Numărul Eisenstein

Numărul Eisenstein ( numărul Euler [1] ) este un număr complex de forma:

z=a+b\omega

unde a și b sunt numere întregi și

\omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{2\pi i/3}

este rădăcina cubică nereală a unității . Numerele întregi Eisenstein formează o rețea triunghiulară în planul complex . (Asemănător modului în care numerele întregi gaussiene formează o rețea pătrată.)

Investigat sistematic de matematicianul german Ferdinand Eisenstein .

Proprietăți

Mulțimea numerelor întregi Eisenstein este un inel comutativ . Acest inel este cuprins în câmpul numerelor algebrice Q (ω), un câmp circular de gradul trei.

Numărul ω satisface ecuația și este un întreg algebric . Prin urmare, toate numerele întregi Eisenstein sunt numere întregi algebrice . $\omega ^{2}+\omega +1=0.$

De asemenea, puteți scrie în mod explicit polinomul a cărui rădăcină este z = a + b ω.

z^{2}-(2a-b)z+(a^{2}-ab+b^{2}).

Produsul a două numere Eisenstein și dă $a+b\omega$ $c+d\omega$

(a+b\omega)\cdot (c+d\omega)=(ac-bd)+(bc+ad-bd)\omega.

Norma întregului Eisenstein este pătratul valorii absolute

|a+b\omega |^{2}=a^{2}-ab+b^{2}.

Astfel, norma unui întreg Eisenstein este întotdeauna un întreg natural. Pentru că

4a^{2}-4ab+4b^{2}=(2a-b)^{2}+3b^{2},

norma unui întreg Eisenstein diferit de zero este întotdeauna pozitivă.

Grupul de unități al inelului numerelor Eisenstein este un grup ciclic format din șase rădăcini de unitate pe planul complex. Și anume

{±1, ±ω, ±ω 2 }

Și acestea sunt numerele întregi Eisenstein ale normei unității.

Primele Eisenstein

Dacă x și y sunt numere întregi Eisenstein, spunem că x împarte y dacă există un număr întreg Eisenstein z astfel încât y = z x .

Aceasta extinde noțiunea de divizibilitate a numerelor întregi naturale . Putem extinde și noțiunea de număr prim ; Un întreg Eisenstein care nu este unul x se spune că este un prim Eisenstein dacă toți divizorii săi sunt de forma ux , unde u este oricare dintre cei șase.

Se poate demonstra că numerele prime naturale comparabile cu 1 modulo 3, precum și numărul 3, pot fi reprezentate ca x 2 − xy + y 2 ( x , y sunt numere întregi) și, prin urmare, pot fi descompuse ( x + ω y )( x + ω 2 y ) și, prin urmare, nu sunt prime Eisenstein. Primele naturale congruente cu 2 în baza 3 nu pot fi reprezentate în același mod, deci sunt și prime Eisenstein.

Fiecare număr întreg Eisenstein a + b ω a cărui normă a 2 − ab + b 2 este prim natural este prim Eisenstein.

Inel euclidian

Inelul numerelor Eisenstein formează un inel euclidian în care norma N este dată de forma

N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.

Acesta poate fi scos astfel:

{\begin{aligned}N(a+b\,\omega )&=|a+b\,\omega |^{2}\\&=(a+b\,\omega )(a+b \,{\bar {\omega }})\\&=a^{2}+ab(\omega +{\bar {\omega }})+b^{2}\\&=a^{2 } -ab+b^{2}\end{aliniat}}

Grupul de factori C după numere întregi Eisenstein

Grupul de factori al planului complex C în raport cu rețeaua care conține toate numerele întregi Eisenstein este un tor complex de dimensiune reală 2, care se distinge prin cel mai mare grup de simetrie dintre toți tori complecși de dimensiune reală 2.

Vezi și

Note

↑ Surányi, László. Algebră (nedefinită) . - TYPOTEX, 1997. - p. 73. și Szalay, Mihály. Számelmélet (neopr.) . - Tankönyvkiadó, 1991. - P. 75. Ambele numesc aceste numere „Euler-egészek”, adică numere Euler.

Link -uri

Eisenstein Integer - de la MathWorld

Numerele algebrice
Soiuri	numere întregi algebrice noduri Chebyshev numere constructive întregul lui Eisenstein numere întregi gaussiene Inel Kummer numerele Perron Numerele Piso-Vijayaraghavan Iraționalitate pătratică ℚ Rădăcini din unitate Numerele Salem
Specific	Conway constantă 3 √ 2 φ δS _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2