Categoria virgulă

În teoria categoriilor , categoria unei virgule este un construct special care oferă o modalitate de a studia morfismele nu ca corelații ale obiectelor categoriei între ele, ci ca obiecte independente. Numele „categorie virgulă” provine de la denumirea originală (inventată de Lover ), care includea un semn de virgulă. Ulterior, denumirea standard s-a schimbat din motive de comoditate.

Definiție

Caz general

Să fie și să fie categorii și să fie și să fie functori ${\mathcal {A},{\mathcal {B}}$ ${\mathcal {C}}$ $S$ $T$

{\mathcal A}{\xrightarrow {\;\;S\;\;}}{\mathcal C}{\xleftarrow {\;\;T\;\;}}{\mathcal B}

O categorie de virgulă poate fi construită astfel: $(S\în jos T)$

Obiectele sunt toate triple ale formei , unde este un obiect , este un obiect și este un morfism la . $(\alpha,\beta,f)$ $\alfa$ $\mathcal{A}$ $\beta$ ${\mathcal {B}}$ $f:S(\alpha )\rightarrow T(\beta )$ ${\mathcal {C}}$
Morfismele de la până sunt toate perechile , unde , sunt morfisme de la și respectiv, astfel încât următoarea diagramă comută : $(\alpha,\beta,f)$ $(\alpha ',\beta ',f')$ $(g,h)$ $g:\alpha \rightarrow \alpha '$ $h:\beta \rightarrow \beta '$ ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal B}$

${\begin{matrix}S(\alpha )&{\xrightarrow {S(g)))&S(\alpha ')\\f{\Bigg \downarrow }&&{\Bigg \downarrow }f'\\T( \beta )&{\xrightarrow[ {T(h)}]{}}&T(\beta ')\end{matrice}}$

Compoziția morfismelor este luată ca și cum ultima expresie ar fi definită. Morfismul identitar al unui obiect este . $(g,h)\circ (g',h')$ $(g\circ g',h\circ h')$ $(\alpha,\beta,f)$ $({\mathrm {id}}_{{\alpha }},{\mathrm {id}}}_{{\beta }})$

Două cazuri speciale

Să luăm în considerare două cazuri speciale, care sunt mai simple și apar foarte des.

Primul caz este categoria obiectelor peste $A$ . Fie în definiția anterioară , functorul de identitate și (categorie cu un obiect și un morfism). Apoi pentru un obiect al categoriei . În acest caz, se folosește notația . Obiectele de vizualizare sunt pur și simplu perechi de , unde . Uneori, în această situație, ele sunt notate ca . Un morfism de la la este un morfism care închide următoarea diagramă la una comutativă: ${\mathcal A}={\mathcal {C}}$ $S$ ${\mathcal {B}}={\textbf {1}}$ $*$ $T(*)=A$ $A$ ${\mathcal {C}}$ $({\mathcal {C}}\downarrow A)$ $(\alpha ,*,f)$ $(\alpha ,f)$ $f:\alpha \rightarrow A$ $f$ $\pi _{\alpha }$ $(B,\pi _{B})$ $(B',\pi _{{B'}})$ $g:B\rightarrow B'$

Cazul dublu este categoria obiectelor sub $A$ . Aici este un functor de 1 și este functorul de identitate. În acest caz, se folosește notația , unde este obiectul care se mapează la . Obiectele sunt perechi , unde . Morfismul dintre și este o mapare care închide următoarea diagramă la una comutativă: $S$ $T$ $(A\downarrow {\mathcal {C}})$ $A$ ${\mathcal {C}}$ $S$ $(B,i_{B})$ $i_{B}:A\rightarrow B$ $(B,i_{B})$ $(B',i_{{B'}})$ $h:B\rightarrow B'$

Categoria de săgeți

Un alt caz special este când și sunt functori identici în (deci ). În acest caz, categoria de virgulă se numește categoria de săgeți . Obiectele sale sunt morfisme , iar morfismele sale sunt pătrate comutative în . [unu] $S$ $T$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}={\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}^{\rightarrow }$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}$

