Pătrat la pătrat

Pătratul unui pătrat  este problema împărțirii unui pătrat într-un număr finit de pătrate mai mici. Într-un sens mai restrâns, este problema împărțirii unui pătrat într-un număr finit de pătrate inegale pe perechi .

În 1936-1938 a fost rezolvată de patru studenți ai Trinity College, Universitatea Cambridge [1] .

Toate pătratele din orice soluție a acestei probleme au laturi comparabile ca lungime. [2]

Terminologie

• Un pătrat împărțit în pătrate inegale pe perechi se numește perfect [1] .
• Ordinea unui pătrat împărțit în pătrate compuse este numărul pătratelor sale constitutive.
• O partiție a unui pătrat, fără submulțimi ale căror pătrate nu formează un dreptunghi (fără a număra pătratele individuale), se numește simplă .

Istorie

• Problema posibilității de a împărți un pătrat în pătrate inegale a fost scrisă în Cartea Scoțiană de Stanislav Ruzevich sub numărul 59 [3] în 1935.
• Primele pătrate perfecte găsite de Brooks, Smith, Stone și Tutt au fost de ordinul 69.
• În 1939, R. Sprague a găsit un pătrat perfect de ordinul 55, a fost prima soluție publicată pentru un pătrat perfect [4] .
• Mai târziu, T. H. Willcocks a găsit un pătrat perfect de ordinul 24, care a deținut pentru o lungă perioadă de timp recordul de micime.
• În 1978, matematicianul olandez A. J. W. Duijvestijn ( A. J. W. Duijvestijn ) folosind un computer a găsit o partiție a unui pătrat în 21 de pătrate, dintre care nu există egale (vezi Fig.). De asemenea, a dovedit următoarele afirmații:
  • Nu există un pătrat perfect de ordine mai mică.
  • Partiția pe care a găsit-o este singura posibilă pentru o partiție de ordinul 21.

diagramă Smith

Un rol cheie în rezolvarea problemei la pătrat l-a jucat propunerea făcută de Brooks, Smith, Stone și Tat în 1936-1938 [ 1] pentru analiza unei diagrame numită diagramă Smith , care atribuie un circuit electric oricărei partiții a unui pătrat (sau dreptunghi) . Acest lucru a făcut posibilă aplicarea teoriei bine dezvoltate a circuitelor electrice pentru a rezolva problema pătrarii.

Putem considera că un dreptunghi este un conductor din folie cu rezistivitate constantă. Dacă un curent este conectat de-a lungul bazelor, atunci rezistența dreptunghiului este direct proporțională cu înălțimea și invers proporțională cu lățimea dreptunghiului. Prin urmare, putem presupune că rezistența oricărui pătrat este unitate.

Fiecare segment orizontal din schema de împărțire a unui pătrat corespunde unui „terminal” al acestui circuit, iar fiecare pătrat al compartimentării corespunde unui conductor care conectează două „borne”. Puterea curentului care trece prin conductor este egală cu lungimea laturii pătratului corespunzător. Deoarece putem presupune că rezistența fiecărui pătrat este egală cu unu, un astfel de circuit electric se comportă ca unul „real”; în special, respectă regulile lui Kirchhoff pentru curenții dintr-un circuit.

Numărul de pătrate

	Numărul de pătrate prime perfecte de ordin		Numărul de pătrate prime perfecte de ordin
21	unu	28	3001
22	opt	29	7901
23	12	treizeci	20 566
24	26	31	54 541
25	160	32	144 161
26	441	33	378 197 [5]
27	1152

Numărul de pătrate perfecte simple de ordin n până la simetrii este dat în secvența A006983 în OEIS [6] .

În 2013 a fost găsit numărul de pătrate de ordinul 32 ( 144 161 ) [6] [5] .

În iunie 2014, Jim Williams a obținut toate cele 378.197 pătrate prime perfecte de ordinul 33 [5] .

Cub cub

„Cubarea unui cub”, adică împărțirea unui cub într-un număr finit de cuburi inegale în perechi, este imposibilă. Dovada acestui fapt a fost dată de Brooks, Smith, Stone și Tutt.

Să presupunem că există partiția dorită a cubului.

Luați în considerare una dintre fețele cubului; evident, fără pierderea generalității, putem alege fața inferioară.

Pe fața inferioară sunt cuburi inegale, cu marginile lor inferioare împărțind fața în pătrate inegale.

Să găsim cel mai mic pătrat al partiției feței inferioare. Evident, acest pătrat nu se poate învecina cu marginea cubului, fiind limitat de laturile pătratelor mai mari, prin urmare, trebuie amplasat undeva în interiorul feței.

Acum luați în considerare fața superioară a acestui cub mic. Deoarece se presupune că este cel mai mic cub de pe fața inferioară a cubului, este înconjurat de cuburi mai înalte. Prin urmare, nici un singur cub vecin nu intervine pe fața sa superioară. În consecință, cuburile mai mici care stau pe această față împart din nou fața superioară a acestui cub în pătrate inegale, iar cel mai mic pătrat al partiției feței superioare a cubului considerat din nou nu poate aparține marginii cubului și este situat în interiorul față.

Continuând acest proces de raționament, ajungem la o contradicție, care demonstrează Teorema [1] .

Hipercubarea unui hipercub

Este, de asemenea, ușor de demonstrat teorema privind imposibilitatea „hipercubului hipercub” pentru hipercuburi de orice dimensiune mai mare de 3. Într-adevăr, pentru orice dimensiune n , hipercuburile de partiție adiacente unor fațete ( n  - 1)-dimensionale ale hipercubului original trebuie să partiționeze această fațetă într-un număr finit de hipercuburi inegale ( n  - 1)-dimensionale în perechi. Pentru n  = 4, „hipercubarea” este imposibilă, deoarece trebuie să genereze „cubărirea” hiperfețelor 3-dimensionale ale hipercubului 4-dimensional original. Prin inducție pe n , se poate concluziona că „hipercubația” este imposibilă pentru toți n  > 3.

Link -uri

• Videoclip pe canalul YouTube de matematică populară în limba engleză Numberphile Copie arhivată din 12 august 2020 pe Wayback Machine

Literatură

• Gardner M. , Puzzle-uri matematice și divertisment . Pe. din engleză de Yu. Danilova. Ed. „Onyx”, Moscova, 1994, p. 305-326.
• Yaglom I. M. Cum să tăiați un pătrat Copie de arhivă din 27 ianuarie 2021 pe Wayback Machine Mathematical Library seria M., Nauka, 1968—112 ​​​​p.
• Bouwkamp CJ, Duijvestijn AJW Catalog of Simple Perfect Squared Squares of Orders 21 Through 25 , Eindhoven Univ. Tehnologie, Dept. de matematică, Raport 92-WSK-03, nov. 1992.
• Bouwkamp CJ, Duijvestijn AJW Album of Simple Perfect Squared Squares of order 26 , Universitatea de Tehnologie Eindhoven, Facultatea de Matematică și Științe Calculatoare, Raport EUT 94-WSK-02, decembrie 1994.
• Brooks, R.L., Smith CAB, Stone, A.H., Tutte, W.T. The Dissection of Rectangles into Squares , Duke Math. J. 7, 312-340, 1940
• Gardner Martin , Squaring the square , în A doua carte științifică americană de puzzle-uri și diversiuni matematice.
• Meschkowski H. Unsolved and Unsolvable Problems in Geometry, Oliver și Boyd, 1966, Edinburgh, pp. 9-102.
• Stein S. Mathematics: The Man-Made Universe, (ed. a doua) Freeman and Co., 1969, San Francisco, pp. 92-124.
• Tutte W. Squaring the Square, jurnal canadian de matematică, 1950, pp. 197-209.
• Tutte W. Căutarea pătratului perfect, The American Mathematical Monthly , 1965, voi. 72, nr. 2, pp. 29-35.

Note

1. ↑ 1 2 3 4 Brooks, R.L.; Smith, CAB; Stone, A.H.; și Tutte, W.T. The Dissection of Rectangles into Squares , Duke Math. J. 7, 312-340, 1940.
2. ↑ Gardner, M. , Math Puzzles and Fun . Pe. din engleză de Yu. Danilova. Ed. „Onyx”, Moscova, 1994, p. 305-326. . Preluat la 12 august 2020. Arhivat din original la 17 ianuarie 2021. (nedefinit)
3. ↑ Cartea scoțiană  (nespecificată) / Stan Ulam. — 1958.
4. ↑ 5. Către o teorie a jocurilor combinatorii . Societatea Americană de Matematică . Preluat la 30 iunie 2017. Arhivat din original la 29 august 2017.  (nedefinit) .
5. ↑ 1 2 3 Stuart Anderson. Pătrate pătrate perfecte simple (SPSS); Comanda de la 21 la 33 și comenzile superioare . Consultat la 30 noiembrie 2015. Arhivat din original pe 8 decembrie 2015.  (nedefinit) .
6. ↑ 1 2 Secvența OEIS A006983 = Numărul de pătrate perfecte simple de ordin n până la simetrie.

Link -uri

• Ross Honsberger. Square the Square . Facultatea de Matematică, Universitatea din Waterloo. Arhivat din original pe 16 octombrie 2015. (nedefinit)
• Re: Disecția pătratului (sau dreptunghiului) în pătrate inegale . sci.math, rec.puzzles (11 aprilie 1998). Arhivat din original pe 19 aprilie 2003. (nedefinit)
• Pătratul pătratului . Byron Schmuland. Consultat la 26 februarie 2005. Arhivat din original pe 24 septembrie 2015. (nedefinit)
• Karl Scherer. Square The Rectangle (link indisponibil) . Arhivat din original pe 21 august 2014. (nedefinit) 
• Karl Scherer. Square The Square (link indisponibil) . Arhivat din original pe 19 august 2014. (nedefinit) 

Dicționare și enciclopedii	Britannica (online)