Răspuns logaritmic amplitudine-fază în frecvență

Răspuns logaritmic amplitudine-fază în frecvență ( abreviere comună - LAFCH, în literatura străină este adesea numită diagrama Bode sau diagrama Bode) - o reprezentare a răspunsului în frecvență al unui sistem liniar staționar pe o scară logaritmică.

Introducere

LAFC este construit sub forma a două grafice: răspuns logaritmic amplitudine-frecvență și răspuns logaritmic fază-frecvență , care sunt de obicei plasate unul sub celălalt.

LACHH

LAFC este dependența modulului de câștig (tensiune, curent sau putere) al dispozitivului, ( , pentru putere , de frecvență pe o scară logaritmică. $20\cdot \lg(|A_{{out}}|/|A_{{in}}|)$ $10\cdot \lg(|P_{out}|/|P_{in}|)$

Scala de-a lungul abscisei LACHH

Frecvența este reprezentată de-a lungul axei absciselor pe o scară logaritmică, unitatea de măsură este o mărime adimensională:

deceniu (dec): 1 deceniu este egal cu de 10 ori variația de frecvență.
octava (oct): 1 octava este egala cu o schimbare de frecventa de 2 ori.

Scala de-a lungul axei y LACHH

Amplitudinea semnalului de ieșire este reprezentată de-a lungul axei ordonatelor în mărimi adimensionale logaritmice:

decibeli (dB) (o zecime de Bel) este raportul puterilor (20 decibeli este egal de 10 ori puterea) [1] .

neper (Np): 1 neper este egal cu modificarea amplitudinii semnalelor în e ori

LPCHX

LPFC este dependența diferenței de fază a semnalelor de ieșire și de intrare de frecvență pe o scară semilogaritmică

frecvența este reprezentată de-a lungul abscisei pe o scară logaritmică (în decenii sau octave)
axa y reprezintă faza de ieșire în grade sau radiani .

Napiers și octave sunt acum învechite și cu greu folosite.

Motivele pentru trasarea caracteristicilor de amplitudine și fază pe o scară logaritmică este posibilitatea de a studia caracteristicile într-un interval mare.

LACH și LPCH asimptotice

De fapt, LACHH și LPCHH sunt puțin utilizate în practică.

Pentru o analiză mai vizuală a caracteristicilor, se folosesc versiunile modificate ale acestora - caracteristica amplitudine-frecvență logaritmică asimptotică (ALFC) și caracteristica fază-frecvență logaritmică asimptotică (ALFC) , în timp ce curba este înlocuită cu segmente de linie întreruptă. De obicei, cuvântul „asimptotic” este omis, dar trebuie să ne amintim întotdeauna că ALACHH (ALPHCH) și LACHH (LPCH) sunt caracteristici diferite.

Analiza sistemelor care utilizează ALPFC este foarte simplă și convenabilă, prin urmare este utilizată pe scară largă în diferite ramuri ale tehnologiei, cum ar fi procesarea semnalului digital , inginerie electrică și teoria controlului .

Nume

În literatura occidentală, este folosit denumirea de diagramă Bode sau graf Bode, numită după remarcabilul inginer Hendrik Wade Bode .

În cercurile de inginerie, numele este de obicei scurtat la LAH .

Pachetul software de inginerie GNU Octave și MATLAB utilizează funcția bode pentru a construi LAFC .

Utilizare

Proprietăți și caracteristici

Dacă funcția de transfer a sistemului este rațională , atunci LAFC poate fi aproximată prin linii drepte. Acest lucru este convenabil atunci când desenați LAFCH manual, precum și când compilați sisteme simple LAFCH.

Cu ajutorul LAFC, este convenabil să se realizeze sinteza sistemelor de control , precum și a filtrelor digitale și analogice : în conformitate cu anumite criterii de calitate, LAFC dorit este construit, aproximat folosind linii drepte, care este apoi împărțit în LAFC. de legături elementare individuale, de la care funcția de transfer a sistemului ( regulator ) este restaurată sau filtrată.

LACHH

Pe graficul LAFC, abscisa este frecvența pe o scară logaritmică, ordonata arată amplitudinea funcției de transfer în decibeli .

Prezentarea răspunsului în frecvență la scară logaritmică simplifică construcția caracteristicilor sistemelor complexe, deoarece permite înlocuirea operației de înmulțire a răspunsului în frecvență al legăturilor prin adunare, care rezultă din proprietatea logaritmului : . $\lg(a\cdot b)=\lg(a)+\lg(b)$

FCH

Pe graficul caracteristicii fază-frecvență, abscisa este frecvența pe o scară logaritmică, ordonata reprezintă defazajul semnalului de ieșire al sistemului în raport cu intrarea (de obicei în grade ).

