Discriminant al câmpului numeric algebric

Discriminantul unui câmp numeric algebric este un invariant numeric care, aproximativ vorbind, măsoară dimensiunea ( inelul de numere întregi ) a unui câmp numeric algebric. Mai precis, este proporțional cu pătratul volumului ariei fundamentale a inelului de numere întregi și determină ce ramură prime .

Discriminantul este cel mai important invariant al unui câmp numeric și apare în unele formule analitice importante precum ecuația funcțională a funcției zeta Dedekind a unui câmp K și formula pentru numărul de clase a unui câmp K . Vechea teoremă Hermite afirmă că există doar un număr finit de câmpuri numerice cu un discriminant mărginit, dar definiția acestui număr rămâne o problemă deschisă și face obiectul cercetării [1] .

Discriminantul câmpului K poate fi numit discriminant absolut al câmpului K pentru a-l deosebi de discriminantul relativ al extensiei K / L a câmpurilor numerice. Acesta din urmă este un ideal în inelul numerelor întregi ale câmpului L și, ca și discriminantul absolut, arată ce ramuri prime în K / L . Este o generalizare a discriminantului absolut, permițând câmpului L să fie mai mare decât . De fapt, când , discriminantul relativ este idealul principal al inelului generat de discriminantul absolut al câmpului K . $\mathbb {Q}$ $L=\mathbb {Q}$ $K/\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$

Definiție

Fie K un câmp numeric algebric și fie O K inelul său de numere întregi . Fie o bază integrală a inelului O K (adică o bază ca un modul Z ), și fie mulțimea de înglobări ale câmpului K în numere complexe (adică homomorfisme injective ale inelelor ). Discriminantul câmpului K este egal cu pătratul determinantului n x n al matricei B , ale cărui elemente ( i , j ) sunt egale cu . în formă simbolică, $b_{1},\dots,b_{n)$ $\{\sigma _{1},\dots,\sigma _{n}}\}$ $K\rightarrow \mathbb {C}$ $\sigma _{i}(b_{j})$

\Delta _{K}=\det \left({\begin{array}{cccc}\sigma _{1}(b_{1})&\sigma _{1}(b_{2})& \cdots &\sigma _{1}(b_{n})\\\sigma _{2}(b_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _ {n}(b_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(b_{n})\end{array}}\right)^{2}.

În mod echivalent, se poate folosi urma de la K la . În special, definim forma urmei ca o matrice ale cărei ( i , j )-elemente sunt egale cu . Această matrice este egală cu B T B , deci discriminantul câmpului K este determinantul acestei matrice. $\mathbb {Q}$ $\mathbf {Tr} _{K/\mathbb {Q} }(b_{i}b_{j})$

Exemple

Câmpuri cu numere pătratice : fie d un număr fără pătrat , atunci discriminantul câmpului este [2] $K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d))}$

\Delta _{K}=\left\{{\begin{array}{ll}d&d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&d\equiv 2,3{\pmod {4}}. \\\end{matrice}}\dreapta.

Un număr întreg care apare ca discriminant al unui câmp de numere pătratice se numește discriminant fundamental [3] .

Câmpuri circulare : fie n > 2 un număr întreg, a n- a rădăcină primitivă a unității și a n- a câmp circular. Discriminantul de câmp este dat de formula [2] [4] $\zeta _{n}$ $K_{n}=\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ $K_n$

{\displaystyle \Delta _{K_{n}}=(-1)^{\varphi (n)/2}{\frac {n^{\varphi (n)}}{\displaystyle \prod _{p| n}p^{\varphi (n)/(p-1)))))

unde este funcția Euler , iar produsul din numitor rulează peste toate numerele prime p care împart n .

