Teorema Hasse

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 1 iunie 2019; verificările necesită 14 modificări .

Teorema curbei eliptice a lui Hasse , numită și granița Hasse , oferă o estimare a numărului de puncte de pe o curbă eliptică peste un câmp finit și limitează valorile atât deasupra cât și dedesubt. Teorema lui Hasse este echivalentă cu determinarea valorii absolute a rădăcinilor funcției zeta locale . În această formă, poate fi considerat ca un analog al ipotezei Riemann pentru câmpul de funcții asociat cu o curbă eliptică.

Istorie

O problemă importantă în teoria curbelor eliptice pe câmpuri finite este obținerea unui algoritm eficient pentru numărarea numărului de puncte situate pe o curbă dată. În 1924, Emil Artin a prezentat o presupunere care limitează numărul de puncte ale unei curbe eliptice peste un câmp finit de sus și de jos [1] . Această presupunere a fost dovedită de Helmut Hasse în 1933 și publicată într-o serie de lucrări în 1936 [2] . Ulterior, rezultatele lucrării lui Hasse au fost generalizate de André Weil la curbe de gen arbitrar și utilizate pentru a studia funcțiile zeta locale.

Enunțul teoremei

Teorema curbei eliptice a lui Hasse afirmă că numărul de puncte de pe o curbă eliptică peste un câmp finit satisface inegalitatea . [3] [4] $N$ $\mathbb {F} _{q}$ $|N-(q+1)|\leqslant 2{\sqrt {q))$

Inegalitatea rezultă din faptul că diferă de , numărul de puncte de pe dreapta proiectivă peste același câmp, prin suma a două numere conjugate complexe cu modul . $N$ $q+1$ ${\sqrt {q))$

Dovada

Pe parcursul demonstrației, cel mai important rol îl va juca ecuația modificată

Y^{2}={\frac {X^{3}+aX+b}{x^{3}+ax+b}}

ale căror soluții le căutăm în zona funcțiilor raționale ale variabilei . Cele două soluții ale acestei ecuații sunt simple și egale ; . $X$ $X=x,Y=1$ $X=x^{p},Y=(x^{3}+ax+b)^{{(p-1)/2}}$

Adunarea soluțiilor la această ecuație are loc după aceleași formule ca și adăugarea punctelor pe o curbă eliptică, adică al treilea punct este selectat la intersecția curbei și a dreptei, iar rezultatul va fi un punct cu coordonate

X_{3}=-X_{1}-X_{2}+{\frac {Y_{2}-Y_{1}}{X_{2}-X_{1}}}(x^{3}+ax +b)

Y_{3}={\frac {Y_{2}-Y_{1}}{X_{2}-X_{1}}}(X_{3}-X_{1})+Y_{1}

În continuare, construim o succesiune infinită de soluții, care este o progresie aritmetică cu o diferență și un termen inițial $(x,1)$

(X_{0},Y_{0})=(x^{p},(x^{3}+ax+b)^{{(p-1)/2}})

Fiecare element al secvenței poate fi reprezentat ca o relație ireductibilă . În continuare, introducem o funcție egală cu gradul polinomului . $X_{n}={\frac {P_{n}}{Q_{n}}}$ $d_{n}$ $P_{n}$

Pentru demonstrație, avem nevoie de 4 leme:

Lema 1 : $d_{{-1}}-d_{0}-1=N_{p}-p$

Dovada Lemei 1:

Conform formulelor de adunare, avem , apoi observăm că gradul numărătorului este mai mare decât gradul numitorului cu 1, deoarece , unde R(x) este un polinom de grad care nu depășește 2p. Calculați numitorul fracției făcând reducerile necesare. Pe de o parte , pe de altă parte, după cum știți, $X_{{-1}}=-xx^{p}+{\frac {(1+(x^{3}+ax+b)^{{(p-1)/2}})^{2} (x^{3}+ax+b)}{(xx^{p})^{2}}}$ $X_{{-1}}={\frac {x^{{2p+1}}+R(x)}{(xx^{p})^{2}}}$ $(xx^{p})^{2}=(x(x-1)...(x-p+1))^{2}$