De asemenea, este posibil ca schimbarea de fază pe o scară logaritmică să fie reprezentată grafic de-a lungul axei y, caz în care caracteristica va fi numită LPFC.

Cazul sistemelor de fază minimă

Amplitudinea și faza sistemului se schimbă rareori independent una de cealaltă - atunci când amplitudinea se schimbă, faza se schimbă și invers. Pentru sistemele cu fază minimă, LPFC și LAFC pot fi determinate în mod unic unul de celălalt folosind transformarea Hilbert-Warrington .

Clădirea LAFCHH

Ideea principală se bazează pe următoarea regulă matematică pentru adăugarea logaritmilor. Dacă funcția de transfer poate fi reprezentată ca o funcție rațională fracțională

f(x)=A\prod (x+c_{n})^{a_{n}}

apoi:

\log(f(x))=\log(A)+\sum a_{n}log(x+c_{n})

După împărțirea funcției de transfer în legături elementare, este posibil să se construiască LAFC-ul fiecărei legături individuale, iar LAFC rezultat poate fi obținut prin simplă adăugare.

Construirea unui LAFC asimptotic ( aproximarea LAFC prin linii drepte )

Când se construiește LFR pentru axa y, scara este de obicei utilizată , adică valoarea răspunsului în frecvență , egală cu 100, se transformă în 40 de decibeli ai scalei LFR. Dacă funcția de transfer este: $20\cdot \operatorname {lg} (X)$

H(s)=A\cdot \prod {\frac {(s+x_{n})^{a_{n}}}{(s+y_{n})^{b_{n}}}}

unde este o variabilă complexă care poate fi legată de frecvență folosind următoarea substituție formală: , și sunt constante și este funcția de transfer. Apoi puteți construi LACHH folosind următoarele reguli:

\s

s=j\omega \

\x_{n}

\y_{n}

\H

la fiecare unde (zero), panta dreptei crește cu dB pe deceniu. $\s$ $\omega \=x_{n}$ $(20\cdot a_{n})$

la fiecare punct (pol), panta liniei scade cu dB pe decada. $\s$ $\omega \=y_{n}$ $(20\cdot b_{n})$

Valoarea inițială a graficului poate fi găsită prin simpla înlocuire a valorii frecvenței circulare în funcția de transfer. $\omega\$

Panta inițială a graficului depinde de numărul și ordinea zerourilor și polilor care sunt mai mici decât valoarea frecvenței inițiale. Poate fi găsit folosind primele două reguli.

În cazul zerourilor sau polilor conjugați complexi, este necesar să se utilizeze legături de ordinul doi, , panta se modifică într-un punct imediat cu dB pe deceniu. $x^{2}+ax+b$ ${\sqrt {b}}$ $(40\cdot a_{n})$

Corectarea LACH aproximativă

Pentru a corecta LACH, aproximat prin linii drepte, este necesar:

puneți un punct la fiecare zero dB deasupra liniei ( dB pentru două zerouri conjugate complexe) $3\cdot a_{n}\$ $6\cdot a_{n}\$

la fiecare pol pune un punct dB sub linie ( dB pentru doi poli conjugați complecși) $3\cdot a_{n}\$ $6\cdot a_{n}\$

conectați fără probleme punctele folosind linii drepte ca asimptote

Construcția unui LPHF asimptotic (aproximație)

Pentru a construi un PFC aproximativ, funcția de transfer este utilizată în aceeași formă ca și pentru LAFC:

H(s)=A\prod {\frac {(s+x_{n})^{a_{n}}}{(s+y_{n})^{b_{n}}}}.

Principiul de bază al construirii unui PFC este să desenezi grafice separate pentru fiecare pol sau zero, apoi să le adunăm. Curba exactă de răspuns la fază este dată de ecuația:

\varphi =\operatorname {arctg} \left({\frac {\Im (H(j\omega ))}{\Re (H(j\omega ))))\right).