\varphi (n)

Baze de putere: În cazul în care inelul numerelor întregi are o bază de putere întregă , adică se poate scrie ca , discriminantul câmpului K este egal cu discriminantul polinomului minim în . Pentru a vedea acest lucru, putem alege ca baza întreagă a inelului să fie . Atunci matricea din definiție este matricea Vandermonde asociată cu , al cărei pătrat determinant este $O_{K}=\mathbb {Z} [\alpha ]$ $\alfa$ $O_{K}$ ${\displaystyle b_{1}=1,b_{2}=\alpha,b_{3}=\alpha ^{2},\dots,b_{n}=\alpha ^{n-1))$ $\alpha _{i}=\sigma _{i}(\alpha )$

\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2)

care este exact aceeași cu definiția discriminantului unui polinom minim.

Fie câmpul numeric obținut prin adăugarea rădăcinii polinomului . Acest exemplu este exemplul original al lui Dedekind al unui câmp numeric al cărui inel de numere întregi nu are o bază de putere. Baza întregului este dată ca , iar discriminantul câmpului K este −503 [5] [6] . $K=\mathbb {Q} (\alpha )$ $\alfa$ $x^{3}-x^{2}-2x-8$ $\{1,\alpha ,\alpha (\alpha +1)/2\)$
Discriminanți duplicați: discriminantul unui câmp pătratic îl definește în mod unic, dar acest lucru nu este valabil în general pentru câmpurile numerice de grad superior . De exemplu, există două câmpuri cubice neizomorfe cu discriminantul 3969. Ele se obțin prin adăugarea rădăcinii polinomului x 3 − 21 x + 28 sau respectiv x 3 − 21 x − 35 [7] .

Rezultate principale

Teorema lui Brill [8] : Semnul discriminantului este , unde r 2 este numărul de puncte complexe ale câmpului K [9] . $(-1)^{r_{2))$
Un număr prim p se ramifică în K dacă și numai dacă p împarte [10] . $\Delta _{K}$
Teorema lui Stickelberger [11] :

\Delta _{K}\equiv 0

1{\pmod {4)).

Minkowski legat [12] : Fien gradul al extensiei, iarr2denotănumărul de locuri complexe ale câmpuluiK, atunci $K/\mathbb {Q}$

|\Delta _{K}|^{1/2}\geqslant {\frac {n^{n}}{n!)}}\left({\frac {\pi }{4}}\ dreapta )^{r_{2}}\geqslant {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{n/2}.

Teorema lui Minkowski [13] : Dacă K nu este egal cu atunci (aceasta rezultă direct din limita lui Minkowski). $\mathbb {Q}$ $|\Delta _{K}|>1$
Teorema Hermite-Minkowski [14] : FieNun întreg pozitiv. Există doar un număr finit (până la izomorfism) de câmpuri numerice algebriceKcu. Din nou, aceasta rezultă din limita Minkowski, împreună cu teorema lui Hermite (că există doar un număr finit de câmpuri algebrice cu un discriminant prescris). $|\Delta _{K}|<N$

Istorie

Definiția discriminantului unui câmp numeric algebric general K a fost dată de Dedekind în 1871 [15] . În acest moment, el știa deja despre legătura dintre discriminant și ramificare [16] .

Teorema lui Hermite a precedat definiția generală a discriminantului și demonstrația sa a fost publicată de Charles Hermite în 1857 [17] . În 1877 Alexander von Brill a determinat semnul determinantului [18] . Leopold Kronecker a formulat teorema lui Minkowski în 1882 [19] , deși Hermann Minkowski și-a dat dovada abia în 1891 [20] . În același an, Minkowski și-a publicat bound on the determinant [21] . Până la sfârșitul secolului al XIX-lea Stickelberger, Ludwig a obținut teorema restului discriminant modulo patru [22] [23] .