(x^{3}+ax+b)^{{(p-1)/2}}=\left({\frac {x^{3}+ax+b}{p}}\right)

prin urmare, la reducere, numai factorii de forma c și factorii de forma c vor ieși din numitor . Fie numărul de factori de primul fel și numărul de factori de al doilea. Apoi , și ținând cont de asta , obținem . Numărul este egal cu , deoarece fiecare clasă de reziduuri corespunde a două soluții, iar clasei de reziduuri - una. Acest lucru demonstrează ceea ce este necesar. $(xk)^{2}$ ${\frac {k^{3}+ak+b}{p}}=-1$ $(xl)$ $l^{3}+al+b=0$ $m$ $n$ $d_{{-1}}=2p-2m-n+1$ $d_{0}=p$ $d_{{-1}}-d_{0}-1=p-2m-n$ $N$ $2(pm)-n$ $k$ $l$

Lema 2 : $d_{n}=n^{2}-(d_{{-1}}-d_{0}-1)n+d_{0}$

Dovada Lemei 2:

Conform lemei principale . Evident, pentru și lema este adevărată: să fie adevărată pentru indici și , . Apoi $d_{{n+2}}=2d_{{n+1}}-d_{n}+2$ $n=-1$ $n=0$ $n$ $n+1$ $n\geqslant 0$

d_{{n+2}}=2d_{{n+1}}-d_{n}+2=2((n+1)^{2}-(d_{{-1}}-d_{0} -1)(n+1)+d_{0})-n^{2}+(d_{{-1}}-d_{0}-1)n-d_{0}+2=(n+2 )^{2}-(d_{{-1}}-d_{0}-1)(n+2)+d_{0})

Lema este dovedită.

Lema 3 : Pentru toți n pentru care este definită funcția X n , inegalitatea Art. R n > art. Q n .

Dovada Lemei 3:

Vom demonstra această inegalitate prin găsirea formală a valorii funcției la . Să fie zero sau primul număr după următorul spațiu $X_n$ $x=\infty$ $m$ [ specifica ] , . Prin construcție , a ≠0. Să presupunem contrariul. Având în vedere faptul că fracția trebuie să fie un pătrat, diferența dintre gradele numărătorului și numitorului funcției trebuie să fie un număr impar, apoi împreună cu dă . Pentru o progresie aritmetică, $m\geqslant 0$ $X|_{{\infty }}=\infty$ $Y|_{{\infty }}$ ${\frac {X_{{n+1}}^{3}+aX_{{n+1}}+b}{x^{3}+ax+b}}$ $X_{{n+1}}$ $Y_{{n+1}}|_{\infty }=0$ $X_{{n+1}}|_{\infty }=0$

Y_{{n+1}}={\frac {1-Y_{n}}{X-X_{n}}}(x-X_{{n+1}})-1

De aici găsim

{\frac {1-Y_{n}}{x-X_{n}}}(x-X_{n})|_{\infty }=1

{\frac {1-Y_{n}}{1-{\frac {X_{n}}{x}}}}|_{\infty }=1

acesta este

{\frac {Y_{n}x}{X_{n}}}|_{\infty }=1

{\frac {Y_{n}^{2}x^{2}}{X_{n}^{2}}}|_{\infty }={\frac {(X_{n}^{3}+ aX_{n}+b)x^{2}}{(x^{3}+ax+b)X_{n}^{2}}}|_{\infty }=1

Din moment ce , rezultă că . Pe de altă parte $X_{n}|_{\infty }=x|_{\infty }=\infty$ ${\frac {X_{n}}{x}}|_{\infty }=1$

X_{{n+1}}=-x-X_{n}+{\frac {(1-Y_{n}^{2})^{2}}{(x-X_{n})^{2 }}}(x^{3}+ax+b)

