Element nilpotent

Un element nilpotent este un element al inelului , a cărui putere dispare.

Considerarea elementelor nilpotente se dovedește adesea a fi utilă în geometria algebrică , deoarece acestea permit obținerea de analogi pur algebrici ai unui număr de concepte tipice analizei și geometriei diferențiale ( deformații infinit de mici etc.).

Termenul a fost introdus de Benjamin Pierce în lucrarea sa despre clasificarea algebrelor [1] .

Definiție

Un element x al unui inel R se spune a fi nilpotent dacă există un număr întreg pozitiv n astfel încât [2] . $x^{n}=0$

Valoarea minimă pentru care această egalitate este adevărată se numește indicele de nilpotență al elementului . $n$ $A$

Exemple

Această definiție poate fi aplicată în special matricelor pătrate . Matrice

A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}

este nilpotent deoarece . Mai multe detalii în articolul Matricea Nilpotent .

A^{3}=0

În inelul coeficient Z /9 Z , clasa de echivalență a lui 3 este nilpotentă, deoarece 3 2 este congruent cu 0 modulo 9.
Să presupunem că două elemente a și b din inelul R îndeplinesc condiția . Atunci elementul este nilpotent deoarece . Exemplu pentru matrice (ca a și b ): $ab=0$ $c=ba$ $c^{2}=(ba)^{2}=b(ab)a=0$

A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix)),\;\;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix)).

Aici .

AB=0,BA=B

Inelul cuaternion split conține un con de elemente nilpotente.

Prin definiție, orice element al semigrupului nil- este nilpotent.

Proprietăți

Niciun element nilpotent nu poate fi inversabil (cu excepția inelului trivial {0}, care are singurul element 0 = 1 ). Toate elementele nilpotente diferite de zero sunt divizori zero .

O matrice A n-de-n cu elemente din câmp este nilpotentă dacă și numai dacă polinomul său caracteristic este . $t^{n}$

Dacă un element x este nilpotent, atunci este un element inversabil , deoarece rezultă din: $1-x$ $x^{n}=0$ $(1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1})=1-x^{n}=1.$

Mai general, suma unui element inversabil și a unui element nilpotent este un element inversabil dacă comută.

Inele comutative

Elementele nilpotente ale unui inel comutativ formează un ideal , care este o consecință a binomului lui Newton . Acest ideal este nilradicalul inelului. Orice element nilpotent dintr-un inel comutativ este conținut în orice ideal prim al acestui inel, deoarece . Astfel, este cuprinsă în intersecția tuturor idealurilor prime. $R$ ${\mathfrak {N}}$ $X$ $\mathfrak{p}$ $x^{n}=0\in {\mathfrak {p)}$ ${\mathfrak {N}}$

Dacă elementul nu este nilpotent, putem localiza cu puteri de : pentru a obține un inel diferit de zero . Idealurile prime ale unui inel localizat corespund exact acestor idealuri prime ale inelului c [3] . Deoarece orice inel comutativ diferit de zero are un ideal maxim care este prim, orice element non-nilpotent nu este conținut într-un ideal prim. Atunci este exact intersecția tuturor idealurilor prime [4] . $X$ $X$ $S=\{1,x,x^{2},...\}$ $S^{-1}R$ $\mathfrak{p}$ $R$ ${\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset$ $X$ ${\mathfrak {N}}$

O caracteristică similară cu radicalul Jacobson și anihilarea modulelor prime este disponibilă pentru nilradical - elementele nilpotente ale inelului R sunt exact cele care anihilează toate domeniile de integritate în inelul R . Aceasta rezultă din faptul că radicalul zero este intersecția tuturor idealurilor prime.

Elemente nilpotente ale Algebrei Minciunii

Să fie Lie Algebra . Atunci un element se numește nilpotent dacă este în și este o transformare nilpotent. Vezi și descompunerea Jordan în algebra Lie . $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$ $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ $\operatorname {ad} x$

Nilpotenta in fizica

Operandul Q care satisface condiția este nilpotent. Numerele Grassmann , care permit reprezentarea câmpurilor fermionice în termeni de integrale de cale , sunt nilpotente deoarece pătratul lor dispare. Încărcarea BRST este un exemplu important în fizică . $Q^{2}=0$

Operatorii liniari formează o algebră asociativă și apoi un inel, acesta este un caz special al definiției originale [5] [6] . Mai general, ținând cont de definițiile de mai sus, un operator Q este nilpotent dacă există astfel încât (o funcție nulă). Atunci o mapare liniară este nilpotentă dacă și numai dacă are o matrice nilpotentă într-o anumită bază. Un alt exemplu este derivata exterioară (din nou cu ). Ambele exemple sunt conectate prin supersimetrie și teoria Morse [7] , așa cum a arătat Edward Witten într-o lucrare apreciată [8] . $n\în \mathbb {N}$ $Q^{n}=0$ $n=2$

Câmpul electromagnetic al unei unde plane fără surse este nilpotent dacă este exprimat în termeni de algebrei spațiului fizic [9] . Mai general, tehnica de microaditivitate folosește infinitezimale nilpotente și face parte din analiza infinitezimală netedă .

Nilpotenți algebrici

Numerele duale bidimensionale conțin un spațiu nilpotent. Alte algebre și numere care conțin spații nilpotente includ cuaternioni divizați (coquaternioni), octanioni divizați , biquaternioni și octanioni complexe . $\mathbb {C} \otimes \mathbb {H}$ $\mathbb {C} \otimes \mathbb {O}$

Vezi și

Element idempotent
Element unipotent
Inel redus
Nil-ideal

Note

↑ Milies, Sehgal, 2002 , p. 127.
↑ Enciclopedia de matematică, 1977-1985 .
↑ Matsumura, 1970 , p. 6.
↑ Atiyah, MacDonald, 1994 , p. 5.
↑ Peirce, 1870 .
↑ Milies, Sehgal, 2002 .
↑ Rogers, 2000 , p. 3703–3714.
↑ Witten, 1982 , p. 661–692.
↑ Rowlands, 2007 .

Literatură

Enciclopedia matematică / I. M. Vinogradov. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1977-1985.

Cesar Polcino Milies, Sudarshan R. Sehgal. O introducere în inelele de grup. - Dordrecht, Boston, Londra: Kluwer Academic Publishers, 2002. - ISBN 978-1-4020-0238-0 .
Hideyuki Matsumura. Capitolul 1: Rezultate elementare // Algebră comutativă. - W. A. Benjamin, 1970. - ISBN 978-0-805-37025-6 .
Atiyah MF, MacDonald IG Capitolul 1: Inele și idealuri // Introducere în algebra comutativă. - Westview Press, 1994. - ISBN 978-0-201-40751-8 .
- Atiyah M., McDonald I. Introducere în algebra comutativă. - Moscova: Mir, 1972.
Peirce B. Algebră asociativă liniară. — 1870.
A. Rogers. Particula topologică și teoria Morse // Clasa. Grav cuantic. - 2000. - Emisiune. 17 . - doi : 10.1088/0264-9381/17/18/309 .
E. Witten. Supersimetria și teoria Morse // J.Diff.Geom. - 1982. - Emisiune. 17 .
Rowlands P. De la zero la infinit: Fundamentele fizicii. - Londra: World Scientific, 2007. - ISBN 978-981-270-914-1 .