Discriminant relativ

Discriminantul definit mai sus este uneori denumit discriminant absolut al câmpului K pentru a-l deosebi de discriminantul relativ al extensiei câmpului numeric K / L , care este un ideal în O L. Discriminantul relativ este definit în același mod ca și discriminantul absolut, dar ar trebui să se țină cont de faptul că idealul din O L poate să nu fie principal și că O L poate să nu fie baza lui O K . Fie mulțimea de înglobări ale lui K în , care sunt unități pe L . Dacă este o bază a unui câmp K peste L , fie ) pătratul determinantului unei matrice n x n ale cărei ( i , j ) -elemente sunt egale cu . Atunci discriminantul relativ al extensiei K / L este idealul generat de , unde trece prin toate bazele întregi ale extensiei K / L . (adică peste baze cu proprietatea că pentru tot i .) Alternativ, discriminantul relativ al extensiei K / L este egal cu norma trimului K / L [24] . Când , discriminantul relativ este idealul principal al inelului generat de discriminantul absolut . În turnul câmpurilor K / L / F , discriminanții relativi sunt relaționați prin $\Delta _{K}/L$ $\{\sigma _{1},\dots,\sigma _{n}}\}$ $\mathbb {C}$ $b_{1},\dots,b_{n)$ $d(b_{1},\dots,b_{n)$ $\sigma _{i}(b_{j})$ $d(b_{1},\dots,b_{n})$ $\{b_{1},\dots ,b_{n}\}$ $b_{i}\în O_{K}$ $L=\mathbb {Q}$ $\Delta _{K/\mathbb {Q} }$ $\mathbb {Z}$ $\Delta _{K}$

\Delta _{K/F}={\mathcal {N}}_{L/F}\left({\Delta _{K/L}}\right)\Delta _{L/F}^ {[K:L]}

unde denotă norma relativă [25] [26] . $\mathcal{N}$

Branching

Discriminantul relativ determină ramificarea a extensiei câmpului K / L . Un ideal principal p al unui câmp L se ramifică în K dacă și numai dacă împarte discriminantul relativ . O extensie se ramifică dacă și numai dacă discriminantul este unitatea ideală [24] . Limita Minkowski de mai sus arată că nu există extensii de câmp neramificate non-triviale . Câmpurile mai mari decât , pot avea extensii non-ramificate. De exemplu, pentru orice câmp cu un număr de clase mai mare de unu, câmpul său de clasă Hilbert este o extensie neramificată netrivială. $\Delta _{K/L}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Root discriminant

Discriminantul rădăcină al unui câmp numeric K de gradul n , adesea notat rd K , este definit ca rădăcina a n- a a valorii absolute a discriminantului (absolut) al câmpului K [27] . Relația dintre discriminanții relativi din turnul de câmp arată că discriminantul rădăcină nu se modifică într-o expansiune neramificată. Existența unui turn de câmpuri de clasă oferă limite pentru discriminantul rădăcină — existența unui turn infinit de câmpuri de clasă peste , unde m = 3 5 7 11 19, arată că există un câmp infinit diferit cu discriminant rădăcină 2 √ m ≈ 296,276 [28] . Dacă r și 2 s sunt egale cu numărul de înglobări reale și complexe, deci , setăm și . Se notează cu infimumul rd K pentru câmpurile K cu . Avem (pentru suficient de mare) [28] $\mathbb {Q} ({\sqrt {-m))}$ $n=r+2s$ $\rho =r/n$ $\sigma =2s/n$ $\alpha (\rho,\sigma)$ $(r',2s')=({\rho }n,{\sigma }n)$

\alpha (\rho,\sigma)\geqslant 60,8^{\rho}22,3^{\sigma)

şi presupunând validitatea ipotezei Riemann generalizate

\alpha (\rho,\sigma)\geqslant 215,3^{\rho}44,7^{\sigma }.

