${\sqrt {2}).$

Geometric, rădăcina lui 2 poate fi reprezentată ca lungimea diagonalei unui pătrat cu latura 1 (aceasta rezultă din teorema lui Pitagora ). Probabil a fost primul număr irațional cunoscut din istoria matematicii (adică un număr care nu poate fi reprezentat exact ca o fracție ).

O aproximare bună și folosită în mod obișnuit este fracția . În ciuda faptului că numărătorul și numitorul fracției sunt doar numere întregi din două cifre, acesta diferă de valoarea reală cu mai puțin de 1/10000. ${\sqrt {2}}$ ${\tfrac {99}{70}}$

Istorie

Tableta de lut babilonian (c. 1800-1600 î.Hr.) oferă cea mai precisă aproximare atunci când este scrisă cu patru cifre sexagesimale, care după rotunjire este de 6 cifre zecimale exacte: ${\sqrt {2}}$

1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1,41421(296) \,.

O altă aproximare timpurie a acestui număr într-un text matematic antic indian numit Shulba Sutra (c. 800-200 î.Hr.) este dată după cum urmează:

1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}\aproximativ 1,414215686\,.

Pitagoreii au descoperit că diagonala unui pătrat este incomensurabilă cu latura lui sau, în limbajul modern, că rădăcina pătrată a lui doi este un număr irațional . Se știe puțin cu certitudine despre timpul și circumstanțele acestei descoperiri remarcabile, dar în mod tradițional, autorul ei este atribuit lui Hippasus din Metapontus , care, conform diferitelor versiuni ale legendei, a fost fie ucis, fie expulzat de pitagoreici pentru această descoperire, acuzându-l pe acesta. pentru distrugerea principalei doctrine pitagoreice conform căreia „totul este un număr [natural]”. Prin urmare, rădăcina pătrată a lui 2 este uneori numită constantă pitagoreică, deoarece pitagoreenii au fost cei care și-au dovedit iraționalitatea, descoperind astfel existența numerelor iraționale. .

Algoritmi de calcul

Există mulți algoritmi pentru aproximarea valorii rădăcinii pătrate a lui doi cu fracții comune sau zecimale . Cel mai popular algoritm pentru aceasta, care este folosit în multe calculatoare și calculatoare, este metoda babiloniană pentru calcularea rădăcinilor pătrate (un caz special al metodei lui Newton ). Se compune din următoarele:

a_{{n+1}}={\frac {a_{n}+{\frac {2}{a_{n)))){2}}={\frac {a_{n}}{2}} +{\frac {1}{a_{n}}}.

Cu cât mai multe repetări în algoritm (adică cu atât mai multe ), cu atât este mai bună aproximarea rădăcinii pătrate a lui doi. Fiecare repetare dublează aproximativ numărul de cifre corecte. Câteva primele aproximări, începând cu : $n$ $a_{0}=1$

${\frac {3}{2}}={\color {Verde}1}{,}5$
${\frac {17}{12}}={\color {Verde}1{,}41}6\ldots$
${\frac {577}{408}}={\color {Verde}1{,}41421}5\ldots$
${\frac {665857}{470832}}={\color {Verde}1{,}41421356237}46\ldots$

În 1997, Yasumasa Canada a calculat valoarea la 137.438.953.444 de zecimale. În februarie 2007, recordul a fost doborât când Shigeru Kondo a calculat 200 de miliarde de zecimale în 13 zile și 14 ore folosind un procesor de 3,6 GHz și 16 GB de RAM . ${\sqrt {2}}$

Regula mnemonică

Pentru a memora valoarea rădăcinii lui doi cu opt zecimale (1,41421356), puteți folosi următorul text (numărul de litere din fiecare cuvânt corespunde cifrei zecimale): „Și eu am un fruct, dar au multe rădăcini. .”

Proprietățile rădăcinii pătrate a două

Jumătate este aproximativ egală cu 0,70710 67811 86548; această valoare dă în geometrie și trigonometrie coordonatele unui vector unitar care formează un unghi de 45 ° cu axele de coordonate: ${\sqrt {2}}$

{\frac {\sqrt {2}}{2}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}=\cos 45^{\circ }=\sin 45^{\circ }.

Una dintre proprietățile interesante este următoarea: ${\sqrt {2}}$

\ {1 \over {{\sqrt {2}}-1}}={\sqrt {2}}+1

. deoarece

({\sqrt {2}}+1)({\sqrt {2}}-1)=2-1=1.

Acesta este rezultatul proprietății secțiunii de argint .

O altă proprietate interesantă : ${\sqrt {2}}$

{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots })))))=2.

Rădăcina pătrată a doi poate fi exprimată în unități imaginare i folosind doar rădăcini pătrate și operații aritmetice:

{\frac {{\sqrt {i}}+i{\sqrt {i}}}{i}}

și

{\frac {{\sqrt {-i}}-i{\sqrt {-i}}}{-i}}.

