Sistem dinamic liniar

Sistemele dinamice liniare sunt sisteme dinamice a căror evoluție în timp este descrisă printr-o ecuație diferențială liniară (pentru sistemele cu timp discret, o ecuație diferențială liniară). În timp ce sistemele dinamice în general nu au o soluție în formă închisă, sistemele dinamice liniare pot fi rezolvate exact și au un set mare de proprietăți matematice. Sistemele liniare pot fi, de asemenea, utilizate pentru a înțelege comportamentul sistemelor dinamice generale prin calcularea punctelor de echilibru ale sistemului și aproximarea acestuia ca un sistem liniar în jurul fiecărui astfel de punct.

Introducere

Într-un sistem dinamic liniar, schimbarea vectorului de stare (vector -dimensional notat cu ) este echivalentă cu o matrice constantă (notată cu ) înmulțită cu . Aceste modificări pot lua două forme: $N$ $\mathbf {x}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {x}$

sau ca un flux care se modifică continuu în timp: $\mathbf {x}$

{\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \cdot \mathbf {x} (t)

sau ca o mapare în care variază discret : $\mathbf {x}$

\mathbf {x} _{m+1}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {x} _{m)

Aceste ecuații sunt liniare în următorul sens: dacă și sunt două soluții reale, atunci orice combinație liniară are două soluții, de exemplu, unde și sunt oricare doi scalari . Matricea nu trebuie să fie simetrică. $\mathbf {x} (t)$ $\mathbf {y} (t)$ $\mathbf {z} (t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \alpha \mathbf {x} (t)+\beta \mathbf {y} (t)$ $\alfa$ $\beta$ $\mathbf {A}$

Sistemele dinamice liniare pot fi rezolvate exact, spre deosebire de majoritatea celor neliniare. Uneori, un sistem neliniar poate fi rezolvat exact prin schimbarea variabilelor din sistemul liniar. În plus, soluțiile pentru aproape orice sistem neliniar pot fi găsite aproximativ în mod echivalent cu un sistem liniar în apropierea punctelor sale fixe. Prin urmare, înțelegerea sistemelor liniare și rezolvarea acestora este un pas critic către înțelegerea sistemelor neliniare mai complexe.

Soluții ale sistemelor dinamice liniare

Dacă vectorul original este aliniat cu vectorul propriu din matrice , dinamica este simplă $\mathbf {x} _{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {x} (t=0)$ $\mathbf {r} _{k)$ $\mathbf {A}$

{\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \cdot \mathbf {r} _{k}=\lambda _{k}\mathbf {r} _{k}

unde este valoarea proprie corespunzătoare ; soluție la această ecuație $\lambda _{{k}}$

\mathbf {x} (t)=\mathbf {r} _{k}e^{\lambda _{k}t)

după cum se poate confirma prin înlocuire.

Dacă este diagonalizabil , atunci orice vector în spațiu dimensional poate fi reprezentat printr-o combinație de vectori proprii dreapta și stânga (notați cu ) din matrice . $\mathbf {A}$ $N$ $\mathbf {l} _{k)$ $\mathbf {A}$

\mathbf {x} _{0}=\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {l} _{k}\cdot \mathbf {x} _{0}\right )\mathbf {r} _{k}

Deci soluția generală pentru o combinație liniară a soluțiilor individuale pentru vectorii proprii potriviți este $\mathbf {x} (t)$

{\displaystyle \mathbf {x} (t)=\sum _{k=1}^{n}\left(\mathbf {l} _{k}\cdot \mathbf {x} _{0}\right) \mathbf {r} _{k}e^{\lambda _{k}t))

Considerații similare se aplică și mapărilor discrete.

Clasificare în două dimensiuni

Rădăcinile polinomului caracteristic al matricei ( A - λ I ) sunt valorile proprii ale lui A . Semnul și legătura acestor rădăcini, , între ele pot fi utilizate pentru a determina stabilitatea unui sistem dinamic $\lambda_n$

{\frac {d}{dt))\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t).

Pentru sistemele bidimensionale , polinomul caracteristic este acolo unde urma matricei este determinantul care definește A. Deci cele două rădăcini sunt: $\lambda ^{2}-\tau \lambda +\Delta =0$ $\tau$ $\Delta$

\lambda _{1}={\frac {\tau +{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}

\lambda _{2}={\frac {\tau -{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}

Rețineți, de asemenea, că și . Astfel, dacă atunci valorile proprii sunt de semn opus, iar punctul fix este un punct de șa . Dacă atunci valorile proprii au același semn. Prin urmare, dacă ambele sunt pozitive și punctul este instabil și dacă atunci ambele sunt negative și punctul este stabil. Discriminantul ne va spune dacă punctul se află într-un nod sau într-o spirală (adică dacă valorile proprii sunt reale sau complexe). $\Delta =\lambda _{1}\lambda _{2)$ $\tau =\lambda _{1}+\lambda _{2)$ $\Delta <0$ $\Delta >0$ $\tau >0$ $\tau <0$

Sistem dinamic liniar

Introducere

Soluții ale sistemelor dinamice liniare

Clasificare în două dimensiuni

Vezi și

Note