Astfel avem . Martinet a arătat că și [28] [29] . Voight [27] a demonstrat că pentru câmpuri pur reale rădăcina discriminantă > 14 cu 1229 de excepții. $\alpha (0,1)<296.276$ $\alpha (0,1)<93$ $\alpha (1,0)<1059$

Relația cu alte cantități

Când este înglobat în volumul regiunii fundamentale a inelului, O K este egal (uneori se folosește o altă măsură și volumul este egal cu , unde r 2 este numărul de locuri complexe ale câmpului K ). $K\otimes _{\mathbf {Q} }\mathbf {R}$ ${\sqrt {|\Delta _{K}|}}$ $2^{-r_{2}}{\sqrt {|\Delta _{K}|}}$
Deoarece discriminantul apare în această formulă de volum, el apare și în ecuația funcțională pentru funcția zeta Dedekind a câmpului K , și deci și în formula analitică a numărului de clasă și în teorema Brouwer–Siegel .
Discriminantul relativ al extensiei K / L este egal cu conductorul Artin reprezentării regulate a grupului Galois al extensiei K / L . Aceasta dă o legătură între conductorii Artin și caracterele ale grupului Galois al extensiei K / L , care se numește formula conductor-discriminant [30] .

Note

↑ Cohen, Diaz y Diaz, Olivier, 2002 .
↑ 1 2 Manin, Panchișkin, 2007 , p. 130.
↑ Cohen, 1993 , p. Definiție 5.1.2.
↑ Washington, 1997 , p. Propunerea 2.7.
↑ Dedekind, 1878 , p. 30–31.
↑ Narkiewicz, 2004 , p. 64.
↑ Cohen, 1993 , p. Teorema 6.4.6.
↑ Koch, 1997 , p. unsprezece.
↑ Washington, 1997 , p. Lema 2.2.
↑ Neukirch, 1999 , p. Corolarul III.2.12.
↑ Neukirch, 1999 , p. Exercițiul I.2.7.
↑ Neukirch, 1999 , p. Propunerea III.2.14.
↑ Neukirch, 1999 , p. Teorema III.2.17.
↑ Neukirch, 1999 , p. Teorema III.2.16.
↑ 1 2 Anexa X a lui Dedekind în cea de-a doua ediție a Vorlesungen über Zahlentheorie a lui Dirichlet (germană: Prelegeri despre teoria numerelor) ( Dedekind 1871 )
↑ Bourbaki, 1994 .
↑ Ermite, 1857 .
↑ Brill, 1877 .
↑ Kronecker, 1882 .
↑ Minkowski, 1891a .
↑ Minkowski, 1891b .
↑ Stickelberger, 1897 .
↑ Toate faptele acestui paragraf pot fi găsite în cartea lui Narkiewicz ( Narkiewicz 2004 , pp. 59, 81)
↑ 1 2 Neukirch, 1999 , p. §III.2.
↑ Neukirch, 1999 , p. Corolarul III.2.10.
↑ Fröhlich și Taylor 1993 , p. Propunerea III.2.15.
↑ 12 Voight , 2008 .
↑ 1 2 3 Koch, 1997 , p. 181–182.
↑ Martinet, 1978 , p. 65–73.
↑ Serre, 1967 , p. Secțiunea 4.4.

