Heine-Borel Lema

Lema Heine-Borel [1] (și, de asemenea, lema Borel-Lebesgue [2] sau lema de acoperire finită ) este următorul fapt, care joacă un rol fundamental în analiză :

Din orice sistem infinit de intervale care acoperă un segment al dreptei reale, se poate alege un subsistem finit care acoperă și acest segment.

Generalizarea acestei propoziții la cazul multidimensional este numită și lema Heine-Borel (sau lema Borel-Lebesgue) [3] .

Formulare

Pentru a formula lema Heine-Borel în cazul general, introducem noțiunea de acoperire [3] . Setați sistemul

{\mathfrak {S}}=\lbrace S_{{\alpha }}\rbrace

unde indicele trece printr-o mulţime se numeşte acoperire a mulţimii dacă $\alfa$ ${\mathfrak {A}}$ $X$

X\subset \bigcup _{{\alpha \in {\mathfrak {A}}}}S_{{\alpha }}

Dacă o parte a capacului , de exemplu , unde este un subset de , formează ea însăși o acoperire a setului , atunci se numește subcopertă a capacului setului . ${\mathfrak {S}}$ ${\mathfrak {S}}'=\lbrace S_{{\alpha }}\mid \alpha \in {\mathfrak {A'}}\rbrace$ ${\mathfrak {A'}}$ ${\mathfrak {A}}$ $X$ ${\mathfrak {S}}'$ ${\mathfrak {S}}$ $X$

Să formulăm acum lema Heine-Borel într-o formă generală.

Fie o mulțime mărginită închisă în spațiu . Apoi, din orice sistem de mulțimi deschise care acoperă mulțimea , se poate evidenția un subsistem finit care acoperă și mulțimea . $X$ $\mathbb{R}^n$ $X$ $X$

Pe scurt, ei spun asta: fiecare capac deschis al unui set delimitat închis în spațiu conține o subcopertă finită. $\mathbb{R}^n$ Un capac se numește deschis dacă este format din seturi deschise.

Există, de asemenea, o propoziție inversă: pentru ca orice acoperire deschisă a unei mulțimi să conțină o subacoperire finită, este necesar ca mulțimea să fie închisă și mărginită. $X\subset {\mathbb {R}}^{n}$ $X$ Totuși, lema Heine-Borel este doar o afirmație directă, adică condiții suficiente pentru existența unei subacoperiri finite.

Dovada

Dovada lemei Heine-Borel poate fi realizată în diferite moduri. Mai jos sunt schițele a două dovezi.

Prima dovadă

Această demonstrație este realizată prin metoda Bolzano (bisecție) și se bazează pe lema segmentelor imbricate Cauchy-Cantor . În multe privințe, este similară cu demonstrația lemei punctului limită Bolzano-Weierstrass .

Fie segmentul acoperit de un sistem infinit de intervale. Să presupunem că niciun număr finit de intervale din acoperă un segment dat. Împărțiți segmentul în jumătate în două segmente egale: și . Cel puțin unul dintre ele nu poate fi acoperit de un subsistem finit de intervale din . O notăm și repetăm procedura de împărțire în jumătate. $[a,b]$ $\Sigma$ $\Sigma$ $[a,b]$ $\left[a,{\frac {a+b}{2}}\right]$ $\left[{\frac {a+b}{2}},b\right]$ $\Sigma$ $[a_{1},b_{1}]$

Continuând să împărțim segmentele în jumătate la fiecare pas, obținem o succesiune de segmente imbricate care tind spre zero în lungime, astfel încât fiecare segment al acestei secvențe nu poate fi acoperit de un număr finit de intervale de la . Dar dacă este un punct la care segmentele se contractă, atunci, deoarece se află pe segmentul , acesta trebuie inclus într-un anumit interval al sistemului . Apoi toate segmentele secvenței , începând de la un anumit număr, vor fi acoperite de intervalul , ceea ce contrazice însăși alegerea acestor segmente. Contradicția rezultată dovedește validitatea lemei Heine-Borel. $\Sigma$ $\xi$ $\xi$ $[a,b]$ $\sigma$ $\Sigma$ $[a_{k},b_{k}]$ $\sigma$

Această dovadă, cu modificări evidente, se realizează și pentru un spațiu de dimensiune arbitrară. Această demonstrație poate fi găsită în [3] și în [2] (în ultima carte imediat pentru cazul unui spațiu metric arbitrar ). $\mathbb{R}^n$

A doua dovadă

O altă dovadă a lemei Heine-Borel se datorează lui Lebesgue [2] . Nu folosește lema segmentelor imbricate , ci se bazează pe proprietatea completitudinii mulțimii numerelor reale sub forma principiului existenței celui mai mic supremum .

