Incident (geometrie)

O relație de incidență este o relație binară între două tipuri diferite de obiecte. Aceasta include concepte care pot fi exprimate cu expresii precum „un punct se află pe o dreaptă” sau „o linie aparține unui plan”. Cea mai semnificativă relație de incidență este între punctul P și dreapta l , care se scrie ca P I l . Dacă P I l , perechea ( P , l ) se numește steag . În limbajul colocvial, există multe expresii care descriu relația de incidență (de exemplu, o dreaptă trece printr-un punct, un punct se află pe un plan etc.), dar termenul „incident” este de preferat, deoarece nu implică suplimentar concepte concomitente și pot fi utilizate simetric , reflectând proprietatea de simetrie a unei relații. Afirmații precum „linia l 1 intersectează linia l 2 ” sunt, de asemenea, afirmații despre relația de incidență, dar în acest caz este mai ușor de spus: „există un punct P incident la ambele drepte l 1 și l 2 ”. Când un tip de obiect poate fi gândit ca un set de obiecte de alt tip ( și anume un plan este un set de puncte), relația de incidență poate fi gândită ca o incluziune.

Declarațiile de forma „oricare două drepte din plan se intersectează” se numesc instrucțiuni de incidență . Astfel de afirmații sunt adevărate în planurile proiective , dar nu și în euclidian , unde dreptele pot fi paralele . Din punct de vedere istoric, geometria proiectivă a fost propusă pentru ca afirmația de incidență să fie adevărată fără excepție. Din punctul de vedere al geometriei sintetice, geometria proiectivă ar trebui creată folosind afirmații precum axiomele . Această abordare este esențială pentru planurile proiective, având în vedere validitatea teoremei lui Desargues pentru dimensiuni mai mari.

Abordarea analitică, în schimb, definește un spațiu proiectiv bazat pe algebră liniară folosind un sistem de coordonate omogen . Relația de incidență este derivată din următorul rezultat de bază pentru spații vectoriale : date subspații U și W ale unui spațiu vectorial V (de dimensiune finită), dimensiunea intersecției lor este dim U + dim W − dim ( U + W ) . Dacă luăm în considerare că dimensiunea geometrică a spațiului proiectiv P ( V ) asociat cu V este egală cu dim V − 1 , și că dimensiunea geometrică a oricărui subspațiu este pozitivă, afirmația de incidență de bază în aceste condiții devine: subspații liniare L și M al spațiului proiectiv P se intersectează cu condiția ca dim L + dim M ≥ dim P [1]

Următoarele secțiuni tratează planurile proiective definite pe câmpuri . Astfel de planuri sunt adesea notate ca PG(2, F ) sau P 2 F , unde F este un câmp. Cu toate acestea, aceste considerații pot fi extinse în mod firesc la spații de dimensiuni mai mari, iar câmpul poate fi înlocuit cu un corp , ținând cont că în acest caz înmulțirea nu va fi comutativă .

PG(2, F )

Fie V un spațiu vectorial tridimensional definit peste un câmp F . Planul proiectiv P ( V ) = PG(2, F ) este format din subspații vectoriale unidimensionale ale lui V , care se numesc puncte , și subspații vectoriale bidimensionale ale lui V , care se numesc drepte . Definiția presupune că toate subspațiile luate în considerare conțin un punct distinct. Incidența unui punct și a unei linii este determinată de apartenența unui subspațiu unidimensional la unul bidimensional.

Dacă fixăm baza V , atunci putem descrie vectorii ca triple de coordonate (în raport cu bază). Un subspațiu vectorial unidimensional constă dintr-un vector diferit de zero și toți vectorii obținuți din acesta prin înmulțire cu un scalar (diferit de zero). Toți astfel de vectori, scriși ca triple de coordonate, corespund coordonatele unui punct dat într-un sistem de coordonate omogen. În raport cu o bază fixă, spațiul soluțiilor ecuației liniare {( x , y , z ) | ax + by + cz = 0 } este un subspațiu bidimensional al spațiului V și, prin urmare, este o linie în P ( V ) . Această linie poate fi notată prin coordonatele dreptei [ a , b , c ] , care sunt de asemenea coordonate omogene, deoarece înmulțirea cu un scalar diferit de zero dă aceeași linie. Alte denumiri sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă. Coordonatele punctului pot fi scrise ca vectori coloană ( x , y , z ) T , cu două puncte ( x : y : z ) sau cu index ( x , y , z ) P . În consecință, coordonatele unei linii pot fi scrise ca vectori rând ( a , b , c ) , cu două puncte [ a : b : c ] sau cu index ( a , b , c ) L . Sunt posibile și alte denumiri.

Expresie algebrică pentru incidență

Având în vedere un punct P = ( x , y , z ) și o dreaptă l = [ a , b , c ] , scrise în termeni de coordonatele punctului și ale dreptei, punctul este incident cu dreapta (deseori scris ca P I l ) dacă și numai dacă

ax + by + cz = 0 .