De aici găsim

{\frac {X_{n}}{x}}=-1-{\frac {X_{n}}{x}}+{\frac {(1-Y_{n}^{2})^{2 }}{(1-{\frac {X_{n}}{x}})^{2}}}(1+{\frac {a}{x^{2}}}+{\frac {b} {x^{3}}})

asa de

{\frac {X_{{n+1}}}{x}}|_{\infty }=-1

Dar din această egalitate rezultă că , ceea ce contrazice presupunerea făcută . Lema este dovedită. $Y_{{n+1}}^{2}|_{\infty }$ $Y_{{n+1}}^{2}|_{\infty }=0$

Lema principală : . $d_{{n-1}}+d_{{n+1}}=2d_{n}+2$

Dovada lemei principale:

Principalele dificultăți în demonstrarea teoremei sunt concentrate pe lema principală. Să trecem la dovada lui. pentru orice polinom P simbol st. R va desemna gradul acestui polinom.

Reducând la un numitor comun și adunând termeni similari în formula de adunare a soluției, găsim

X_{{n-1}}={\frac {-(xQ_{n}+P_{n})(xQ_{n}-P_{n})^{2}+(1+Y_{n})^ {2}(x^{3}+ax+b)Q_{n}}{(xQ_{n}-P_{n})^{2}}}={\frac {(xQ_{n}+P_{ n})(xP_{n}+aQ_{n})+2bQ_{n}^{2}+2Y_{n}(x^{3}+ax+b)Q_{n}^{2}}{( xQ_{n}-P_{n})^{2}}}={\frac {S}{(xQ_{n}-P_{n})^{2}}}

Înmulțind termen cu termen cele două formule obținute mai sus și făcând reduceri, obținem

X_{{n-1}}X_{{n+1}}={\frac {P_{{n-1)P_{{n+1}}}}}{Q_{{n-1}}Q_{ {n+1))))={\frac {(xP_{n}-aQ_{n})^{2}-2b(xQ_{n}+P_{n})}{(xQ_{n}-P_ {n})^{2}}}

Scopul următorului raționament este de a arăta că . Din această egalitate obținem direct lema principală, de fapt, apoi rezultă că $Q_{{n-1}}*Q_{{n+1}}=(xP_{n}-aQ_{n})^{2}$

P_{{n-1}}*P_{{n+1}}=(xP_{n}-aQ_{n})^{2}-4bQ_{n}(xQ_{n}+P_{n})

înseamnă art. = art. , deoarece în virtutea Lemei 3 termenul conducător al polinomului coincide cu termenul conducător al polinomului . Acum să demonstrăm egalitatea dorită. $d_{{n-1}}+d_{{n+1}}=$ $(P_{{n-1}}P_{{n+1}})$ $(x^{2}P_{n}^{2})=2d_{n}+2$ $P_{{n-1}}P_{{n+1}}$ $x^{2}P_{n}^{2}$

Reamintim că în domeniul polinoamelor există o factorizare unică în factori ireductibili. Fie un polinom ireductibil și fie orice număr întreg pozitiv. Vom spune că un polinom împarte strict o funcție rațională ireductibilă dacă numărătorul său este divizibil cu dar nu divizibil cu . Pentru a demonstra egalitatea necesară, este necesar să se stabilească că, dacă un polinom împarte strict , atunci împarte strict . Într-adevăr, atunci câtul este un polinom care este relativ prim față de polinomul (xQ_n-P_n)^2. Dar deoarece din ecuația de mai sus rezultă că funcția este un polinom, atunci din egalitățile anterioare pentru <X_{n-1}> și <X_{n+1}> rezultă ușor că numitorii , împart polinomul . Astfel, câtul poate fi doar o constantă, iar această constantă este egală cu una datorită normalizării acceptate a termenilor conducători ai numărătorilor . $E$ $e$ $E^{e}$ $E^{e}$ $E^{{e+1}}$ $E^{e}$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $Q_{{n-1}}Q_{{n+1}}$ ${\frac {Q_{{n-1}}Q_{{n+1}}}{(xQ_{n}-P_{n})^{2}}}$ $Y_{n}(x^{3}+ax+b)Q_{n}^{2}$ $Q_{{n-1}}$ $Q_{{n+1}}$ $(xQ_{n}-P_{n})^{4}$ ${\frac {Q_{{n-1}}Q_{{n+1}}}{(xQ_{n}-P_{n})^{2}}}$ $P_{n}$

