Model proiectiv

Modelul proiectiv ( modelul Klein , modelul Beltrami-Klein ) este un model de geometrie Lobachevsky propus de matematicianul italian Eugenio Beltrami . Matematicianul german Felix Klein l-a dezvoltat independent.

Cu ajutorul său, consistența geometriei lui Lobachevsky este dovedită sub ipoteza consistenței geometriei euclidiene .

Istorie

Acest model a fost propus de Beltrami , împreună cu modelul Poincaré și modelul pseudosferei [1]

Chiar și mai devreme, în 1859, Cayley a construit acest model . Dar el a considerat-o doar ca o anumită construcție în geometria proiectivă și, aparent, nu a observat nicio legătură cu geometria non-euclidiană . În 1869, un tânăr (de 20 de ani) Klein a fost prezentat în munca sa . El își amintește că în 1870 a dat un raport despre munca lui Cayley la un seminar Weierstrass și, după cum scrie el, „l-a încheiat întrebând dacă există o legătură între ideile lui Cayley și Lobachevsky. Am primit un răspuns că acestea sunt două sisteme care sunt departe unul de altul ca concept.” După cum spune Klein, „Mi-am permis să fiu convins de aceste obiecții și să las deoparte gândul care se maturizase deja”. Cu toate acestea, în 1871 a revenit la această idee, a oficializat-o matematic și a publicat-o [2] .

Model

Planul Lobaciovski este reprezentat în acest model de un disc deschis delimitat de un cerc , numit absolut . Punctele absolutului, numite și „puncte ideale”, nu mai aparțin planului Lobaciovski. Linia dreaptă a planului Lobachevsky este o coardă a absolutului care leagă două puncte ideale.

Mișcările geometriei Lobachevsky în modelul proiectiv sunt declarate transformări proiective ale planului, transpunând interiorul absolutului în sine. Congruente sunt cifrele din absolut, traduse unele în altele prin astfel de mișcări. Dacă punctele și se află pe coardă astfel încât ordinea lor pe linie , atunci distanța în planul Lobachevsky este definită ca $A$ $B$ $PQ$ $PABQ$ $\ell (A,B)$

\ell (A,B)={\frac {R}{2}}\,{{\rm {ln}}}(PQ;BA)

unde denotă raportul dublu , este raza de curbură a planului Lobachevsky. $(PQ;BA)$ $R$

Note

Orice fapt al geometriei euclidiene descris într-un astfel de limbaj reprezintă un fapt al geometriei lui Lobaciovski. Cu alte cuvinte, orice afirmație a geometriei non-euclidiene a lui Lobaciovski în plan nu este altceva decât o afirmație a geometriei euclidiene în plan, referitor la figurile din interiorul cercului, repovestite în termenii indicați.

Axioma euclidiană despre paralele nu este în mod clar satisfăcută în acest model, deoarece printr-un punct care nu se află pe o coardă dată trec orice număr de acorduri care nu o intersectează. $O$ $A$

Proprietăți

Coardele care se întâlnesc pe cercul limită corespund dreptelor paralele asimptotic .

Două coarde sunt perpendiculare dacă, extinse dincolo de disc, fiecare trece prin polul celuilalt ( polul coardei este punctul de intersecție al tangentelor la absolut la punctele de capăt ale coardei). Coardele care trec prin centrul discului au un pol la infinit ortogonal pe direcția coardei (de aici rezultă că unghiurile drepte pe diametre nu sunt distorsionate).

Cercurile din model devin elipse ;
Horociclurile corespund unei elipse care are contact cu absolutul de ordinul 4.
Linia echidistantă corespunde arcurilor de elipse care ating absolutul în două puncte absolute ale acestei linii.

Literatură

Klein F. Despre așa-numita geometrie non-euclidiană. În colecția: Foundations of Geometry, M., GITTL, 1956.
Shafarevich I. R., Remizov A. O. Algebră liniară și geometrie, cap. XII - Fizmatlit, Moscova, 2009.

Note

↑ Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II, 2 (1868), 232-255.
↑ Şafarevici I. R., Remizov A. O. Algebră liniară şi geometrie, cap. XII, alin. 2, - Fizmatlit, Moscova, 2009.