Fie sistemul de intervale să acopere segmentul . Se notează prin mulțimea tuturor punctelor pentru care segmentul poate fi acoperit de un număr finit de intervale de la . Este clar că dacă orice segment al formei (unde x - sup M) poate fi acoperit de un număr finit de intervale de la , atunci același lucru este valabil și pentru segment : pentru aceasta, luăm un interval care acoperă punctul și îl adăugăm. la acoperirea finită a unui segment , unde , se obţine o acoperire finită a segmentului . Mai mult decât atât, subsistemul finit de intervale rezultat acoperă nu numai segmentul , ci și un segment din forma , unde . $\Sigma$ $[a,b]$ $M$ $x\în[a,b]$ $[topor]$ $\Sigma$ $[a,x'],\;x'<x$ $\Sigma$ $[topor]$ $\sigma \in \Sigma$ $X$ $[topor']$ $x'<x,x'\in \sigma$ $[topor]$ $[topor]$ $[topor'']$ $x''>x$

Din prima rezultă că cea mai mică limită superioară a setului aparține setului . Din a doua, că ar trebui să fie egal cu . Astfel, , adică segmentul poate fi acoperit de un număr finit de intervale din . $M$ $M$ $b$ $b\în M$ $[a,b]$ $\Sigma$

Aplicare în analiză

Alături de lema intervalului imbricat Cauchy-Cantor și lema punctului limită Bolzano-Weierstrass , lema de acoperire finită Heine-Borel este una dintre afirmațiile fundamentale ale analizei. Poate fi folosit pentru a demonstra o serie de rezultate importante.

Lema Heine-Borel poate fi aplicată cu succes în cazurile în care este necesară extinderea unei proprietăți locale la întregul set. Să ilustrăm ceea ce sa spus pe exemplul demonstrării teoremei de continuitate uniformă .

Continuitatea funcției pe interval înseamnă că pentru orice punct al intervalului și arbitrar există o astfel de vecinătate a punctului în care oricare două valori ale funcției diferă cu cel mult : $f$ $(a,b)$ $X$ $(a,b)$ $\varepsilon > 0$ $U_{{\delta }}(x)$ $X$ $\varepsilon$

x',x''\in U_{{\delta }}(x)\Rightarrow |f(x')-f(x'')|\leqslant \varepsilon

Fixăm și pentru fiecare punct al segmentului alegem cartierul indicat (fiecare va avea propriul său ). Sistemul de intervale rezultat formează o acoperire deschisă a segmentului, din care, conform lemei Heine-Borel, alegem o subacoperire finită . Este ușor de observat că este posibil să alegeți astfel încât fiecare segment de lungime să fie cuprins în întregime într-unul dintre intervalele de acoperire . Rezultă că, dacă diferă cu cel mult , atunci ele sunt cuprinse în același interval de acoperire, ceea ce înseamnă că valorile funcției în aceste puncte diferă cu cel mult . $\varepsilon > 0$ $X$ $[a,b]$ $U_{{\delta }}(x)$ $X$ $\delta=\delta(x)$ $\Sigma$ $\delta>0$ $\delta$ $\Sigma$ $x',x''$ $\delta$ $\varepsilon$

Astfel, pentru luat în mod arbitrar se găsește , astfel încât $\varepsilon > 0$ $\delta>0$

x',x''\in [a,b]\quad |x'-x''|\leqslant \delta \Rightarrow |f(x')-f(x'')|\leqslant \varepsilon

Aceasta înseamnă că funcția este uniform continuă pe segment . $f$ $[a,b]$

Generalizări

Lema Heine-Borel este generalizată la un spațiu metric arbitrar , după cum urmează:

Pentru ca orice acoperire deschisă a unui spațiu metric să conțină o subacoperire finită, este necesar și suficient ca spațiul să fie complet și complet delimitat . ${\mathcal {M}}$ ${\mathcal {M}}$

Ca și în cazul spațiului , doar a doua parte a acestei propoziții, despre suficiența condițiilor pentru existența unei subacoperiri finite, se numește lema Heine-Borel. $\mathbb{R}^n$

Rezultă că un spațiu metric are proprietatea Heine-Borel dacă și numai dacă este un spațiu compact , adică fiecare submulțime infinită a acestuia are un punct limită aparținând lui . Astfel, un spațiu metric compact ar putea fi definit ca un spațiu al cărui capac deschis conține un subacoperire finit. ${\mathcal {M}}$ ${\mathcal {M}}$