Împărțim toți divizorii ireductibili ai unui polinom în trei grupuri. Prima grupă include acele polinoame care împart R, dar nu împart S. Din aceasta rezultă imediat că, dacă un polinom împarte strict , atunci el împarte strict numitorul și este coprim cu numitorul . A doua grupă include acele polinoame care împart S, dar nu împart R. În același mod, se dovedește că, dacă un polinom împarte strict , atunci împarte strict numitorul și este coprim cu numitorul . În cele din urmă, al treilea grup include acele polinoame care împart atât R cât și S. Întrucât $E$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $E^{e}$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $Q_{{n+1}}$ $Q_{{n-1}}$ $>E$ $E^{e}$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $Q_{{n-1}}$ $Q_{{n+1}}$ $E$

P_{n}=xQ_{n}(modE)

urmează că

R=2Q_{n}(1-Y_{n})(x^{3}+ax+b)(modE)

S=2Q_{n}(1+Y_{n})(x^{3}+ax+b)(modE)

Un polinom , care împarte un polinom , nu poate împărți deoarece și sunt între prime. De aici și din ultimele formule rezultă că , astfel încât dacă împarte și , atunci împarte strict polinomul (prin presupunere, acest polinom nu are rădăcini multiple). $E$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $Q_{n}$ $P_{n}$ $Q_{n}$ $S+R=4Q_{n}^{2}(x^{3}+ax+b)modE$ $E$ $R$ $S$ $E$ $x^{3}+ax+b$

Deci, fie un divizor ireductibil al unui polinom . Să presupunem mai întâi că ≠±1 (prin definiție, această notație înseamnă că numărătorul reprezentării ireductibile a funcției ±1 nu este divizibil cu ). Apoi rezultă că împarte strict , deoarece polinomul este divizibil cu cel puțin . În mod similar, se dovedește că împarte , dar apoi rezultă că împarte strict . $E$ $x^{3}+ax+b$ $Y_{n}$ $(modE)$ $Y_{n}$ $E$ $E$ $R$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $E^{2}$ $E$ $S$ $E^{2}$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$

Astfel, rămâne de verificat cazul =±1 . Să fie, de exemplu, (al doilea este analizat în mod similar). Apoi împarte strict . Se împarte strict , și se împarte strict . Evident , împarte strict și funcția . Dar $Y_{n}+$ $(modE)$ $Y_{n}=-1(modE)$ $E$ $S$ $E^{2}$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $E^{{2f+1}}$ $(1+Y_{n})(X^{3}+ax+b)Q_{n}^{2}$ $E^{{2f}}$ $(1+Y_{n})^{2}(1-Y_{n})^{2}=(1-Y_{n}^{2})^{2}$

(1-Y_{n}^{2})^{2}={\frac {(x^{3}+ax-X_{n}^{2}-aX_{n}^{2})^{ 2}}{(x^{3}+ax+b)^{2}}}={\frac {(x-X_{n})^{2}(x^{2}+xX_{n}+ X_{n}^{2}+a)^{2}}{(x^{3}+ax+b)^{2}}}

În plus, , ≠0 , astfel încât și, prin urmare, numărul este mai mic decât puterea la care împarte strict . Prin urmare , împarte strict . De unde rezultă că împarte strict . Q.E.D. $x=X_{n}(modE)$ $x^{2}+xX_{n}+X_{n}^{2}=3x^{2}+a$ $(modE)$ $2f=2e-2$ $2f+1=2e-1$ $E$ $(xQ_{n}+P_{n})(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $E^{{2e}}$ $RS$ $E^{{2e}}$ $Q_{{n-1}}Q_{{n+1}}$

