Limită inductivă

Limita inductivă (sau limita directă , colimita ) este o construcție care a apărut inițial în teoria și topologia mulțimilor și apoi a găsit o aplicație largă în multe ramuri ale matematicii. Conceptul dual este limita proiectivă (sau inversă).

Această construcție permite construirea unui nou obiect bazat pe o secvență (indexată de un set direcționat ) de obiecte de același tip și un set de mapări , . Pentru limita inductivă se folosește de obicei notația $X$ $X_{i}$ $f_{ij}:X_{i}\la X_{j}$ $i\leqslant j$

X=\varinjlim X_{i}

Vom da o definiție pentru structurile algebrice și apoi pentru obiectele dintr-o categorie arbitrară .

Definiție

Obiecte algebrice

Această secțiune va oferi o definiție potrivită pentru seturile cu structură adăugată, cum ar fi grupuri , inele , module peste un inel fix etc.

Fie o mulțime direcționată cu o relație de preordine și fie fiecare element asociat cu un obiect algebric și fiecare pereche , , în care , să fie asociată cu un homomorfism și să fie mapări identice pentru oricare și pentru oricare dintre . Un astfel de sistem de obiecte și homomorfisme se mai numește și sistem direcționat . $eu$ $\leqslant$ $i\în eu$ $X_{i}$ $(i,\;j)$ $i,\;j\în I$ $i\leqslant j$ $f_{ij}:X_{i}\la X_{j}$ $f_{{ii}}$ $i\în eu$ $f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}$ $i\leqslant j\leqslant k$ $eu$

Atunci mulțimea purtătoare a limitei directe a sistemului direcționat este mulțimea de factori a uniunii disjunctive a mulțimilor purtătoare în raport cu relația de echivalență: $(X_{i},f_{{ij}})$ $X_{i}$

\varinjlim X_{i}=\bigsqcup _{i}X_{i}{\bigg /}\sim .

Aici și sunt echivalente dacă există astfel încât . Intuitiv, două elemente ale unei uniuni disjunctive sunt echivalente dacă și numai dacă „devin echivalente mai devreme sau mai târziu” într-un sistem dirijat. O formulare mai simplă este închiderea tranzitivă a relației de echivalență „fiecare element este echivalent cu imaginile sale”, adică . $x_{i}\în X_{i}$ $x_{j}\in X_{j}$ $k\în I$ $f_{ik}(x_{i})=f_{jk}(x_{j})$ $x_{i}\sim \,f_{ik}(x_{i})$

Din această definiție este ușor de obținut morfisme canonice trimițând fiecare element la clasa sa de echivalență. Structura algebrică adăugată pe poate fi obținută din cunoașterea acestor homomorfisme. $\phi _{i}:X_{i}\rightarrow X$ $X$

Definiție pentru o categorie arbitrară

Într-o categorie arbitrară, limita directă poate fi definită folosind proprietatea sa universală . Și anume, limita directă a unui sistem direcționat este un obiect al unei categorii astfel încât să fie îndeplinite următoarele condiții: $(X_{i},f_{{ij}})$ $X$

există o familie de mapări astfel încât pentru orice ; $\phi _{i}:X_{i}\to X$ $\phi _{i}=\phi _{j}\circ f_{ij)$ $i\leqslant j$
pentru orice familie de mapări , la o mulțime arbitrară , pentru care egalitățile sunt valabile pentru orice , există o mapare unică care , pentru toți . $\psi _{i}:X_{i}\la Y$ $Y$ $\psi _{i}=\psi _{j}\circ f_{ij}$ $i\leqslant j$ $u:X\la Y$ $\psi _{i}=u\circ \phi _{i)$ $i\în eu$

Mai general, limita directă a unui sistem direcționat este aceeași cu colimita sa în sens categoric.

Exemple

Pe o familie arbitrară de submulțimi ale unei mulțimi date, se poate defini o structură de preordine prin includere. Dacă această precomandă este într-adevăr direcționată , atunci limita directă a unei familii este uniunea obișnuită de seturi.
Fie p un număr prim . Se consideră un sistem dirijat de grupuri Z / p n Z și homomorfisme Z / p n Z → Z / p n +1 Z induse prin înmulțire cu p . Limita directă a acestui sistem conține toate rădăcinile unității a căror ordine este o putere a lui p . Grupul lor de înmulțire se numește grupul Prufer Z ( p ∞ ).
Fie F un snop pe un spațiu topologic X cu valori în C . Fixați un punct x în X . Vecinătățile deschise ale lui x formează un sistem direcționat prin includere ( U ≤ V dacă U conține V ). Functorul snopului îi atribuie un sistem dirijat ( F ( U ), r U , V ), unde r sunt hărți de restricție. Limita directă a acestui sistem se numește fibra F peste x și se notează cu F x .
Limitele directe din categoria spațiilor topologice se obțin prin atribuirea topologiei finale setului suport corespunzător.

Literatură

S. McLane. Categorii pentru un matematician activ, - M . : FIZMATLIT, 2004. - 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I , Springer, ISBN 978-3-540-64243-5 , OCLC 40551484
Bourbaki, Nicolas (1989), Topologie generală: capitolele 1-4 , Springer, ISBN 978-3-540-64241-1 , OCLC 40551485