Literatură

Yu. I.Manin , A.A. Panchishkin. Introducere în teoria modernă a numerelor. - Al doilea. - 2007. - T. 49. - P. 130. - (Enciclopedia Științelor Matematice). — ISBN 978-3-540-20364-3 .
Jacques Martinet. Tours de corps de classes et estimations de discriminants (franceză) // Inventiones Mathematicae . - 1978. - Vol. 44 . - doi : 10.1007/bf01389902 . — Cod biblic .
Alexander von Brill. Ueber die Discriminante // Mathematische Annalen. - 1877. - T. 12 , nr. 1 . — p. 87–89 . - doi : 10.1007/BF01442468 .
Richard Dedekind . Vorlesungen über Zahlentheorie von P.G. Lejeune Dirichlet . - 2. - Vieweg, 1871.
Richard Dedekind . Über den Zusammenhang zwischen der Theorie der Ideale und der Theorie der höheren Congruenzen // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. - 1878. - T. 23 , nr. 1 .
Charles Hermite . Extrait d'une lettre de MC Hermite à M. Borchardt sur le nombre limité d'irrationalités auxquelles se réduisent les racines des équations à coefficients entiers complexes d'un degré et d'un discriminant donnés // Crelle's Journal . - 1857. - T. 53 . — S. 182–192 . - doi : 10.1515/crll.1857.53.182 .
Leopold Kronecker . Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen // Crelle's Journal . - 1882. - T. 92 . — S. 1–122 .
Hermann Minkowski . Ueber die positiven quadratischen Formen und über kettenbruchähnliche Algorithmen // Crelle's Journal. — 1891a. - T. 107 . — S. 278–297 .
Hermann Minkowski . Théorèmes d'arithmétiques // Comptes rendus de l'Académie des sciences . — 1891b. - T. 112 . — S. 209–212 .
Ludwig Stickelberger. Über eine neue Eigenschaft der Diskriminanten algebraischer Zahlkörper // Proceedings of the First International Congress of Mathematicians, Zürich. - 1897. - S. 182-193.
Nicolae Bourbaki. Elemente de istorie a matematicii / Traducere de Meldrum, John. - Berlin: Springer-Verlag, 1994. - ISBN 978-3-540-64767-6 .
- Bourbaki N. Eseuri despre istoria matematicii. - M . : Editura de literatură străină, 1963.
Henri Cohen. Un curs în teoria numerelor algebrice computaționale. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1993. - V. 138. - (Texte de absolvire a matematicii). - ISBN 978-3-540-55640-4 .
Henri Cohen, Francisco Diaz y Diaz, Michel Olivier. A Survey of Discriminant Counting // Teoria numerelor algoritmice, Proceedings, 5th International Syposium, ANTS-V, Universitatea din Sydney, iulie 2002 / Claus Fieker, David R. Kohel. - Berlin: Springer-Verlag, 2002. - T. 2369. - S. 80–94. — (Note de curs în Informatică). — ISBN 978-3-540-43863-2 . - doi : 10.1007/3-540-45455-1_7 . (link indisponibil)
Albrecht Fröhlich, Martin J. Taylor. Teoria numerelor algebrice. - Cambridge University Press , 1993. - V. 27. - (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). — ISBN 978-0-521-43834-6 .
Helmut Koch. Teoria algebrică a numerelor. - Springer-Verlag , 1997. - T. 62. - (Encycl. Math. Science). — ISBN 3-540-63003-1 .
Władysław Narkiewicz. Teoria elementară și analitică a numerelor algebrice. - 3. - Berlin: Springer-Verlag, 2004. - (Monografii Springer în matematică). - ISBN 978-3-540-21902-6 .
Jurgen Neukirch. Teoria algebrică a numerelor. - Berlin: Springer-Verlag, 1999. - T. 322. - (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). — ISBN 978-3-540-65399-8 .
Jean-Pierre Serre . Teoria câmpului de clasă locală // Teoria numerelor algebrice, Proceedings of an instructional Conference at University of Sussex, Brighton, 1965 / JWS Cassels, Albrecht Fröhlich. - Londra: Academic Press, 1967. - ISBN 0-12-163251-2 .
John Voight Voight. Enumerarea câmpurilor numerice total reale ale discriminantului rădăcină mărginită // Teoria algoritmică a numerelor. Proceedings, 8th International Symposium, ANTS-VIII, Banff, Canada, mai 2008 / Alfred J. van der Poorten, Andreas Stein. - Berlin: Springer-Verlag, 2008. - T. 5011. - S. 268-281. — (Note de curs în Informatică). — ISBN 978-3-540-79455-4 . - doi : 10.1007/978-3-540-79456-1_18 .
Lawrence Washington. Introducere în câmpurile ciclotomice. — al 2-lea. - Berlin, New York: Springer-Verlag, 1997. - V. 83. - (Texte de absolvire a matematicii). — ISBN 978-0-387-94762-4 .

Lectură pentru lecturi suplimentare

James S. Milne. Teoria algebrică a numerelor . — 1998.