Conform Lemelor 1 și 2, și acest trinom pătrat ia valori nenegative pentru toate și, prin definiție, nu poate avea două zerouri consecutive. De aici avem că discriminantul nu poate fi pozitiv, altfel erau 2 rădăcini , între și , și numere și nu pot fi întregi în același timp. Prin urmare, $d_{n}=n^{2}-(Np)n+p$ $n$ $a,b$ $n$ $n+1$ $ab$ $a+b$

(Np)^{2}-4p\leqslant 0

asa de

|Np|\leqslant 2{\sqrt {p}}

. Teorema a fost demonstrată.

Dovada folosind endomorfismul Frobenius

Există o demonstrație alternativă a teoremei lui Hasse, bazată pe utilizarea endomorfismului Frobenius .

Pentru un câmp finit cu închidere algebrică, se introduce o mapare: $\mathbb {F} _{q}$ ${\overline {\mathbb {F} _{q)}}$

${\begin{array}{lcl}\phi _{q}:{\overline {\mathbb {F} _{q)}}\rightarrow {\overline {\mathbb {F} _{q)} }\\\qquad x\mapsto x^{q}\end{array}}$

Acţionează asupra punctelor unei curbe eliptice astfel: , . $E(\mathbb {F} _{q})$ $\phi _{q}(x,y)=(x^{q},y^{q})$ $\phi _{q}(\infty )=\infty$

Următoarele 4 leme sunt folosite pentru demonstrație.

Leme

Lema 1. Pentru o curbă eliptică peste un câmp și puncte , avem: $E(\mathbb {F} _{q})$ $\mathbb {F} _{q}$ $(x,y)\in E({\overline {\mathbb {F} _{q))})$

1) , $\phi _{q}(x,y)\in E({\overline {\mathbb {F} _{q))}}$

2) dacă și numai dacă . $(x,y)\in E(\mathbb {{F}_{q}} )$ $\phi _{q}(x,y)=(x,y)$

Lema 2. Pentru o curbă eliptică , maparea este un endomorfism de curbă de grad , și nu este separabilă. $E(\mathbb {F} _{q})$ $\phi _{q)$ $E$ $q$ $\phi _{q)$

Lema 3. Fie definită o curbă eliptică și . Apoi $E(\mathbb {F} _{q})$ $n\geqslant 1$

1) , $\ker(\phi _{q}-1)=E(\mathbb {F} _{q^{n))}$

2) este un endomorfism separabil și, prin urmare, . $\phi _{q}^{n}-1$ $|E(\mathbb {F} _{q^{n))}|=\deg(\phi _{q}^{n}-1)$

Lema 4. Notă . Fie numere întregi și . Apoi . $a=q+1-|E(\mathbb {F} _{q})|=q+1-\deg(\phi _{q}-1)$ $r,s$ $\gcd(s,q)=1$ $\deg(r\phi _{q}-s)=r^{2}q+s^{2}-rsa$

Bazat pe Lema 4, și din moment ce , se dovedește că $\deg(r\phi _{q}-s)\geqslant 0$

q{\biggl (}{r \over s}{\biggl )}^{2}-a{\biggl (}{r \over s}{\biggl )}+1\geqslant 0

pentru oriunde . $r,s$ $\gcd(s,q)=1$

Mulțimea numerelor raționale , unde , este densă în . Prin urmare, notând , obținem inegalitatea adevărată pentru toate realele . $r/s$ $\gcd(s,q)=1$ $\mathbb {R}$ $r/s=x$ $qx^{2}-ax+1\geqslant 0$ $X$

Deoarece discriminantul polinomului este mai mic sau egal cu zero, adică , avem . $a^{2}-4q\leqslant 0$ $|a|\leqslant 2{\sqrt {q)}$

O dovadă a teoremei lui Hasse bazată pe endomorfismul Frobenius stă la baza algoritmului Schuf . Acest algoritm vă permite să numărați numărul de puncte pentru o curbă eliptică dată în timp polinomial.

