Matematică constructivă
Matematica constructivă este o știință abstractă a proceselor de gândire constructivă, a capacității umane de a le îndeplini și a rezultatelor lor - obiecte matematice constructive. Este rezultatul dezvoltării unei direcții constructive în matematică - o viziune matematică asupra lumii, care, spre deosebire de direcția teoretică a mulțimilor, consideră că studiul proceselor constructive și al obiectelor constructive este sarcina principală a matematicii. [unu]
David Hilbert poate fi considerat fondatorul direcției constructive după încercarea sa eșuată de a fundamenta matematica teoretică a mulțimilor pe baza matematicii constructive. Unul dintre fondatorii matematicii constructive propriu-zise este omul de știință sovietic Andrey Markov .
Abstracțiuni ale matematicii constructive
Abstractismul matematicii constructive se manifestă în aplicarea sistematică a două distrageri majore: abstracția identificării și abstracția fezabilității potențiale sau a infinitului potențial.
Abstracția identificării este folosită atunci când se vorbește despre două obiecte identice într-un sens sau altul ca fiind unul și același obiect.
Abstracția fezabilității potențiale (infinitul potențial) este utilizată atunci când designul este abstras de constrângerile practice în spațiu, timp și material. Admisibilitatea acestei abstractizări deosebește constructivismul de ultrafinitism .
Matematica constructivă respinge abstracția infinitului actual folosită în matematica teoretică a mulțimilor , care este asociată cu considerarea proceselor fără sfârșit ca fiind continuate la infinit și, așadar, parcă, finalizate. [unu]
Obiecte principale de considerare
Conceptele de proces constructiv și de obiect constructiv nu au o definiție comună. Diverse teorii ale matematicii constructive se pot ocupa de obiecte constructive de diferite feluri concrete (matrici întregi, polinoame cu coeficienți raționali etc.). Cu toate acestea, pot fi specificate mai multe tipuri de constructe care sunt capabile să modeleze orice alte constructe cunoscute (și astfel capabile să fie considerate constructe generice într-un anumit sens). Astfel, în special, sunt cuvinte în diferite alfabete.
Caracteristici ale logicii matematicii constructive
O trăsătură caracteristică a obiectelor constructive este faptul că nu există veșnic. Ele se nasc ca urmare a desfășurării unor procese constructive, iar apoi dispar (din diverse motive). O expresie algebrică scrisă cu cretă pe o tablă nu a fost întotdeauna pe această tablă - și va exista pe ea exact până în momentul în care va fi ștearsă. De asemenea, tabelul stocat pe hard diskul unui computer personal nu a existat în mod evident înainte de momentul în care acest disc a fost realizat - și va fi, de asemenea, distrus mai devreme sau mai târziu (fie ca urmare a reformatării, fie ca urmare a unei defecțiuni a discului).
În legătură cu cele spuse, în matematica constructivă, „existența” unui obiect constructiv este înțeleasă ca fezabilitate potențială a acestuia – adică prezența la dispoziția noastră a unei metode care ne permite să reproducem acest obiect de câte ori este necesar. . O astfel de înțelegere diferă brusc de înțelegerea existenței unui obiect, acceptată în matematica teoretică a mulțimilor. În teoria mulțimilor, faptul nașterii și dispariției constante a obiectelor constructive nu își găsește nicio expresie: din punctul său de vedere, obiectele reale în mișcare sunt doar „umbre” ale „obiectelor ideale” statice care există veșnic într-o lume fantastică (și doar aceste „obiecte ideale” ar trebui luate în considerare în matematică).
Înțelegerea existenței unui obiect ca o potențială fezabilitate duce la faptul că legile logice care operează în matematica constructivă se dovedesc a fi diferite de cele clasice. În special, legea mijlocului exclus își pierde aplicabilitatea universală . Într-adevăr, formula, atunci când este înțeleasă constructiv, exprimă propoziția
„dintre formule și potențial fezabile adevărate” ,
totuși, derivarea clasică a unei disjuncții nu oferă nicio modalitate de a construi termenul corect al acesteia. În mod similar, respingerea logică a ipotezei că orice obiect constructiv de tipul în cauză are o anumită proprietate - considerată în matematica teoretică a mulțimilor drept un motiv suficient pentru recunoașterea unui obiect cu proprietatea ca „existent” - nu poate servi în sine ca un motiv pentru recunoașterea unui obiect cu proprietatea ca potențial realizabil. Trebuie remarcat, totuși, că o anumită valoare euristică este încă recunoscută în spatele unor astfel de respingeri logice (deoarece, deși nu oferă nicio modalitate de a construi obiectul dorit, ele indică totuși semnificația încercărilor de a realiza o astfel de construcție). Obiectele neconstructive pentru care a fost posibil să se dovedească „existența” lor în cadrul logicii clasice sunt denumite în mod obișnuit cvasi-fezabile .
Distincția dintre conceptele unui construct potențial realizabil și al unui construct cvasi-realizabil devine deosebit de importantă atunci când se consideră afirmații generale de existență. Într-adevăr, judecată
„pentru orice obiect constructiv de tipul luat în considerare, putem implementa potențial un obiect constructiv care este în relație cu obiectul ”
înseamnă că avem la dispoziţie o singură metodă generală ( algoritm ) de procesare a unui obiect într-un obiect corespunzător acestuia . Prin urmare, o astfel de judecată poate fi în mod deliberat greșită, chiar dacă hotărârea este corectă.