În altă notație, aceasta poate fi exprimată astfel:

ax+by+cz=[a,b,c]\cdot (x,y,z)=(a,b,c)_{L}\cdot (x,y,z)_{P} =

=[a:b:c]\cdot (x:y:z)=(a,b,c)\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix)} \dreapta)=0.

Indiferent de notație, atunci când coordonatele omogene ale unui punct și ale unei linii sunt considerate ca două triple ordonate, incidența unei drepte și a unui punct este exprimată ca egalitatea produsului lor scalar la zero.

Incident la o pereche dreaptă de puncte distincte

Să fie date o pereche de puncte diferite P 1 și P 2 cu coordonate omogene ( x 1 , y 1 , z 1 ) și respectiv ( x 2 , y 2 , z 2 ) . Aceste puncte definesc o singură linie dreaptă l cu o ecuație de forma , care trebuie să satisfacă ecuațiile: $ax+by+cz=0$

ax_{1}+by_{1}+cz_{1}=0

ax_{2}+by_{2}+cz_{2}=0

Sub formă de matrice, acest sistem poate fi rescris ca

\left({\begin{matrix}x&y&z\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\end{matrix}}\right) \left({\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}}\right ).

Acest sistem are o soluție netrivială dacă și numai dacă determinantul este zero

\left|{\begin{matrix}x&y&z\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\end{matrix}}\right| =0.

Extinderea acestei ecuații pentru determinant oferă ecuații liniare omogene, care trebuie să fie ecuația dreptei l . Astfel, până la un factor constant diferit de zero, avem , unde $l=[a,b,c]$

{\displaystyle a=y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1))

{\displaystyle b=x_{2}z_{1}-x_{1}z_{2))

c=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1)

În ceea ce privește produsul mixt al vectorilor, ecuația pentru o linie dreaptă poate fi rescrisă ca

P\cdot P_{1}\times P_{2}=0

unde este un punct. $P=(x,y,z)$

Coliniaritate

Punctele incidente unei linii se numesc coliniare . Mulțimea tuturor punctelor incidente unei linii se numește segment proiectiv .

Dacă P 1 = ( x 1 , y 1 , z 1 ), P 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) și P 3 = ( x 3 , y 3 , z 3 ) atunci aceste puncte sunt coliniare dacă și numai apoi când

\left|{\begin{matrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{ 3}\end{matrice}}\right|=0,

adică dacă şi numai dacă determinantul coordonatelor omogene este egal cu zero.

Intersecția perechilor de linii

Fie o pereche de linii distincte și să fie dat . Atunci intersecția dreptelor va fi punctul , care este o soluție simultană (până la un factor constant) a sistemului de ecuații liniare $l_{1}=[a_{1},b_{1},c_{1}]$ $l_{2}=[a_{2},b_{2},c_{2}]$ $l_{1}$ $l_{2}$ $P=(x_{0},y_{0},z_{0})$

a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=0

și

a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=0

Rezolvarea acestor ecuații dă

{\displaystyle x_{0}=b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1))

{\displaystyle y_{0}=a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2))

și

{\displaystyle z_{0}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1))

Alternativ, luați în considerare o altă dreaptă care trece prin punctul P , adică coordonatele omogene ale punctului P satisfac ecuația $l=[a,b,c]$

ax+by+cz=0

Combinând această ecuație cu ecuațiile care definesc punctul P , putem vedea o soluție netrivială a ecuației matriceale

\left({\begin{matrix}a&b&c\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{matrix}}\right) \left({\begin{matrice}x\\y\\z\end{matrice}}\right)=\left({\begin{matrice}0\\0\\0\end{matrice}}\right ).

O astfel de soluție este posibilă numai atunci când

\left|{\begin{matrix}a&b&c\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{matrix}}\right| =0.

Coeficienții a , b și c din ecuație dau coordonatele omogene ale punctului P.

Ecuația generală pentru o dreaptă care trece prin punctul P , în notație de produs mixt, arată ca

l\cdot l_{1}\times l_{2}=0

Traversare

Mulțimea tuturor liniilor din plan incidente în același punct se numește creion de linii centrate în acel punct. Calculul intersecției a două linii arată că întregul creion este determinat de două linii care se intersectează într-un punct dat. Aceasta implică imediat că condiția algebrică pentru intersecția a trei drepte într-un punct este egalitatea cu zero a determinantului $[a_{1},b_{1},c_{1}],[a_{2},b_{2},c_{2}],[a_{3},b_{3},c_{ 3}]$

\left|{\begin{matrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{ 3}\end{matrice}}\right|=0.

Vezi și

Note

↑ ( Broida, Williamson 1998 ) Teorema afirmă că dim ( L + M ) = dim L + dim M − dim ( L ∩ M ) . Atunci dim L + dim M > dim P implică faptul că dim ( L ∩ M ) > 0 .

Literatură

Dorwart Harold L. Geometria incidentei. — Prentice Hall , 1966.
Broida Joel G., Williamson S. Gill. O introducere cuprinzătoare în algebra liniară . - Addison-Wesley , 1998. - P. 86 Teorema 2.11. — ISBN 0-201-50065-5 .