Granița Hasse-Weil

O generalizare a graniței Hasse pentru curbele algebrice de gen superior este limita Hasse-Weil. Să existe o curbă nesingulară absolut ireductibilă a genului peste un câmp finit . Atunci numărul de puncte de pe această curbă satisface inegalitatea $C$ $g$ $\mathbb {F} _{q}$ $\#C({\mathbb {F}}_{q})$

|\#C(\mathbb {F} _{q})-(q+1)|\leqslant 2g{\sqrt {q)).

Ca și în cazul limitei obișnuite Hasse, acest rezultat este echivalent cu determinarea valorii absolute a rădăcinilor funcției zeta locale a curbei și este analog cu ipoteza Riemann pentru câmpul de funcții asociat curbei. În cazul curbelor eliptice, granița Hasse-Weil coincide cu limita obișnuită Hasse, deoarece curbele eliptice au genul . $C$ $g=1$

Granița Hasse-Weil este o consecință a conjecturilor Weyl mai generale pentru varietăți proiective peste un câmp finit, formulate de André Weyl în 1949 [5] și dovedite de acesta pentru cazul curbelor.

Aplicație

Criptografie

Criptografia folosește algoritmi de criptare bazați pe curbe eliptice. Stabilitatea acestor algoritmi se bazează pe complexitatea calculării logaritmului discret într-un grup de puncte pe o curbă eliptică. Deoarece încă nu există algoritmi rapizi pentru calcularea logaritmului discret pe o curbă eliptică, utilizarea curbelor eliptice poate accelera foarte mult algoritmii de criptare prin reducerea dimensiunii modulului utilizat . Teorema lui Hasse, pe de altă parte, face posibilă determinarea foarte precisă a mărimii numărului prim necesar pentru complexitatea suficientă a algoritmului. $p$ $q$

Conexiune cu funcția locală zeta Riemann

Funcția zeta a unei curbe eliptice peste un câmp poate fi scrisă ca $E$ $\mathbb {F} _{q}$

{\displaystyle Z_{E}(t)={1-a_{q}(E)t+qt^{2} \over (1-t)(1-qt)))

unde , și este numărul de puncte afine ale curbei proiective . Conjectura Riemann pentru curbele peste câmpuri finite afirmă că toate zerourile unei funcții se află pe linie sau, în mod echivalent, satisfac egalitatea . $a_{q}=q-N_{q)$ $N_q$ $E$ $\zeta _{E}(s)=Z_{E}(q^{-s})$ $\operatorname {Re} (s)=1/2$ $|q^{s}|={\sqrt {q}}$

Este ușor de arătat că pentru curbele eliptice această presupunere este echivalentă cu teorema lui Hasse. Într-adevăr, dacă , atunci este rădăcina unui polinom pătrat al cărui discriminant este după teorema lui Hasse. Aceasta înseamnă că rădăcinile polinomului sunt conjugate complexe și , ceea ce demonstrează ipoteza Riemann. În schimb, îndeplinirea ipotezei Riemann implică egalitate , ceea ce înseamnă că rădăcinile sunt conjugate complexe, ceea ce înseamnă că discriminantul este nepozitiv, ceea ce demonstrează teorema lui Hasse. $Z_{E}(q^{-s})=0$ $q^{s)$ $f(u)=u^{2}-a_{q}u+q$ $a_{q}^{2}-4q\leqslant 0$ $u_{1},u_{2)$ $f(u)$ $|q^{s}|=|u_{1}|=|u_{2}|={\sqrt {q))$ $|u_{1}|=|u_{2}|={\sqrt {q))$ $u_{1},u_{2)$ $f(u)$