Rădăcina pătrată a lui 2 este singurul număr, altul decât 1, a cărui tetrație infinită este egală cu pătratul său.

{\sqrt {2}}^{({\sqrt {2}}^{({\sqrt {2}}^({\ \cdot ^({\cdot ^{\cdot )))))))) ) }=2

Rădăcina pătrată a doi poate fi folosită și pentru a aproxima : $\pi$

2^{m}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2))}))))))\la \pi \quad

m\la \infty .

Din punctul de vedere al algebrei superioare , este rădăcina polinomului și, prin urmare, este un întreg algebric [2] . Mulțimea numerelor de forma , unde sunt numere raționale , formează un câmp algebric . Se notează și este un subcâmp al câmpului numerelor reale . ${\sqrt {2}}$ $x^{2}-2$ $a+b{\sqrt {2}}$ $a,b$ ${\mathbb {Q}}[{\sqrt {2}}]$

Dovada de iraționalitate

Dovada prin factorizare

Să aplicăm demonstrația prin contradicție : să spunem că este rațională , adică este reprezentată ca o fracție , unde este un număr întreg și este un număr natural . ${\sqrt {2}}$ ${\frac {m}{n}}$ $m$ $n$

Să punem la pătrat presupusa egalitate:

{\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Rightarrow 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Rightarrow m^{2}=2n^ {2}

Deoarece factorizarea prime conține o putere pară și o putere impară, egalitatea este imposibilă. Prin urmare, presupunerea inițială a fost greșită și este un număr irațional. $m^{2}$ $2$ $2n^{2}$ $m^{2}=2n^{2}$ ${\sqrt {2}}$

Fracție continuă

Rădăcina pătrată a doi poate fi reprezentată ca o fracție continuă :

\ {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+ \ddots }}}}}}}}.

Convergentele unei fracții continue date dau valori aproximative care converg rapid către rădăcina pătrată exactă a lui doi. Modul de a le calcula este simplu: dacă notăm fracția potrivită anterioară , atunci următoarea are forma . Rata de convergență aici este mai mică decât cea a metodei babiloniene, dar calculele sunt mult mai simple. Să scriem câteva prime aproximări: ${\frac {m}{n}}$ ${\frac {m+2n}{m+n}}$

{\frac {3}{2));\ {\frac {7}{5));\ {\frac {17}{12));\ {\frac {41}{29));\ {\ frac {99}{70));\ {\frac {239}{169));\ {\frac {577}{408));\ {\frac {1393}{985));\ {\frac { 3363}{2378}}\dots

Pătratul ultimei fracții reduse este (rotunjit) 2,000000177.

Dimensiunea hârtiei

Rădăcina pătrată a lui doi este utilizată în raportul de aspect al hârtiei ISO 216 seria A și B și ISO 217 seria C. Raportul de aspect este . Când tăiați o foaie în jumătate paralelă cu latura sa scurtă, se vor obține două foi de aceeași proporție. Acest lucru vă permite să numerotați dimensiunile hârtiei cu un număr în ordinea descrescătoare a zonei foii (numărul de tăieturi): A0, A1, A2, A3, A4 , ... și B0, B1, B2, B3... $1:{\sqrt {2}}$

Într-un mod similar (prin împărțirea foii în jumătate), aproximarea rațională față de rădăcina a doi (7/5) este utilizată în formatele de hârtie foto: 2R (2,5 × 3,5 inchi), 3R (3,5 × 5 inchi), 5R (5 × 7 ").

Vezi și

Note

↑ Rădăcina pătrată a doi, la 5 milioane de cifre
↑ A nu se confunda cu numărul întreg .

Literatură

Claudy Alsina. Secta numerelor. Teorema lui Pitagora. - M. : De Agostini, 2014. - 152 p. — (Lumea matematicii: în 45 de volume, volumul 5). - ISBN 978-5-9774-0633-8 .

Link -uri

Constanta lui Pythagoras Arhivată 20 decembrie 2018 la Wayback Machine .

Numere irationale
Constanta Apéry ( ζ(3) ) Constanta Erdős-Borwein ( E ) Constantele Feigenbaum vis sofomorian Constanta numărului prim (ρ) Număr de plastic (ρ) Logaritm de doi (ln 2) Rădăcina a 12-a a lui 2 ( 12 √ 2 ) Rădăcină pătrată a lui 2 ( √ 2 ) Rădăcină pătrată a lui 3 ( √ 3 ) Rădăcină pătrată a lui 5 ( √5 ) Raportul de aur (φ) Super raport de aur (ψ) Secțiune de argint ( δS ) e π Constanta Gelfond ( e π ) Constanta Gelfond-Schneider ( 2 √ 2 ) constanta Fibonacci inversă (ψ)
transcendental Trigonometric