„pentru orice obiect constructiv de tipul luat în considerare, un obiect constructiv care se află în raport cu obiectul este cvasi-realizabil ” .Câteva teorii specifice ale matematicii constructive
Teoriile matematice concrete dezvoltate în cadrul conceptelor de matematică constructivă au o serie de diferențe semnificative față de teoriile corespunzătoare teoriei mulțimilor.
De exemplu, conceptul principal de analiză matematică - conceptul de număr real - este introdus în versiunea tradițională a teoriei pe baza unei idei generale a unei mulțimi . Pentru matematica constructivă, care impune ca considerația să fie limitată la obiectele constructive, acest mod de a defini conceptul de număr real este inacceptabil. În ea, numerele reale sunt de obicei înțelese ca înregistrări ale algoritmilor care procesează orice număr natural într-un număr rațional și îndeplinesc condiția
Astfel de înregistrări sunt obiecte constructive și pot fi luate în considerare în matematica constructivă. Ca de obicei, două numere reale și sunt considerate egale dacă condiția
Trebuie remarcat faptul că problema recunoașterii egalității a două numere reale arbitrare este de nerezolvată din punct de vedere algoritmic și, prin urmare, cu o înțelegere constructivă a judecăților matematice, enunțul
„Orice două numere reale sunt fie egale, fie nu egale”se dovedește a fi fals. În consecință, ideea teoretică a mulțimilor a atomicității continuumului (proprietatea sa din punctele clar separate unele de altele - un set de fapt infinit de obiecte de fapt infinite) nu este transferată la matematica constructivă.
Multe afirmații ale analizei teoretice a mulțimilor în analiza constructivă sunt infirmate prin exemple. Astfel, în special, sunt teorema privind convergența unei secvențe mărginite monotone și lema Heine-Borel privind alegerea acoperirii. O serie de alte afirmații de analiză teoretică a mulțimilor pot fi transferate la matematica constructivă numai dacă „existența” obiectului dorit este înțeleasă ca cvasi-fezabilitate (mai degrabă decât fezabilitate potențială). Astfel sunt teorema privind reprezentarea numerelor reale prin fracții sistematice și teorema asupra zeroului unei funcții continue cu variabilă de semn.
Pe de altă parte, analiza constructivă dovedește o serie de afirmații care nu au analogi teoreticii mulțimilor. Unul dintre cele mai izbitoare exemple de aici este teorema lui G.S. Tseitin privind continuitatea oricărei mapări de la un spațiu metric separabil la un spațiu metric. Din această teoremă rezultă, în special, că orice mapare a spațiilor metrice este Heine continuă. Trebuie remarcat faptul că există exemple de mapări din spații neseparabile care nu sunt continue Cauchy . Astfel, în matematica constructivă, afirmația despre echivalența continuității mapării după Cauchy și după Heine, care este dovedită în analiza clasică bazată pe utilizarea mijloacelor teoretice puternice (în special, axioma alegerii ) , poate fi infirmat prin exemple.
Vezi și
Note
- ↑ 1 2 Dicţionar enciclopedic matematic . - M .: „Bufnițe. enciclopedie " , 1988. - S. 847 .
Literatură
- Markov A. A. Lucrări alese. —M.: Editura MTSNMO, 2003. — T. II. Teoria algoritmilor si matematica constructiva, logica matematica, informatica si probleme conexe. — 626 p. —ISBN 5-94057-113-1.
- Markov A. A. , Nagorny N. M. Teoria algoritmilor. - Ed. a II-a - M . : FAZIS, 1996.
- Nagorny N. M. Abstraction of actual infinity, Abstraction of identification, Abstraction of potential feasibility // Enciclopedia matematica : [in 5 volume] / Ch. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Enciclopedia Sovietică, 1977. - T. 1: A - G. - S. 43, 44. - 1152 stb. : bolnav. — 150.000 de exemplare.
- Kushner B. A. Prelegeri despre analiza matematică constructivă. —M.: Nauka, 1973. — 447 p.
- Kushner B. A. Matematică constructivă, Enciclopedie matematică. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1979. - T. 2. - 1042 p.
- Kondakov N. I. Dicționar logic-carte de referință. — M .: Nauka, 1975. — 259 p.
- Ruzavin G. I. Despre natura cunoștințelor matematice. - M . : Gândirea, 1968. - 302 p.
- Akimov O. E. Matematică discretă: logică, grupuri, grafice. - Ed. a II-a. - M . : „Laboratorul de cunoștințe de bază”, 2003. - 376 p.
- HH Nepeyvoda . Direcție constructivă // Noua enciclopedie filosofică : în 4 volume / prev. științific-ed. sfatul lui V. S. Stepin . — Ed. a II-a, corectată. si suplimentare - M . : Gândirea , 2010. - 2816 p.
 Dicționare și enciclopedii | |
|---|---|
| În cataloagele bibliografice |
| Logici | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Filosofie • Semantică • Sintaxă • Istorie | |||||||||
| Grupuri logice |
| ||||||||
| Componente |
| ||||||||
| Lista simbolurilor booleene | |||||||||