Note

↑ Artin, Emil . Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil // Mathematische Zeitschrift : jurnal. - Luxemburg: Springer-Verlag , 1924. - Vol. 19, nr. 1. - P. 207-246. — ISSN 0025-5874 . - doi : 10.1007/BF01181075 . — . — MR 1544652 Arhivat pe 11 septembrie 2018 la Wayback Machine .
↑ Hasse, Helmut . Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkörper. I, II & III // Crelle's Journal : journal. - Berlin: Walter de Gruyter , 1936. - Vol. 1936, nr. 175. - ISSN 0075-4102 . - doi : 10.1515/crll.1936.175.193 . — .
↑ Limita lui Hasse pentru curbele eliptice peste câmpuri finite . PlanetMath . Consultat la 18 decembrie 2017. Arhivat din original la 27 ianuarie 2021. (nedefinit)
↑ Bolotov A. A., Gashkov S. B., Frolov A. B., Chasovskikh A. A. O introducere elementară în criptografia eliptică: fundamente algebrice și algoritmice. - M . : KomKniga, 2006. - T. 1. - 328 p. — ISBN 5-484-00443-8 .
↑ Weil, Andre . Numere de soluții ale ecuațiilor în câmpuri finite // Buletinul Societății Americane de Matematică : jurnal. - N. Y .: Societatea Americană de Matematică , 1949. - Vol. 55, nr. 5. - P. 497-508. — ISSN 0002-9904 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 . — MR 0029393 Arhivat la 1 mai 2018 la Wayback Machine

Literatură

Hurt, Norman E. (2003), Multe puncte raționale. Teoria codificării și geometria algebrică , voi. 564, Matematica și aplicațiile sale , Dordrecht: Kluwer / Springer-Verlag , MR : 2042828 , ISBN 1-4020-1766-9
Niederreiter, Harald & Xing, Chaoping (2009), Geometria algebrică în teoria codificării și criptografia , Princeton: Princeton University Press , MR : 2573098 , ISBN 978-0-6911-0288-7
Capitolul V Silverman, Joseph H. (1994), Aritmetica curbelor eliptice , voi. 106, Texte pentru absolvenți în matematică , New York: Springer-Verlag , MR : 1329092 , ISBN 978-0-387-96203-0
Washington, Lawrence C. (2008), Curbe eliptice. Teoria numerelor și criptografia, Ed. a II-a , Matematică discretă și aplicațiile sale , Boca Raton: Chapman & Hall / CRC Press , MR : 2404461 , ISBN 978-1-4200-7146-7
Capitolul 10 Gelfand, A.O. & Linnik, Yu.V. (1962), Metode elementare în teoria analitică a numerelor , Moscova: Fizmatgiz
Chahal, JS & Osserman, B. (2008), Ipoteza Riemann pentru curbele eliptice , Asociația de matematică din America

Curbe

Definiții

Transformat

Neplanare

algebric plat

Secțiuni conice

Ordinul 3 ( cubic )

Eliptic	Curba eliptică Funcții eliptice Jacobi Integrală eliptică Funcții eliptice
Alte	Verziera Agnesi Foaie carteziană Maclaurin trisector Chirnhaus Ophiurida Strofoid Parabola semimicubă Trident Cissoid din Diocle

Ordinul 4

Lemniscate

Apropiere

Splina
- B-spline
- Cub
- monospline
- Netezire
- Perfect
- Sihastrul
beziers

Cicloidală

Alte

Ferma strâmbă

Plat
transcendental

Spirale	Arhimedov Fermă Galileea hiperbolic "Baghetă" De aur clotoid logaritmică sinusoidal
Cicloidală	trohoid Cicloid Epitrohoid Epicicloid Hipotrocoid Hipocicloid Quasitrocoid "Trandafir" quadrifolium Coborâre rapidă (brahistocron, arc cicloid)
Alte	Quadratrix cohleoid urmarire tractor trohoid linie de lanț arcuit inversat latime constanta sinusoid Ribokura Super formula Superelipsă Triunghiul Reuleaux poligon figurile Lissajous

fractal

Simplu	Gilbert Gosper curba dragonului Koch Taxă Minkowski Peano Sierpinsky
topologic	Servetul Sierpinski covor Sierpinski Sponge Menger fractal circular covorul Apollonius