Sistem de algebră computerizată

Computer algebra system ( SKA , ing.  computer algebra system, CAS ) este un program de aplicație pentru calcule simbolice , adică efectuarea de transformări și lucrul cu expresii matematice în formă analitică (simbolica).

Calcule simbolice

Sistemele de algebră computerizată variază în funcție de capabilități, dar de obicei suportă următoarele acțiuni simbolice:

• simplificarea expresiilor la o dimensiune mai mică sau reducerea la o formă standard , inclusiv simplificarea automată folosind ipoteze și restricții
• înlocuirea valorilor simbolice și numerice în expresii
• schimbarea formei expresiilor: dezvăluirea produselor și a puterilor, factorizarea parțială și completă ( factorizare )
• extinderea în fracții simple, satisfacerea constrângerilor , notarea funcțiilor trigonometrice în termeni de exponenți, transformarea expresiilor logice
• diferențierea în derivate parțiale și totale
• găsirea integralelor nedefinite și definite ( integrare simbolică )
• rezolvarea simbolică a problemelor de optimizare : găsirea extremelor globale, a extremelor condiționale etc.
• rezolvarea ecuațiilor liniare și neliniare
• soluție algebrică (nenumerică) a ecuațiilor diferențiale și cu diferențe finite
• găsirea limitelor funcţiilor şi secvenţelor
• transformări integrale
• Manipularea seriei : însumare, înmulțire, suprapunere
• operații cu matrice : inversare, factorizare, rezolvare de probleme spectrale
• calcule statistice
• demonstrarea automată a teoremei , verificarea formală
• sinteza programului

Caracteristici suplimentare

Multe dintre SKA includ, de asemenea:

• un limbaj de programare care permite utilizatorilor să-și compună proprii algoritmi
• operații numerice de precizie arbitrară
• aritmetică întregi pentru numere mari și suport pentru funcții de teoria numerelor
• editarea expresiilor matematice în formă bidimensională (cu indice, fracții comune etc.)
• funcțiile de trasare în două sau trei dimensiuni și animațiile acestora
• desenează grafice și diagrame
• API pentru utilizarea de programe externe ( baze de date ) sau în limbaje de programare pentru utilizarea unui sistem de algebră computerizată
• operații cu șir ( căutare subșir )
• module suplimentare de matematică aplicată pentru domenii precum fizica , bioinformatica , chimia computațională și pachetele pentru calculul fizicii inginerești

Unele includ, de asemenea:

• crearea și editarea graficelor ( crearea imaginilor pe computer , precum și procesarea semnalului și analiza imaginilor )
• sinteza sunetului

Unele SCA sunt direcționate către o anumită zonă de utilizare; de obicei, astfel de programe sunt dezvoltate de comunitatea academică și distribuite gratuit. Ele pot să nu fie la fel de eficiente în calcule numerice precum sistemele pentru metode numerice .

Istorie

SKA a apărut la începutul anilor 1960 și s-a dezvoltat în etape, în principal în două direcții: fizica teoretică și crearea inteligenței artificiale .

Primul exemplu de succes a fost munca de pionierat a lui Martinus Veltman (distins ulterior cu Premiul Nobel pentru Fizică ), care în 1963 a creat un program de calcul simbolic (pentru nevoile fizicii de înaltă energie), care a fost numit Schoonschip.

Folosind LISP , Karl Engelman a creat MATHLAB în 1964, ca parte a proiectului MITRE (pentru studiul inteligenței artificiale ). Mai târziu, MATHLAB a devenit disponibil la universități pentru utilizatorii mainframe PDP-6 și PDP-10 cu sisteme de operare precum TOPS-10 sau TENEX . Deocamdată, încă mai poate fi rulat pe emulările SIMH PDP-10. MATHLAB (" math ematical lab oratory") nu trebuie confundat cu MATLAB (" matrix lab oratory "), un sistem de calcul numeric creat 15 ani mai târziu la Universitatea din New Mexico.

