Funcție definită în bucăți

O funcție pe bucăți este o funcție a unei variabile, definită pe mulțimea numerelor reale , care este specificată printr-o formulă separată (sau un alt mod de specificare a funcției) pe fiecare dintre intervalele care alcătuiesc domeniul definiției sale.

O funcție afină pe bucăți este o funcție numerică a unei variabile, astfel încât întregul său domeniu de definiție poate fi „împărțit” în intervale, astfel încât funcția să fie afină în interiorul fiecărui interval.

Definiție formală și atribuire

Fie date punctele de schimbare ale atribuirii funcției. $x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}$

Funcțiile specificate pe bucăți sunt de obicei specificate pentru fiecare dintre intervale separat. Formal, aceasta este scrisă astfel: $(-\infty ;x_{1}),(x_{1};x_{2});\ldots (x_{n};+\infty )$

$f(x)={\begin{cases}f_{0}(x),\quad x<x_{1}\\f_{1}(x),\quad x_{1}<x<x_{2} \\\cdots \\f_{n}(x),\quad x_{n}<x\end{cases}}$ .

La unele dintre intervale sau în anumite puncte, în cazul general, este posibil ca o funcție dată pe bucăți să nu fie definită.

Tipuri de funcții pe bucăți

Dacă toate funcțiile sunt constante, atunci este o funcție constantă pe bucăți. $f(x)$
Dacă toate funcțiile sunt funcții liniare , atunci este o funcție liniară pe bucăți . $f_{i}(x)$ $f(x)$
Dacă toate funcțiile sunt funcții continue , atunci este o funcție continuă pe bucăți . Cu toate acestea, este posibil să nu fie în sine continuu. $f_{i}(x)$ $f(x)$
Dacă toate funcțiile sunt funcții diferențiabile , atunci este o funcție netedă pe bucăți . În acest caz, punctele de schimbare a funcțiilor pot fi sau nu puncte de întrerupere. $f_{i}(x)$ $f(x)$
Dacă toate funcțiile sunt funcții monotone , atunci este o funcție monotonă pe bucăți . În același timp, pe intervale adiacente, semnul derivatei întâi poate fi diferit, adică funcții crescătoare sau descrescătoare. $f_{i}(x)$ $f(x)$

Exemple de funcții pe bucăți utilizate în mod obișnuit

Valoarea absolută (modul) . $y=|x|$
funcția semnului . $y=\operatorname {sgn}(x)$
Funcția Heaviside $\theta (x)={\begin{cases}0,&x<0;\\1,&x\geqslant 0.\end{cases}}$
Funcție liniară pe bucăți .
Spline .
B-spline .