Ultrafinitism

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 19 august 2022; verificările necesită 2 modificări .

Ultrafinitismul (cunoscut și sub numele de ultraintuiționism [1] , formalism strict [2] , finitism strict [2] , actualism [1] , predicativism [2] [3] și finitism puternic ) [2]  este o formă extremă de finitism , manifestată în o serie de concepte și teorii matematice și filozofice și matematice . Comun tuturor formelor de finitism matematic este refuzul de a folosi o abstractizare intuitiv dubioasă a infinitului real, de exemplu, un set infinit de numere naturale ca complet, finalizat în construcția obiectului; ultrafinitismul, în schimb, neagă sau consideră infinitul potențial, adică posibilitatea de a construi obiecte constructive arbitrar de mari dimensiuni, ca o abstractizare cu puțin conținut; ca o consecință, de exemplu, aplicabilitatea operațiilor aritmetice la toate numerele naturale este refuzată.

Fundal

Ultrafinitismul continuă tradițiile finitismului filozofic , care era foarte comun în lumea antică și în Evul Mediu, în special, datorită autorității lui Aristotel , care a negat infinitul real. În timpurile moderne, în matematică, formarea acestor vederi este asociată cu apariția naivei teorii a mulțimilor a lui Georg Cantor , care a operat liber asupra infinităților reale, ceea ce a condus la descoperirea unui număr de paradoxuri . Încercările de a elimina paradoxurile și de a dovedi consistența matematicii au condus, la rândul lor, la apariția și formarea unui număr de noi tendințe matematice - finitismul , formalismul , logicismul , intuiționismul și constructivismul lui Hilbert . După apariția teoriei axiomatice a mulțimilor , care a eliminat principalele paradoxuri ale teoriei mulțimilor , abordarea teoretică a mulțimilor a devenit dominantă în predarea matematicii [4] , cu toate acestea, constructivismul ca domeniu independent al matematicii a fost păstrat și dezvoltat în mod semnificativ. Părerile matematicienilor ultrafinitiști pot fi considerate o continuare și o formă extremă a constructivismului.

Argument

Ultrafinitismul neagă acceptabilitatea obiectelor matematice finite al căror algoritm de construcție există, dar care sunt atât de mari încât acest algoritm nu poate fi implementat din cauza limitărilor fizice. În consecință, semnificația operațiunilor cu astfel de obiecte este, de asemenea, refuzată. Dacă finitismul și constructivismul lui Hilbert refuză abstracția infinitului actual, atunci ultrafinitismul refuză să ia în considerare obiectele care sunt „virtual” infinite. În special, existența părții întregi a primului număr Skewes este refuzată :

pe motiv că nimeni nu a putut calcula acest număr natural și este puțin probabil ca acest lucru să fie posibil în principiu. Într-adevăr, pentru a înregistra numărul Skewes, sunt necesare aproximativ cifre zecimale, care este semnificativ mai mare decât numărul de particule elementare din partea observabilă a Universului, deoarece nu există mai multe dintre ele [5] .

Cu toate acestea, această argumentare face apel la bunul simț și este mai mult fizică și filozofică decât matematică. În acest sens, este interesantă discuția în jurul cărții academicianului-fizician Zel'dovich „Matematica superioară pentru începători și aplicațiile sale la fizică”, care a fost criticată dur și corect din punctul de vedere al matematicii clasice de către academicianul-matematician Pontryagin . De exemplu, definiția lui Zel'dovich a derivatei ca raport al „incrementelor suficient de mici” nu numai că neagă necesitatea de a trece la limită, dar nu este deloc o definiție matematică. Matematicianul academic și parțial fizicianul Arnold a găsit un argument puternic pentru apărare [6] :

Cartea a început cu o definiție șocantă a derivatului ca raport al creșterilor „sub ipoteza că sunt suficient de mici” [7] . Această definiție „fizic”, blasfematoare din punctul de vedere al matematicii ortodoxe, este, desigur, complet justificată, deoarece creșterile unei mărimi fizice mai mici decât, să zicem, 10 −100 sunt pură ficțiune - structura spațiului și timpului pe astfel de scalele se pot dovedi a fi foarte departe de continuumul matematic.

