Funcția de eroare

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 14 mai 2020; verificările necesită 5 modificări .

Funcția de eroare (numită și funcție de eroare Gaussiană) este o funcție neelementară care apare în teoria probabilității , statistică și teoria ecuațiilor cu diferențe parțiale . Este definit ca

\operatorname {erf}\,x={\frac {2}({\sqrt {\pi }}}}\int \limits _{0}^{x}e^{{-t^{2}}} \,{\mathrm d}t

O funcție de eroare suplimentară , desemnată (uneori se folosește notația ), este definită în termenii funcției de eroare: $\operatorname {erfc}\,x$ $\operatorname {Erf}\,x$

\operatorname {erfc}\,x=1-\operatorname {erf}\,x={\frac {2}({\sqrt {\pi ))))\int \limits _{x}^{{\infty }}e^{{-t^{2}}}\,{\mathrm d}t

Funcția de eroare complexă , notată , este definită și în termenii funcției de eroare: $w(x)$

w(x)=e^{{-x^{2}}}\operatorname {erfc}\,(-ix)

Proprietăți

Funcția de eroare este impară :

\operatorname {erf}\,(-x)=-\operatorname {erf}\,x.

Pentru orice complex $X$

\operatorname {erf}\,{\bar {x}}=\overline {\operatorname {erf}\,x}

unde bara denotă conjugarea complexă a numărului .

X

Funcția de eroare nu poate fi reprezentată în termeni de funcții elementare , dar extinzând expresia integrabilă într- o serie Taylor și integrând termen cu termen, putem obține reprezentarea acesteia ca o serie:

\operatorname {erf}\,x={\frac {2}{{\sqrt {\pi }}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^ {n}x^{{2n+1}}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}({\sqrt {\pi }}}}\left(x-{\frac { x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{10}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{9} }{216}}-\ \cdots \right)

Această egalitate este valabilă (și seria converge) atât pentru orice real , cât și pe întregul plan complex , conform testului d'Alembert . Secvența numitorilor formează șirul A007680 în OEIS .

X

Pentru calculul iterativ al elementelor unei serii, este util să o prezentați într-o formă alternativă:

\operatorname {erf}\,x={\frac {2}{{\sqrt {\pi }}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }\left(x\prod _{{ i=1}}^{n}{{\frac {-(2i-1)x^{2}}{i(2i+1)}}}\right)={\frac {2}{{\sqrt {\pi }}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {x}{2n+1}}\prod _{{i=1}}^{n}{\ frac {-x^{2}}{i}}

deoarece este un factor care transformă al-lea membru al seriei în al -lea, având în vedere primul membru .

{\frac {-(2i-1)x^{2}}{i(2i+1)))

i

(i+1)

X

Funcția de eroare la infinit este egală cu unu; totuși, acest lucru este adevărat numai atunci când se apropie de infinit de-a lungul axei reale, deoarece:

Când luăm în considerare funcția de eroare în plan complex, punctul va fi esențial singular pentru aceasta. $z=\infty$

Derivata funcției de eroare este derivată direct din definiția funcției:

{\frac {d}{dx}}\,\operatorname {erf}\,x={\frac {2}({\sqrt {\pi }}}}\,e^{{-x^{2} }}.

Antiderivată a funcției de eroare, obținută prin metoda integrării pe părți :

F(x)=x\operatorname {erf} (x)+{\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.

Funcția de eroare inversă este o serie

\operatorname {erf} ^{-1}\,x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\ frac {\sqrt {\pi }}{2}}x\right)^{2k+1},

unde c 0 = 1 și

c_{k}=\sum _{{m=0}}^{{k-1}}{\frac {c_{m}c_{{k-1-m}}}{(m+1)(2m +1)}}=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},\ldots \right\}.

Prin urmare, seria poate fi reprezentată în următoarea formă (rețineți că fracțiile sunt abreviate):

\operatorname {erf} ^{-1}\,x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(x+{\frac {\pi x^{3} {12}}+{\frac {7\pi ^{2}x^{5}}{480}}+{\frac {127\pi ^{3}x^{7}}{40320}}+ {\frac {4369\pi ^{4}x^{9}}{5806080}}+{\frac {34807\pi ^{5}x^{11}}{182476800}}+\dots \right).

[unu] Secvențele numărătorului și numitorului după reducere sunt A092676 și A132467 în OEIS; succesiunea numărătorilor înainte de abreviere este A002067 în OEIS.