Proprietăți

Pentru orice categorie de săgeți, sunt definiți doi functori uitutori din aceasta:

Un functor preimagine care mapează: $S\săgeată în jos T\la {\mathcal A}$
- obiecte: ; $(\alpha ,\beta ,f)\mapsto \alpha$
- morfisme: ; $(g,h)\mapsto g$
Functorul de imagine, , care mapează: $S\săgeată în jos T\la {\mathcal B}$
- obiecte: ; $(\alpha ,\beta ,f)\mapsto \beta$
- morfisme: . $(g,h)\mapsto h$

Exemple

Categoria setului punctat este categoria virgulă , unde este un functor care alege un singleton și este functorul de identitate din categoria set . În mod similar, se poate forma categoria de spații topologice cu punct marcat . $\scriptstyle {(\bullet \downarrow {\mathbf {Set)})}$ $\scriptstyle {\bullet }$ $\scriptstyle {{\mathbf {Set}}}$ $\scriptstyle {(\bullet \downarrow {\mathbf {Sus}})}$
Categoria graficelor este categoria virgulei , unde este un functor care trimite la . Obiectele de vizualizare constau din două seturi și o funcție; este un set de indexare pentru muchii, este un set de vârfuri, apoi selectează o pereche de elemente pentru fiecare , adică selectează o anumită muchie din setul de muchii posibile . Morfismele din această categorie sunt funcții pe setul de indici și setul de vârfuri astfel încât imaginile vârfurilor corespunzătoare unei muchii date să corespundă imaginii acesteia. $\scriptstyle {({\mathbf {Set}}\downarrow D)}$ $\scriptstyle {D:{\mathbf {Set}}\rightarrow {\mathbf {Set}}}$ $s$ $s\ori s$ $(a,b,f)$ $A$ $b$ $f:a\rightarrow (b\times b)$ $b$ $A$ $f$ $de ori b$

Perechi

Functorii și sunt conjugați dacă și numai dacă categoriile virgulă și sunt izomorfe, iar elementele echivalente se proiectează pe același element . Acest lucru face posibilă descrierea functorilor adjuncți fără a folosi mulțimi, iar acesta a fost motivul principal pentru construcția categoriei virgulă. $F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}$ $G:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ $(F\downarrow id_{\mathcal {D))}$ $(id_{{\mathcal {C}}}\downarrow G)$ ${\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}$

Transformări naturale

Dacă imaginile coincid, atunci diagrama care definește morfismul la c coincide cu diagrama care definește transformarea naturală . Diferența dintre cele două definiții este că o transformare naturală este o anumită clasă de morfisme de forma , în timp ce obiectele din categoria virgulă sunt toate morfisme de acest fel. Un functor din categoria virgulă poate alege o anumită familie de morfisme. Într-adevăr, transformarea naturală , unde corespunde unui functor care mapează un obiect la și morfisme la . Aceasta definește o bijecție între transformările naturale și functorii care sunt inverse lasate ale ambilor functori uitatori din . $SF$ $S\în jos T$ $\alpha =\beta ,\alpha '=\beta ',g=h$ $S\la T$ $S(\alpha )\la T(\alpha )$ $\eta :S\la T$ $S,T:{\mathcal A}\la {\mathcal C}$ ${\mathcal A}\to (S\săgeată în jos T)$ $\alfa$ $(\alpha ,\alpha ,\eta_{\alpha })$ $g$ $(g,g)$ $S\la T$ ${\mathcal A}\to (S\săgeată în jos T)$ $S\în jos T$

Note

↑ Adámek, Jiří; Horst Herrlich și George E. Strecker. Categorii abstracte și concrete (neopr.) . - John Wiley & Sons , 1990. - ISBN 0-471-60922-6 .

Literatură

S. McLane Categorii pentru un matematician de lucru, - M . : FIZMATLIT, 2004. - 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .