Niveluri de suprafață magnetice

Nivelurile de suprafață magnetică sunt niveluri de energie cuantică ale electronilor care se mișcă periodic de-a lungul suprafeței metalice , paralel la care este aplicat un câmp magnetic extern . Descoperit și explicat pentru prima dată de M. S. Khaikin în 1960 în timp ce studia oscilațiile rezistenței de suprafață a staniului într-un câmp magnetic slab [1] [2] [3] . Descoperire științifică înregistrată în Registrul de Stat al Descoperirilor al URSS [4] .

Teoria semiclasică

Când purtătorii de sarcină sunt oglindiți de suprafața unui conductor într-un câmp magnetic paralel, electronii se deplasează de-a lungul traiectoriilor „săritoare”, pentru care fiecare secțiune ulterioară o reproduce pe cea anterioară (vezi fig.). Mișcarea unui electron de-a lungul normalei la suprafață (axa ) este periodică și, conform principiilor generale ale mecanicii cuantice, este cuantizată. Nivelurile de energie semiclasice se găsesc din condiția cuantizării semiclasice Lifshitz - Onsager a zonei, care este limitată de traiectoria electronilor în spațiul de impuls (Fig.) [5] : $H$ $y$

{{S}_{n}}={\frac {2\pi e\hbar H}{c}}\left(n+\gamma \right)\,,\quad \quad (1)

unde este un întreg pozitiv, este în continuare valoarea absolută a sarcinii electronului , este viteza luminii , este constanta Planck redusă , . Calculul bazat pe ecuația Schrödinger (vezi mai jos) arată că . În metale, electronii care se ciocnesc cu el la unghiuri mici au cea mai mare probabilitate de reflexie speculară de la graniță , deoarece pentru astfel de electroni lungimea de undă de Broglie asociată cu mișcarea de-a lungul normalei la suprafață este mai mică decât dimensiunea neomogenităților de suprafață. În acest caz, aria unui segment de cerc cu raza Larmor ( este raza de curbură a orbitei în spațiul de impuls) și înălțimea sa sunt [6] : $n\gg 1$ $e$ $c$ $\hbar$ $\left|\gamma \right|<1$ $\gamma \aprox -1/4$ $\varphi \ll 1$ $S$ $r_{H}=cp/eH$ $p$ $h$

S\aprox {\frac {2}{3}}r_{H}^{2}{{\varphi }^{3));\quad h\aprox {\frac {{{r}_{ H}}{{\varphi }^{2}}}{2}}\,.\quad \quad (2)

Folosind formulele (1), (2) puteți obține:

{{S}_{n}}={\frac {4}{3}}{{\left({\frac {eH}{c}}\right)}^{2}}{{\ stânga(2h_{n}^{3}{{r}_{H}}\right)}^{1/2}}={\frac {2\pi e\hbar H}{c}}\left( n-{\frac {1}{4}}\right)\,,\quad \quad (3)

unde sunt valorile discrete ale înălțimii segmentului. Deoarece la , viteza electronului este direcționată aproape paralel cu suprafața, , atunci putem presupune aproximativ că forța Lorentz este direcționată de-a lungul normalei și proiecția sa pe axă este , iar fiecare valoare a lui , care este determinată din ecuația (3) , corespunde energiei [6] [7] , $h_{n}$ $y\ll r_{H}$ ${\mathbf v}$ ${|{v}_{x}|}\gg |v_{y}|$ $y$ ${{F}_{y}}=(e/c)v_{x}H$ $h_{n}$ $\epsilon _{n}=F_{y}h_{n)$

{{\epsilon }_{n}}={\frac {eH|v_{x}|{{h}_{n}}}{c}}={\frac {|v_{x}| }{2}}{{\left[{\frac {3\pi e\hbar H}{c{\sqrt {p}}}}\left(n-{\frac {1}{4}}\right )\right]}^{2/3}}\,.\quad \quad (4)

Teoria cuantica. Caz general

Pentru un metal cu o lege de dispersie a electronilor de conducție arbitrară , nivelurile de energie de suprafață magnetică și funcțiile de undă pot fi găsite din ecuația Schrödinger [8] $\epsilon =\varepsilon \left(\mathbf {p} \right)$ $\epsilon _{n}$ $\psi \left(x,y,z\right)$

\varepsilon \left(\mathbf {\hat {p)} +{\frac {e}{c)}\mathbf {A} \right)\psi \left(x,y,z\right)= \epsilon \psi \left(x,y,z\right)\,,\quad \quad(5)

unde este operatorul cvasi -impuls . Condițiile la limită pentru ecuația (5) descriu reflexia speculară a unui electron de pe suprafața metalului (în modelul de limită sub forma unui perete cu potențial infinit) și amortizarea funcției de undă a electronilor care se ciocnesc cu limita în volum. a metalului: $\mathbf {\hat {p)} = {\frac {i}{\hbar }}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}$ $y=0$

\psi \left(x,0,z\right)=0;\quad \quad \psi \left(x,y\to \infty, z\right)\to 0\,.\quad \quad (6)

Câmpul magnetic este direcționat de-a lungul axei . Este convenabil să alegeți ecartamentul potențialului vectorial sub forma . La distante mici de limita , expansiunea hamiltonianului in apropierea punctului , la care componenta normala a vitezei , are forma [9] : $z$ $\mathbf {A} =\left(-Hy,0,0\right)$ $y$ $y=0$ $p_{y0)$ ${{v}_{y0}}=\partial \varepsilon /\partial {{p}_{y0}}=0$

\varepsilon \left({{\hat {p}}_{x}-{\frac {eHy}{c}}},({\hat {p}}_{y}}),({ \ pălărie {p}}_{z}}\right)\aproximativ \varepsilon \left(({\hat {p}}_{x}},{{p}_{y0}},{{\hat { p }}_{z}}\right)-{\frac {\partial \varepsilon }{\partial {{\hat {p}}_{x}}}}{\frac {eHy}{c}}- { \frac {{\hbar }^{2}}{2}}{\frac {({\partial }^{2}}\varepsilon }{\partial p_{y0}^{2}}}{\frac { {\partial }^{2}}{\partial {{y}^{2}}}}\,.\quad \quad (7)

Funcția de undă descrie mișcarea liberă a unui electron într-un plan și mișcarea cuantificată limitată de-a lungul axei : $xz$ $y$

\psi \left(x,y,z\right)={{\varphi }_{n}}\left(y\right)\exp \left({\frac {i}{\hbar }} {{p}_{x}}x+{\frac {i}{\hbar }}{{p}_{z}}z\right)\,,\quad \quad (8)

iar energia totală a unui electron este suma a doi termeni:

\epsilon \left(n,{{p}_{x}}, {{p}_{z}}\right)={{\epsilon }_{n}}+\varepsilon \left({ {p}_{x}},{{p}_{y0}},{{p}_{z}}\right)\,,

unde este partea cuantificată a spectrului energetic. Înlocuirea funcției de undă (8) în ecuația Schrödinger (5) cu Hamiltonianul (7) conduce la o ecuație pentru funcția care coincide cu ecuația Schrödinger pentru o particulă dintr-un puț cuantic triunghiular (ecuația pentru funcțiile Airy ) [ 10] : $\epsilon _{n}$ ${{\varphi }_{n}}\left(y\right)$

-{\frac {1}{2{{m}_{yy0}})){\frac {({\partial }^{2)}({\varphi }_{n))\left( y\right)}{\partial {{y}^{2}}}}+e{|{v}_{x0}|}Hy{{\varphi }_{n}}\left(y\right) ={{\epsilon }_{n}}{{\varphi }_{n}}\left(y\right)\,.

Soluția acestei ecuații, care satisface condiția la limită , este exprimată în termenii funcției Airy de primul fel, [11] : $\varphi _{n}\left(y\la \infty \right)\la 0$ $Ai(\xi )$

\varphi _{n}\left(y\right)={{C}_{n}}Ai\left(\alpha y-\alpha {{y}_{\epsilon _{n}}} \dreapta)\,,

unde este constanta de normalizare, $C_{n}$

\alpha ={{\left(2{|{v}_{x0}|}{{m}_{yy0)}{\frac {eH}{c({\hbar }^{2)} }}\right)}^{1/3}}\,,\quad {{y}_{\epsilon _{n}}}={\frac {\epsilon _{n}c}{eH}}\ ,.

Aici , este componenta vitezei electronilor și este componenta corespunzătoare a tensorului de masă efectivă reciprocă la . Nivelurile de energie cuantică se găsesc folosind condiția la limită , care duce la cerința , unde sunt zerourile funcției Airy, . Ca rezultat, pentru partea cuantificată a energiei electronilor, obținem următoarea expresie [9] [12] : ${{v}_{x0}}=\partial \varepsilon /\partial {{p}_{x}}<0$ $X$ ${m_{yy0}^{-1}}={{\partial }^{2}}\varepsilon /\partial p_{y0}^{2}$ $p_{y}=p_{y0)$ ${{\varphi }_{n}}\left(0\right)=0$ $\alpha {{y}_{\epsilon _{n}}}={{a}_{n}}$ $-a_{n}$ $Ai(-a_{n})=0$

{{\epsilon }_{n}}={\frac {{{\hbar }^{2}}({\alpha }^{2}}{{a}_{n}}}{2 {{m}_{yy0))))={\frac {{a}_{n}}{2}}{{\left({\frac {2\hbar eH{|{v}_{x0} |}}{c{\sqrt {{m}_{yy0}}}}}\right)}^{2/3}}\,,\quad \quad (9)

unde Pentru valori suficient de mari , este valabilă următoarea formulă asimptotică : [11] [9] . $n=1,2,3...\,.$ $n$ ${{a}_{n}}\simeq {{\left[(3\pi /2)\left(n-1/4\right)\right]}^{2/3}}$

Observație experimentală

Nivelurile suprafeței magnetice apar, de exemplu, sub formă de rezonanțe în rezistența de suprafață a metalului, măsurate la frecvențe de microunde , în funcție de mărimea câmpului magnetic îndreptat de-a lungul suprafeței. Frecvențele de rezonanță satisfac condiția [6] $\omega$

\omega ={{\omega }_{nm))={\frac {({\epsilon }_{n))-({\epsilon }_{m)}}{\hbar )),

unde nivelurile de energie sunt determinate prin formula (9), în care valorile vitezei și masei efective trebuie luate la o valoare energetică egală cu energia Fermi și proiecția impulsului pe direcția câmpului magnetic, , se determină din condiția extremum . Efectul se observă la temperaturi scăzute în intervalul 1,6-4,2 K în monocristale pure perfecte având o suprafață netedă optic. Intervalul de câmp în care se observă rezonanțe variază de la sutimi la unități de oersted la o frecvență de aproximativ 10 GHz [2] . ${{\epsilon }_{n\stanga(m\dreapta)))$ $p_{z}$ $\partial {{\omega }_{nm}}/\partial {{p}_{z}}=0$

Note

↑ Khaikin M.S. Dependența oscilativă a rezistenței de suprafață a unui metal de un câmp magnetic slab // ZhETF. - 1960. - T. 39 , nr 1 . - S. 212-214 . (Rusă)
↑ 1 2 Khaikin M. S. Niveluri de suprafață magnetică // UFN. - 1968. - T. 96 , nr 3 . - S. 409-440 . Arhivat din original pe 27 martie 2022. (Rusă)
↑ Capitolul VIII. Nivele ale suprafeței magnetice (M.S. Khaikin) // Electroni de conducție / ed. M. I. Kaganov și V. S. Edelman. - M. : Nauka, 1985. - 416 p.
↑ Descoperire științifică „Dependența oscilativă a rezistenței de suprafață a unui metal de un câmp magnetic slab” . Registrul de stat al descoperirilor URSS . Descoperiri științifice în Rusia . Preluat la 16 iunie 2022. Arhivat din original la 26 noiembrie 2020. (Rusă)
↑ Meierovich A. E. Lifshitz - Cuantizarea Onsager . Enciclopedia de fizică și tehnologie . Preluat la 16 iunie 2022. Arhivat din original la 2 iunie 2022. (Rusă)
↑ 1 2 3 Abrikosov A. A. § 11.2. Rezonanța ciclotronică în orbite „săritoare” // Fundamentele teoriei metalelor / Ed. L. A. Falkovsky. - Moscova: FIZMATLIT, 2010. - S. 182. - 600 p. - ISBN 978-5-9221-1097-6 .
↑ Nivelurile magnetice ale suprafeței (Enciclopedia fizică on-line). Preluat la 16 iunie 2022. Arhivat din original la 2 martie 2012. (Rusă)
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Capitolul XV. Mișcarea într-un câmp magnetic. // Mecanica cuantică. Teoria non-relativista . - Moscova: Nauka, 1989. - S. 529. - 768 p. - ISBN 5-02-014421-5 . (Rusă)
↑ 1 2 3 Nedorezov SS Surface magnetization of metals (engleză) // Soviet Physics JETP. - 1971. - Noiembrie ( vol. 33 , nr. 5 ). - P. 1045-1047 .
↑ Prange RE Trei modificări geometrice ale experimentului de suprafață-impedanță în câmpuri magnetice scăzute // Revizuire fizică. - 1968. - Vol. 171 , nr. 3 . - P. 737-742 . - doi : 10.1103/PhysRev.171.737 .
↑ 1 2 Nee T. W., Prange R. E. Spectroscopie cuantică a oscilațiilor de câmp scăzut ale impedanilor de suprafață // Phys. Rev.. - 1968. - Vol. 168 , nr. 3 . - P. 779-786 . - doi : 10.1103/PhysRev.168.779 .
↑ Lifshits I. M., Azbel M. Ya., Kaganov M. I. Ch. I. Mecanica electronului de conducere § 7. Niveluri energetice cvasi-clasice // Teoria electronică a metalelor. - Moscova: Ediția principală a literaturii fizice și matematice a editurii Nauka, 1971. - P. 84. - 416 p.