Pentru a desena un răspuns de fază pentru fiecare pol sau zero, utilizați următoarele reguli:

dacă este pozitiv, începeți linia (cu pantă zero) la 0 grade, $\A$
dacă este negativ, începeți linia (cu pantă zero) la 180 de grade, $\A$
pentru zero, faceți panta liniei în sus cu ( pentru conjugate complexe) grade pe deceniu începând de la $45\cdot a_{n}$ $90\cdot a_{n}$ $\omega ={\frac {x_{n}}{10)),$
pentru un stâlp, înclinați linia în jos cu ( pentru conjugate complexe) grade pe deceniu, începând de la $45\cdot b_{n}$ $90\cdot b_{n}$ $\omega ={\frac {y_{n}}{10)),$
zero panta din nou atunci când faza se schimbă cu grade pentru un zero sau pol simplu și cu grade pentru un zero sau pol conjugat complex, $90\cdot a_{n}$ $180\cdot a_{n}$
adaugă toate liniile și trage-l pe cel rezultat.

Analiza de stabilitate conform LAFCH

Mai jos este un tabel care conține funcțiile de transfer și LAFC ale unor legături elementare tipice. Majoritatea sistemelor liniare staționare pot fi reprezentate ca o conexiune a unor astfel de legături. În tabel - o variabilă complexă. $\s$

Nu.	Legătură	Funcția de transmisie	Note
unu	proporţional	$\K$	$\K=100$
2	integrare ideală	$\ 1/s$
3	diferențierea ideală	$\s$
patru	aperiodic ( integrare reală)	${\frac {1}{Ts+1}}$	$\T=0,01$
5	oscilatoare	${\frac {1}{T^{2}s^{2}+2\;\xi \ Ts+1))$	$\T=0,01$ $\xi \ =0,1$
6	aperiodic instabil	${\frac {1}{Ts-1}}$	$\T=0,01$ faza non-minima
7	diferențiator de ordinul întâi (forțarea primului ordin)	$\Ts+1$	$\T=0,01$
opt	forțând ordinul al doilea	$\ T^{2}s^{2}+2\;\xi \ Ts+1$	$\T=0,01$ $\xi \ =0,1$
9	pură întârziere	$\e^{-sT}$	$\T=0,0001$

Motivație

În centrul determinării stabilității sistemului, un model este considerat sub forma unei legături acoperite de feedback negativ și de posibilitatea intrării acestuia în auto-oscilații (limită de stabilitate oscilativă). Condiția pentru auto-oscilații este prezența feedback-ului pozitiv, în timp ce câștigul în circuitul direct trebuie să fie cel puțin unitar. Faza semnalului de ieșire (descrisă de caracteristica fază-frecvență) este retransmisă prin circuitul de feedback negativ la intrare, în timp ce „marja de fază” este schimbarea de fază suplimentară care trebuie să fie la ieșire pentru a obține feedback pozitiv. Coeficientul de transmisie în ramura directă este descris de caracteristica amplitudine-frecvență, în timp ce frecvența căreia îi corespunde câștigul unitar se numește „frecvență de tăiere”, în LAF frecvența de tăiere este punctul de intersecție a caracteristicii cu abscisa. axă. Grafic, marja de fază este definită ca diferența dintre faza la π radiani (180°) și faza la frecvența de tăiere (condiție de feedback pozitiv); „marja de amplitudine” este distanța de-a lungul axei amplitudinii de la punctul de frecvență de tăiere la amplitudinea la un unghi de π radiani (condiția unui coeficient unitar în ramura directă).

Algoritm de calcul

Pentru a determina stabilitatea unui sistem închis, se construiește LAFC-ul unui sistem deschis (vezi Fig.). După aceea, trebuie să găsiți frecvența de tăiere ω cf prin rezolvarea ecuației (în continuare , dacă există mai multe rădăcini, trebuie să alegeți cea mai mare rădăcină), iar frecvența ω in este maximul frecvențelor pentru care . Apoi - marja de stabilitate în amplitudine, - marja de stabilitate în fază. Dacă aceste marje sunt negative, atunci sistemul închis este instabil; dacă este egal cu zero, se află la limita de stabilitate. $A(\omega _{cp})=0$ $A(\omega )=20\lg |W(j\omega )|$ $\varphi (\omega )=-180^{\circ }$ $\Delta A=A(\omega _{B})$ $\Delta \varphi =\varphi (\omega _{cp})+180^{\circ }$

Acest algoritm este aplicabil numai sistemelor cu fază minimă . În alte cazuri, criteriile de stabilitate Nyquist-Mikhailov și Routh-Hurwitz pot fi utilizate pentru a determina stabilitatea .

Răspuns logaritmic amplitudine-fază în frecvență

Introducere

LACHH

LPCHX

LACH și LPCH asimptotice

Nume

Utilizare

Proprietăți și caracteristici

Clădirea LAFCHH

Analiza de stabilitate conform LAFCH

Motivație

Algoritm de calcul

Vezi și

Note

Link -uri