Aplicație

Dacă un set de variabile aleatoare urmează o distribuție normală cu o abatere standard , atunci probabilitatea ca valoarea să se abate de la medie cu cel mult , este egală cu . $\sigma$ $A$ $\operatorname {erf}\,{\frac {a}{\sigma {\sqrt {2))))$

Funcția de eroare și funcția de eroare suplimentară apar în rezolvarea unor ecuații diferențiale, de exemplu, ecuația de căldură cu condiții inițiale descrise de funcția Heaviside („pas”).

În sistemele de comunicații optice digitale, probabilitatea de eroare pe biți este exprimată și printr-o formulă care utilizează funcția de eroare.

Expansiunea asimptotică

Pentru valori mari , expansiunea asimptotică pentru funcția de eroare suplimentară este utilă : $X$

\operatorname {erfc} \,x={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\sum _{n= 1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n))}\right ]={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n} {\frac {(2n)!}{n!(2x)^{2n}}}.

Deși această serie diverge pentru orice număr finit, în practică, primii termeni sunt suficienți pentru a calcula cu o bună acuratețe, în timp ce seria Taylor converge foarte lent. $X$ $\operatorname {erfc}\,x$

O altă aproximare este dată de formula

(\operatorname {erf}\,x)^{2}\approx 1-\exp \left(-x^{2}{\frac {4/\pi +ax^{2}}{1+ax^{ 2}}}\dreapta)

Unde

a={\frac {8}{3\pi }}{\frac {\pi -3}{4-\pi }}.

Funcții înrudite

Până la scară și deplasare, funcția de eroare coincide cu distribuția cumulativă normală , notată $\Phi (x)$

\Phi (x)={\frac {1}{2}}{\biggl (}1+\operatorname {erf} \,{\frac {x}{\sqrt {2}}}{\biggl )}.

Funcția inversă a lui k , cunoscută sub numele de funcție cuantilă normală , este uneori notă și exprimată în termenii funcției de eroare normală ca $\Phi$ $\operatorname {probit}$

\operatorname {probit}\,p=\Phi ^{{-1}}(p)={\sqrt {2}}\,\operatorname {erf}^{{-1}}(2p-1).

Distribuția cumulativă normală este folosită mai frecvent în teoria probabilităților și statistica matematică, în timp ce funcția de eroare este utilizată mai frecvent în alte domenii ale matematicii.

Funcția de eroare este un caz special al funcției Mittag-Leffler și poate fi reprezentată și ca o funcție hipergeometrică degenerată (funcția Kummer ):

\operatorname {erf}\,x={\frac {2x}{{\sqrt {\pi }}}}\,_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}}, {\frac {3}{2}},-x^{2}\dreapta).

Funcția de eroare este exprimată și în termenii integralei Fresnel . În ceea ce privește funcția gamma incompletă regularizată P și funcția gamma incompletă ,

\operatorname {erf}\,x=\operatorname {semn}\,x\,P\left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)={\operatorname {semn}\ ,x \over {\sqrt {\pi ))}\gamma \left({\frac {1}{2)),x^{2}\right).

Funcții de eroare generalizate

Unii autori discută caracteristici mai generale

E_{n}(x)={\frac {n!}{{\sqrt {\pi }}}}\int \limits _{0}^{x}e^{{-t^{n}}} \,{\mathrm d}t={\frac {n!}{{\sqrt {\pi }}}}\sum _{{p=0}}^{\infty }(-1)^{p} {\frac {x^{{np+1}}}{(np+1)p!}}\,.

Cazurile speciale notabile sunt:

$E_{0}(x)$ este o linie dreaptă care trece prin originea coordonatelor: $E_{0}(x)={\frac {x}{e{\sqrt {\pi ))))$
$E_{2}(x)$ este funcția de eroare . $\operatorname {erf}\,x$

După împărțirea la toate cu aspect impar similar (dar nu identic), același lucru se poate spune despre cu par . Toate funcțiile de eroare generalizate cu aspect similar cu semiaxele . $n!$ $E_{n}$ $n$ $E_{n}$ $n$ $n>0$ $x>0$

Pe semiaxă , toate funcțiile generalizate pot fi exprimate în termenii funcției gamma : $x>0$

E_{n}(x)={\frac {\Gamma (n)\left(\Gamma \left({\frac {1}{n))\right)-\Gamma \left({\frac {1} {n)),x^{n}\right)\right)}{{\sqrt \pi }}},\quad \quad x>0

