Indicator (matematică)

Un indicator , sau o funcție caracteristică , sau o funcție indicator , sau o funcție de apartenență a unui subset este o funcție definită pe un set care indică dacă un element aparține unui subset . $A\subseteq X$ $X$ $x\în X$ $A$

Deoarece termenul „ funcție caracteristică ” este deja folosit în teoria probabilității , termenul „ funcție indicator ” este cel mai des folosit în contextul teoriei probabilităților, pentru alte domenii termenul „ funcție caracteristică ” este mai des folosit.

Pentru reprezentarea analitică a funcției indicator, funcția Heaviside este adesea folosită .

Definiție

Fie o submulțime aleasă a unei mulțimi arbitrare . Funcția este definită după cum urmează: $A\subseteq X$ $X$ ${\mathbf {1}}_{A}:X\la \{0,1\}$

{\mathbf {1}}_{A}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\in A,\\0,&x\notin A,\end{matrix}}\right.

se numește indicator de setare . $A$

Notațiile alternative ale indicatorului de set sunt: sau , și uneori chiar și paranteza Iverson . $A$ $\chi _{A}$ ${\mathbf {I}}_{A}$ $Topor)$ $[x\în A]$

( Litera greacă provine de la litera inițială a ortografiei grecești a cuvântului caracteristic .) $\chi$

Avertisment . Notația poate însemna o funcție de identitate . $\mathbf {1} _{A}$

Proprietăți de bază

O mapare care asociază un subset cu indicatorul său în mod injectiv . Dacă și sunt două submulțimi de , atunci $A\subseteq X$ $\mathbf {1} _{A}$ $A$ $B$ $X\$

{\mathbf {1}}_{{A\cap B}}=\min\{{\mathbf {1}}_{A},{\mathbf {1}}_{B}\}={\mathbf {1}}_{A}{\mathbf {1}}_{B},

{\mathbf {1}}_{{A\cup B}}=\max\{({\mathbf {1}}_{A},{\mathbf {1}}_{B}}\}={ \mathbf {1}}_{A}+{\mathbf {1}}_{B}-{\mathbf {1}}_{A}{\mathbf {1}}_{B},

{\mathbf {1}}_{{A\triangle B}}={\mathbf {1}}_{A}+{\mathbf {1}}_{B}-2({\mathbf {1}} _{{A\cap B}}),

{\mathbf {1}}_{{A^{c}}}=1-{\mathbf {1}}_{A}.

Mai general, să presupunem că este un set de submulțimi de . Este clar că pentru orice $A_{1},\ldots ,A_{n}$ $X$ $x\în X$

\prod _{{k\in I}}(1-{\mathbf {1}}_{{A_{k}}}(x))

este produsul dintre zerouri și unu. Acest produs ia valoarea 1 exact pentru cei care nu apartin niciunui set si 0 in rest. De aceea $x\în X$ $A_k$

\prod _{{k\in I}}(1-{\mathbf {1}}_{{A_{k}}})={\mathbf {1}}_{{X-\bigcup _{{k }}A_{k}}}=1-{\mathbf {1}}_{{\bigcup _{{k}}A_{k}}}.

Extindem partea stângă, obținem

{\mathbf {1}}_{{\bigcup _{{k}}A_{k}}}=1-\sum _{{F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}}( -1)^{{|F|}}{\mathbf {1}}_{{\bigcap _{F}A_{k}}}=\sum _{{\emptyset \neq F\subseteq \{1, 2,\ldots ,n\}}}(-1)^{{|F|+1}}{\mathbf {1}}_{{\bigcap _{F}A_{k}}},

unde este puterea . Aceasta este o formă a principiului includerii-excluderii . Acest exemplu indică faptul că indicatorul este o notație utilă în combinatorică , care este folosită și în alte domenii, de exemplu, în teoria probabilității : dacă este un spațiu de probabilitate cu o măsură de probabilitate și este o mulțime măsurabilă , atunci indicatorul devine aleatoriu . variabilă a cărei așteptare matematică este egală cu probabilitatea $|F|$ $F$ $X$ ${\mathbf {P}}$ $A$ $\mathbf {1} _{A}$ $A:$

E({\mathbf {1}}_{A})=\int \limits _{{X}}{\mathbf {1}}_{A}(x)\,d{\mathbf {P}}= \int \limits _{{A}}d{\mathbf {P}}={\mathbf {P}}(A).\quad

Această identitate este folosită în dovezi simple ale inegalității lui Markov .

Bibliografie

Folland, G.B.; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications , Ed. a doua, John Wiley & Sons , Inc., 1999.
Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest și Clifford Stein. Introducere în algoritmi , ediția a doua. MIT Press și McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7 . Secțiunea 5.2: Variabile aleatoare ale indicatorului, pp. 94–99.

Indicator (matematică)

Definiție

Proprietăți de bază

Bibliografie

Vezi și