Varietatea Kahleriană

O varietate Kahleriană este o varietate cu trei structuri compatibile reciproc: o structură complexă , o metrică riemanniană și o formă simplectică .

Numit după matematicianul german Erich Köhler .

Definiții

Ca varietate simplectică: O varietate Kähleriană este o varietate simplectică cu o structură aproape complexă integrabilă care este în concordanță cu forma simplectică . $(K,\omega )$

Ca varietate complexă: O varietate Kähleriană este o varietate hermitiană cu o formă hermitiană închisă. O astfel de formă hermitiană se numește Kählerian.

Legătura dintre definiții

Fie o formă hermitiană , să fie o formă simplectică și să fie o structură aproape complexă . Consecvența înseamnă că forma : $h$ $\omega$ $J$ $\omega$ $J$

g(u,v)=\omega (u,Jv)

este riemannian; adică definit pozitiv. Legătura dintre aceste structuri poate fi exprimată prin identitate:

h=gi\omega .

Potențialul Kähler

Pe o varietate complexă , fiecare funcție strict pluriarmonică generează o formă Kähler $K$ $\rho \in C^{\infty}(K;\mathbb {R} )$

\omega ={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\rho .

În acest caz, funcția se numește potențial Kähler de forma . $\rho$ $\omega$

Opusul este adevărat la nivel local. Mai precis, pentru fiecare punct al unei varietăți Kähleriene există o vecinătate și o funcție astfel încât $p$ $(K,\omega )$ $U\ni p$ $\rho \in C^{\infty}(U,\mathbb {R} )$

\omega \vert _{U}=i\partial {\bar {\partial }}\rho

Acesta se numește potențialul Kähler local al formei . $\rho$ $\omega$

Exemple

Spațiu euclidian complex cu formă hermitiană standard. $\mathbb{C}^n$
Fiecare metrică riemanniană pe o suprafață orientabilă definește o varietate Kähleriană, deoarece închiderea este trivială în dimensiunea reală doi. $\omega$
Spațiu proiectiv complex cu metrica Fubini-Study . $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$
Metrica indusă pe o subvarietate complexă într-o varietate Kähleriană.
- În special, orice varietate Stein și orice varietate algebrică proiectivă .
- Prin teorema de încorporare Kodaira , o varietate Kähleriană care admite un fascicul pozitiv cu o fibră de linie este încorporată într-un spațiu proiectiv.
suprafete K3
O subclasă importantă a varietăților Kähler sunt varietățile Calabi-Yau .

Vezi și

Varietate aproape complexă

Literatură

P. Deligne , Ph. Griffiths, J. Morgan, D. Sullivan. Teoria homotopiei reale a varietatilor Kähler // Invent. Matematică. - 1975. - T. 29 . — S. 245–274 . - doi : 10.1007/BF01389853 .
E. Kahler . Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik // Abh. Matematică. Sem. Univ. Hamburg. - 1933. - T. 9 . — S. 173–186 . - doi : 10.1007/BF02940642 .
R. Hartshorne. Geometrie algebrică. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1977. - ISBN 978-0-387-90244-9 .
Alan Huckleberry și Tilman Wurzbacher, eds. Infinite Dimensional Kähler Manifolds (2001), Birkhauser Verlag, Basel ISBN 3-7643-6602-8 .
A. Moroianu. Prelegeri despre geometria Kahler. - Cambridge University Press , 2007. - V. 69. - (London Mathematical Society Student Textes). — ISBN 978-0-521-68897-0 .
A. Weil . Introducere în studiul varietăților kählériennes. — 1958.