La trecerea de la spații metrice la un concept mai general de spații topologice , s-a dovedit că aceste două condiții nu sunt echivalente: dacă un spațiu topologic are proprietatea Heine-Borel, atunci fiecare submulțime infinită a acestuia are un punct limită, dar invers. nu este întotdeauna adevărat. Proprietatea Heine-Borel mai puternică a fost luată ca definiție a unui spațiu topologic compact . Mai mult, vechea condiție de compactitate, și anume existența unui punct limită pentru orice submulțime infinită, s-a dovedit a fi echivalentă cu următoarea condiție: fiecare capac deschis numărabil conține un subacoperire finit. Astfel de spații au ajuns să fie numite numărabil compact .

Context istoric

Istoria propoziției matematice, cunoscută astăzi ca lema Heine-Borel, a început în a doua jumătate a secolului al XIX-lea, când matematicienii erau ocupați să caute baze de încredere pentru o construcție riguroasă a calculului . Printre altele, unul dintre rezultatele fundamentale ale analizei care necesita o demonstrație riguroasă a fost teorema care afirmă că orice funcție continuă pe un segment este uniform continuă pe acesta. Dirichlet a fost primul care a demonstrat această teoremă în prelegerile sale din 1862, care au fost publicate abia în 1904. Totodată, el a folosit implicit faptul că, dacă un segment este acoperit de un număr infinit de intervale, atunci dintre acestea se poate alege un număr finit care să acopere și segmentul dat. Mai târziu un raționament similar a fost folosit de E. Heine , K. Weierstrass , S. Pinkerle . Primul care a formulat și demonstrat lema Heine-Borel într-o formă apropiată de cea modernă a fost E. Borel în 1895. Cu toate acestea, formularea sa a fost limitată la acoperiri constând dintr-un număr numărabil de intervale. A fost generalizată la acoperiri infinite arbitrare de către studentul lui E. Borel A. Lebesgue în 1898.

În literatura matematică, această propoziție poate fi găsită sub diferite denumiri. Cel mai comun nume este lema Heine-Borel [1] [3] [4] , care a fost plasată în titlul acestui articol. Cu toate acestea, sunt adesea folosite următoarele: lema Borel-Lebesgue [5] , lema Borel [6] . În unele cărți această propoziție nu este numită lemă, ci teoremă: teorema Heine-Borel [7] , teorema Borel-Lebesgue [2] . Numele lemei de acoperire finită [5] apare și .

Vezi și

Note

↑ 1 2 Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elemente de teoria funcțiilor și analiză funcțională. - S. 107.
↑ 1 2 3 4 Aleksandrov PS Introducere în teoria mulțimilor și topologia generală. — S. 183-184, 193-195.
↑ 1 2 3 4 Kudryavtsev L. D. Curs de analiză matematică. - T. 2. - S. 195-196.
↑ Ilyin V. A., Poznyak E. G. Fundamentele analizei matematice: În 2 ore, Partea I.
↑ 1 2 Zorich V. A. Analiză matematică. Partea I
↑ Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral în 3 volume. - T. 1.
↑ Rudin U. Fundamentals of Mathematical Analysis.

Literatură

Aleksandrov PS Introducere în teoria mulțimilor și topologia generală. - M . : „Nauka”, 1977. - 368 p.

Zorich V. A. Analiză matematică. Partea I. - Ed. a IV-a, Rev. - M. : MTSNMO, 2002. - XVI + 664 p. — ISBN 5-94057-056-9 .

Ilyin V. A., Poznak E. G. Fundamentele analizei matematice: În 2 ore.Partea I. - Ed. a VII-a - M . : FIZMATLIT, 2005. - 648 p. - ISBN 5-9221-0536-1 .

Kolmogorov AN, Fomin SV Elemente de teoria funcţiilor şi analiză funcţională. - Ed. a VII-a. - M . : „Fizmatlit”, 2004. - 572 p. — ISBN 5-9221-0266-4 .

Kudryavtsev L. D. Curs de analiză matematică. - a 5-a ed. - M . : „Drofa”, 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1 .

Rudin U. Fundamentals of Mathematical Analysis = Principles of Mathematical Analysis / per. din engleza. Avin. — Ed. a II-a, stereotip. - M. : „Mir”, 1976.

Fikhtengol's G.M. Curs de calcul diferențial și integral în 3 volume. - T. 1.