Începând de la sfârșitul anilor 1960, prima generație de SKA a inclus sisteme [1] :

• MACSYMA (Joel Moses)
• MATLAB ( Institutul de Tehnologie din Massachusetts ),
• SCRATCHPAD (Richard Jencks, IBM )
• REDUCERE (Tony Hearn)
• SAC-I, mai târziu SACLIB (George Collins),
• MUMATH pentru microprocesoare (David Stoutmyer) și succesorul său
• DERIVA.

Aceste sisteme erau capabile să efectueze calcule simbolice: integrare, diferențiere, factorizare.

A doua generație, care a adoptat o interfață grafică de utilizator mai modernă , include Maple (Kate Geddes și Gaston Gonnet, Universitatea din Waterloo , 1985) și Mathematica ( Stephen Wolfram ), care sunt utilizate pe scară largă de matematicieni, oameni de știință și ingineri [1] . Alternativele gratuite sunt Sage , Maxima , Reduce .

În 1987 , Hewlett-Packard a introdus primul calculator analitic de buzunar ( HP-28 ) și a fost primul calculator care a implementat organizarea expresiei algebrice, diferențierea, integrarea analitică restricționată, extinderea seriei Taylor și rezolvarea ecuațiilor algebrice.

Texas Instruments a lansat calculatorul TI-92 în 1995 cu extensii revoluționare CAS bazate pe software-ul Derive. Acest calculator și succesorii săi, inclusiv seria TI-89 și TI-Nspire CAS lansate în 2007, au demonstrat fezabilitatea construirii unor sisteme de algebră computerizată relativ compacte și ieftine.

În a treia generație, au început să fie aplicate abordarea categorială și calculele operatorului [1] :

• AXIOM , adeptul lui SCRATCHFAD (NAG),
• MAGMA (John Cannon, Universitatea din Sydney ),
• MUPAD (Benno Fuchssteiner, Universitatea din Paderborn).

Pentru anul 2012, cercetările în domeniul sistemelor de algebră computerizată continuă în trei direcții: capacitatea de a rezolva probleme din ce în ce mai ample, ușurința în utilizare și viteza de lucru [1] .

Ramuri ale matematicii utilizate în sistemele de algebră computerizată

• Integrare simbolică  - Algoritmul Risch
• Însumarea hipergeometrică  - algoritmul lui Gosper
• Limită (matematică)  - algoritmul Gruntz
• Factorizarea polinoamelor. Pentru zonele delimitate, se utilizează algoritmul Berlekamp sau algoritmul Cantor-Zassenhaus .
• Cel mai mare divizor comun  - algoritmul lui Euclid
• metoda Gauss
• Baza Gröbner  - algoritmul Buchberger
• Padé aproximare
• Lema Schwarz-Zippel și verificarea egalității polinoamelor
• Teorema chineză a restului
• Ecuația diofantină
• Eliminarea cuantificatorilor peste numere reale - metoda lui Tarski
• Algoritmul Landau
• Derivate ale funcțiilor elementare și speciale (de exemplu, vezi funcția gamma incompletă )

Vezi și

• ANALIST

Note

1. ↑ 1 2 3 4 Modern Computer Algebra, 2013 , 1.4. Sisteme de algebră computerizată.

Literatură

• Richard J. Fateman. Eseuri de  simplificare algebrică . - 1972. - 191 p. - (Raport tehnic MIT-LCS-TR-095). Arhivat pe 17 septembrie 2006 la Wayback Machine
• Taranchuk VB Funcții de bază ale sistemelor de algebră computerizată . - Minsk: BGU, 2013. - 59 p. (Rusă)
• Buchberger B. şi alţii. Algebră computerizată: calcule simbolice și algebrice. — M .: Mir, 1986. — 392 p.
• Joachim von zur Gathen; Jurgen Gerhard. Algebră computerizată modernă, ediția a treia . - Cambridge University Press, 2013. - 808 p. — ISBN 978-1-107-03903-2 .

Link -uri

• Definirea și funcționarea unui sistem algebric computerizat
• Curriculum și evaluare într-o epocă a sistemelor de algebră computerizată  - De la Centrul de informare privind resursele educaționale pentru știință, matematică și educație de mediu, Columbus, Ohio.
• STACK  este un sistem de instruire și testare bazat pe algebră computerizată
• O colecție de sisteme de algebră computerizată