Triunghi perfect

Un triunghi ideal este un triunghi în geometria Lobachevsky , ale cărui vârfuri sunt ideale , sau la infinit, puncte. Triunghiurile ideale sunt uneori numite triunghiuri asimptotice de trei ori . Vârfurile lor sunt uneori numite vârfuri ideale . Toate triunghiurile perfecte sunt egale.

Proprietăți

Triunghiurile ideale au următoarele proprietăți:

Toate triunghiurile perfecte sunt egale.
Toate unghiurile interioare ale unui triunghi perfect sunt zero.
Un triunghi perfect are un perimetru infinit.
Un triunghi ideal este cel mai mare triunghi posibil din geometria Lobachevsky.

În planul standard Lobachevsky (o suprafață în care curbura Gauss este constantă și egală cu −1), un triunghi ideal are, de asemenea, următoarele proprietăți:

Aria unui astfel de triunghi este π. [unu]

Raza cercului înscris este . [2] $r=\ln {\sqrt {3}}={\frac {1}{2}}\ln 3\aproximativ 0,549$

Distanța de la orice punct al triunghiului până la cea mai apropiată latură a acestuia este mai mică sau egală cu raza de mai sus, iar această egalitate este îndeplinită exact numai în centrul cercului înscris.

Cercul înscris atinge triunghiul în trei puncte, formând un triunghi echilateral cu latura [2] , unde există o secțiune de aur . $d=\ln \left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{{\sqrt {5}}-1}}\right)=2\ln \varphi \aprox 0,962$ $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Un cerc cu raza d în jurul unui punct din interiorul triunghiului va atinge sau intersecta cel puțin două laturi ale triunghiului.

Distanța de la orice punct al laturii unui astfel de triunghi la cealaltă parte este mai mică sau egală cu , și exact egalitatea este valabilă numai pentru punctele de contact descrise mai sus. $a=\ln \left(1+{\sqrt {2}}\right)\aproximativ 0,881$

a este, de asemenea, înălțimea triunghiului Schweikart.

Dacă curbura spațiului este -K , alta decât −1, ariile de mai sus trebuie înmulțite cu , iar lungimile și distanțele cu . $1/K$ $1/{\sqrt {K}}$

Deoarece un triunghi ideal este cel mai mare posibil în geometria Lobachevsky, valorile de mai sus sunt cele mai mari posibile pentru triunghiuri în geometria Lobachevsky. Acest fapt este important pentru studierea spațiului Lobachevsky.

Modele

În modelul Poincaré în cercul planului Lobachevsky, un triunghi ideal este format din trei cercuri care intersectează cercul limită în unghi drept.

În modelul Poincaré, într-un semiplan, un triunghi ideal arată ca un arbelos - o figură între trei semicercuri care se ating.

În modelul proiectiv, un triunghi ideal este un triunghi euclidian înscris în cercul limită. Mai mult, pe modelul proiectiv, unghiurile de la vârfurile unui triunghi ideal nu sunt egale cu zero, deoarece acest model, spre deosebire de modelele Poincaré, nu păstrează unghiurile.

Grupul real al unui triunghi ideal

Model Poincare placat cu triunghiuri perfecte

Grup triunghiular ideal (∞ ∞ ∞).	Un alt placă ideală

Grupul real al unui triunghi ideal este grupul de transformări generate de reflexiile planului Lobaciovski față de laturile unui triunghi ideal. Ca grup abstract, este izomorf cu un produs liber de trei grupuri de două elemente. Ca urmare a reflexiilor, se obține o placare a planului Lobachevsky cu triunghiuri ideale.

Link -uri

↑ Thurston, Dylan. 274 Curves on Surfaces, Lectura 5 (toamna 2012). Preluat: 23 iulie 2013. (nedefinit)
↑ 1 2 Care este raza cercului înscris al unui triunghi ideal . Preluat: 9 decembrie 2015. (nedefinit)

Bibliografie

Schwartz, Richard Evan. Grupuri triunghiulare ideale, tori afundați și analiză numerică // Annals of Mathematics : journal . - 2001. - Vol. 153 , nr. 3 . - P. 533-598 . - doi : 10.2307/2661362 . - arXiv : math.DG/0105264 . — .