Argumentul lui Arnold are forma unei presupuneri, dar poate fi completat de faptul incontestabil că, de exemplu, ecuația diferențială pentru conducerea căldurii la astfel de scări este lipsită de sens, deoarece temperatura este rezultatul medierii energiilor moleculelor. Definiția clasică a derivatei în acest caz este insuportabilă din cauza absenței unei limite. Dar ecuația permite calcule de înaltă precizie, deoarece definiția lui Zel'dovich funcționează.

Un progres semnificativ în construcția unei matematici complet „finite” a fost realizat de creatorul teoriei alternative a mulțimilor   Piotr Vopenka [8] [9] . Cu toate acestea, ultrafinitismul, spre deosebire de constructivism, nu a devenit o tendință cu drepturi depline în matematică și rămâne în principal filosofia unor matematicieni. Logicianul constructivist Anne Sherp Troelstra în recenzia sa fundamentală „Constructivism in Mathematics (1988)” [10] a remarcat „lipsa dezvoltării satisfăcătoare” în sensul că pur și simplu nu există lucrări corespunzătoare despre logica matematică .

Cercetătorii asociați cu ultrafinitism

Yesenin-Volpin a publicat în 1962 un program pentru construirea bazelor matematicii ultrafinitiste [11] . Matematicienii care au publicat lucrări pe tema ultrafinitismului sau au exprimat public opinii apropiate includ și Doron Zeilberger , Eduard Nelson , Rohit Jivanlal Parikh și Jean-Paul van Bendegem , Piotr Wopenka, Robin Gandy .

Unii matematicieni nu consideră că este important și necesar să vorbească public despre întrebările filozofiei matematicii care nu sunt fundamentale pentru ei, dar pot avea opinii foarte radicale. De exemplu, academicianul sovietic Ya. V. Uspensky , într-o scrisoare privată din 1926, a caracterizat teoria seturilor drept „gunoaie Cantor-Lebesgue”. [12]

Note

  1. ↑ 1 2 International Workshop on Logic and Computational Complexity, Logic and Computational Complexity , Springer, 1995, p. 31.
  2. ↑ 1 2 3 4 _ Iwan (2000), „ On the Untenability of Nelson’s Predicativism  (unavailable link) ”, Erkenntnis 53 (1-2), pp. 147-154.
  3. ↑ A nu se confunda cu predicativismul lui Russell.
  4. ↑ Academicianul V. V. Arnold caracterizează predarea formală teoretică a seturilor drept „emasculată și moartă” 1 Arhivată 3 noiembrie 2019 la Wayback Machine
  5. ↑ The Many Faces of the Universe Andrey Dmitrievich Linde, Universitatea Stanford (SUA), profesor . Preluat la 12 mai 2015. Arhivat din original la 10 mai 2015.
  6. ↑ V. I. Arnold. YaB și Matematică . Preluat la 8 iulie 2019. Arhivat din original la 3 noiembrie 2019.
  7. ↑ Pentru ca această definiție să devină ultrafinitist-matematică, este încă necesară clarificarea mărimii incrementelor.
  8. ↑ Vopěnka, P. Matematica în teoria multimelor alternativă. Teubner, Leipzig, 1979.
  9. ↑ Holmes, Randall M. Alternative Axiomatic Set Theories Arhivat la 7 august 2019 la Wayback Machine în Stanford Encyclopedia of Philosophy .
  10. ↑ AS Troelstra, D. van Dalen. Constructivismul în matematică
  11. ↑ Ésénine-Volpine, AS (1961), Le program ultra-intuitionniste des fondements des mathématiques, Infinitistic Methods (Proc. Sympos. Foundations of Math., Varșovia, 1959) , Oxford: Pergamon, p. 201–223  Revizuit de Kreisel, G. & Ehrenfeucht, A. (1967), Review of Le Program Ultra-Intuitionniste des Fondements des Mathematiques de AS Ésénine-Volpine , The Journal of Symbolic Logic (Association for Symbolic Logic) . - T. 32 (4): 517 , DOI 10.2307/2270182 
  12. ↑ Ermolaeva N. S. Noi materiale pentru biografia lui N. N. Luzin. // Cercetări istorice și matematice . - M . : Nauka, 1989. - Nr. 31 . - S. 193 .

Link -uri