Prin urmare, putem exprima funcția de eroare în termenii funcției gamma:

\operatorname {erf}\,x=1-{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2)),x^{2}\right)}({\sqrt \pi ))}

Integrale iterate ale funcției de eroare complementară

Integrale iterate ale funcției de eroare complementară sunt definite ca [1] $\operatorname {I^{n}erfc}$

\operatorname {I^{0}erfc} \,z=\operatorname {erfc} \,z

\operatorname {I^{n}erfc} \,z=\int \limits _{z}^{\infty }\operatorname {I^{n-1}erfc} \,\zeta \,d\ zeta,

pentru .

n>0

Ele pot fi aranjate pe rând:

\operatorname {I^{n}erfc} \,z=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{nj}j !\,\Gamma \left(1+{\frac {nj}{2}}\right)}}\,,

de unde urmează proprietățile de simetrie

\operatorname {I^{2m}erfc} \,(-z)=-\operatorname {I^{2m}erfc} \,z+\sum _{q=0}^{m}{\frac { z^{2q}}{2^{2(mq)-1}(2q)!(mq)!}}

și

\operatorname {I^{2m+1}erfc} \,(-z)=\operatorname {I^{2m+1}erfc} \,z+\sum _{q=0}^{m}{ \frac {z^{2q+1}}{2^{2(mq)-1}(2q+1)!(mq)!}}\,.

Implementări

Standardul de limbaj C (ISO/IEC 9899:1999 clauza 7.12.8) oferă o funcție de eroare și o funcție de eroare suplimentară . Funcțiile sunt declarate în fișierele antet (pentru C ) sau (pentru C++ ). Perechile de funcţii , şi , sunt de asemenea declarate acolo . Prima pereche primește și returnează valori de tip , iar a doua pereche returnează valori de tip . Funcțiile corespunzătoare sunt, de asemenea, conținute în biblioteca de proiecte Boost . $\operatorname {erf}$ $\operatorname {erfc}$ math.h cmatherff()erfcf()erfl()erfcl()floatlong doubleMath

În limbajul Java , biblioteca standard de funcții matematice java.lang.Mathnu conține [2] o funcție de eroare. Clasa poate fi găsită într-un Erfpachet de org.apache.commons.math.specialbibliotecă non-standard furnizat de [3] Apache Software Foundation .

Sistemele de algebră computerizată Maple [2] , Matlab [3] , Mathematica și Maxima [4] conțin funcții de eroare obișnuite și suplimentare, precum și funcții inverse acestora.

În Python , funcția de eroare este disponibilă [4] din biblioteca standard mathîncepând cu versiunea 2.7. De asemenea, funcția de eroare, funcția de eroare suplimentară și multe alte funcții speciale sunt definite în modulul de Specialproiect SciPy [5] .

În Erlang , funcția de eroare și funcția de eroare suplimentară sunt disponibile din modulul standard math[5] .

În Excel, funcția de eroare este reprezentată ca FOS și FOS.EXC [6]

Vezi și

Note

↑ Carslaw, H. S. & Jaeger, J. C. (1959), Conducerea căldurii în solide (ed. a doua), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9 , p. 484
↑ Matematică (Java Platform SE 6) . Data accesului: 28 martie 2008. Arhivat din original la 29 august 2009. (nedefinit)
↑ Copie arhivată (link nu este disponibil) . Preluat la 28 martie 2008. Arhivat din original la 9 aprilie 2008. (nedefinit)
↑ 9.2. matematică - Funcții matematice - Documentația Python 2.7.10rc0
↑ Limba Erlang . Descriere Arhivată pe 20 iunie 2012 la Wayback Machine of Standard Module functions math.
↑ Funcția FOS . support.microsoft.com . Preluat la 15 noiembrie 2021. Arhivat din original la 15 noiembrie 2021. (nedefinit)

Literatură

Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. & Flannery, Brian P. (2007), Secțiunea 6.2. Funcție Gamma incompletă și funcție de eroare , Rețete numerice: Arta calculului științific (ed. a treia), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
Milton Abramowitz și Irene A. Stegun, eds. Manual de funcții matematice cu formule, grafice și tabele matematice . - New York: Dover, 1972. - T. 7.
Nikolai G. Lehtinen. Funcții de eroare (aprilie 2010). Data accesului: 25 mai 2019. (nedefinit)

Link -uri

Dicționare și enciclopedii	Marele Soviet (1 ed.)
În cataloagele bibliografice	GND : 4156112-0 NDL : 00562553